【数学】2020届一轮复习浙江专版板块命题点专练(七)简单的三角恒等变换及解三角形

【数学】2020届一轮复习浙江专版板块命题点专练(七)简单的三角恒等变换及解三角形

板块命题点专练(七) 简单的三角恒等变换及解三角形 命题点一　简单的三角恒等变换 ‎1．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝(　　)‎ A．　　　　　　　　　　 B． C．－ D．－ 解析：选B　∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选B.‎ ‎2．(2016·全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin 2α＝(　　)‎ A． B． C．－ D．－ 解析：选D　因为cos＝，‎ 所以sin 2α＝cos＝cos ‎＝2cos2－1＝2×－1＝－.‎ ‎3．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.‎ 解析：∵sin α＋cos β＝1， ①‎ cos α＋sin β＝0， ②‎ ‎∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，‎ ‎∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，‎ ‎∴sin(α＋β)＝－.‎ 答案：－ ‎4．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.‎ 解析：由题意知sin＝，θ是第四象限角，‎ 所以cos＞0，‎ 所以cos＝ ＝.‎ tan＝tan ‎＝－ ‎＝－ ‎＝－×＝－.‎ 答案：－ ‎5．(2017·江苏高考)若tan＝，则tan α＝________.‎ 解析：tan α＝tan ‎＝＝＝.‎ 答案： ‎6．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.‎ ‎(1)求cos 2α的值；‎ ‎(2)求tan(α－β)的值．‎ 解：(1)因为tan α＝＝，‎ 所以sin α＝cos α .‎ 因为sin2α＋cos2α＝1，‎ 所以cos2α＝，‎ 所以cos 2α＝2cos2α－1＝－.‎ ‎(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)．‎ 又因为cos(α＋β)＝－，‎ 所以sin(α＋β)＝＝，‎ 所以tan(α＋β)＝－2.‎ 因为tan α＝，‎ 所以 tan 2α＝＝－.‎ 所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]‎ ‎＝＝－.‎ 命题点二　解三角形 ‎1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)‎ A．4 B． C． D．2 解析：选A　∵cos＝，‎ ‎∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.‎ 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×‎ ＝32，‎ ‎∴AB＝4.‎ ‎2．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　∵S＝absin C＝＝＝abcos C，∴sin C＝cos C，‎ 即tan C＝1.‎ ‎∵C∈(0，π)，∴C＝.‎ ‎3．(2018·北京高考)若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝________；‎ eq f(c,a)的取值范围是________．‎ 解析：由余弦定理得cos B＝，‎ ‎∴a2＋c2－b2＝2accos B.‎ 又∵S＝(a2＋c2－b2)，‎ ‎∴acsin B＝×2accos B，‎ ‎∴tan B＝，‎ ‎∵B∈，∴∠B＝.‎ 又∵∠C为钝角，∴∠C＝－∠A＞，‎ ‎∴0＜∠A＜.‎ 由正弦定理得＝ ‎＝＝＋·.‎ ‎∵0＜tan A＜，∴＞，‎ ‎∴＞＋×＝2，‎ 即的取值范围是(2，＋∞)．‎ 答案：　(2，＋∞)‎ ‎4．(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝__________，c＝__________.‎ 解析：由正弦定理＝，‎ 得sin B＝·sin A＝×＝.‎ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 得7＝4＋c2－4c×cos 60°，‎ 即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．‎ 答案：　3‎ ‎5．(2017·浙江高考)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.‎ 解析：在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，‎ 则sin∠ABC＝sin∠CBD＝，‎ 所以S△BDC＝BD·BCsin∠CBD＝×2×2×＝.‎ 因为BD＝BC＝2，所以∠BDC＝∠ABC，‎ 则cos∠BDC＝ ＝.‎ 答案：　 ‎6．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.‎ ‎(1)求sin Bsin C；‎ ‎(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．‎ 解：(1)由题设得acsin B＝，‎ 即csin B＝.‎ 由正弦定理得sin Csin B＝.‎ 故sin Bsin C＝.‎ ‎(2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，‎ 即cos(B＋C)＝－.‎ 所以B＋C＝，故A＝.‎ 由题设得bcsin A＝，即bc＝8.‎ 由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，‎ 得b＋c＝.‎ 故△ABC的周长为3＋.‎ ‎7．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.‎ ‎(1)求cos ∠ADB；‎ ‎(2)若DC＝2，求BC.‎ 解：(1)在△ABD中，由正弦定理，得＝，‎ 即＝，所以sin ∠ADB＝.‎ 由题设知，∠ADB＜90°，‎ 所以cos ∠ADB＝ ＝.‎ ‎(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC＝sin ∠ADB＝.‎ 在△BCD中，由余弦定理，得 BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos ∠BDC ‎＝25＋8－2×5×2×＝25，‎ 所以BC＝5.‎ ‎8．(2016·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acos B.‎ ‎(1)证明：A＝2B；‎ ‎(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．‎ 解：(1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，‎ 故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)‎ ‎＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，‎ 于是 sin B＝sin(A－B)．‎ 又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，‎ 所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，‎ 因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.‎ ‎(2)由S＝得absin C＝，‎ 故有sin Bsin C＝sin A＝ sin 2B＝sin Bcos B.‎ 因为 sin B≠0，所以 sin C＝cos B.‎ 又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.‎ 当B＋C＝时，A＝；‎ 当C－B＝时，A＝.‎ 综上，A＝或A＝.‎ 命题点三　三角函数与解三角形的综合问题 ‎1．(2018·北京高考)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－.‎ ‎(1)求∠A；‎ ‎(2)求AC边上的高．‎ 解：(1)在△ABC中，因为cos B＝－，‎ 所以sin B＝＝.‎ 由正弦定理得sin A＝＝.‎ 由题设知＜∠B＜π，所以0＜∠A＜.‎ 所以∠A＝.‎ ‎(2)在△ABC中，‎ 因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝，‎ 所以AC边上的高为asin C＝7×＝.‎ ‎2．(2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．‎ 解：(1)在△ABC中，‎ 由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B.‎ 又因为bsin A＝acos，‎ 所以asin B＝acos，‎ 即sin B＝cos B＋sin B，‎ 所以tan B＝.‎ 因为B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，‎ 得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.‎ 由bsin A＝acos，可得sin A＝.‎ 因为a＜c，所以cos A＝.‎ 所以sin 2A＝2sin Acos A＝，‎ cos 2A＝2cos2A－1＝.‎ 所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B ‎＝×－×＝.‎ ‎3．(2015·山东高考)设f(x)＝sin xcos x－cos2.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．‎ 解：(1)由题意知f(x)＝－ ‎＝－＝sin 2x－.‎ 由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，‎ 可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；‎ 由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，‎ 可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；‎ 单调递减区间是(k∈Z)．‎ ‎(2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝，‎ 由题意知A为锐角，所以cos A＝.‎ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，‎ 即bc≤2＋，‎ 当且仅当b＝c时等号成立．‎ 因此bcsin A≤.‎ 所以△ABC面积的最大值为.‎