福建省晋江市养正中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题 含答案

福建省晋江市养正中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题 含答案

养正中学 2019-2020 学年高一（上）第二次月考 数学试卷 命题：许贻旺 审核：张澄滨 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题：本小题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.请把答案填在答题纸的相应位置. 1.−840°是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2.设푝: 푥+1 푥−1 < 0，푞: 푙푛푥 < 0，则푝是푞的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 三个数푎 = 0.3−2, 푏 = 20.3, 푐 = 푙표푔20.3大小的顺序是（ ） A． abc B. a c b C．bac D. c a b 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上是减函数的是( ) A．y＝2|x| B．y＝－x3 C．푦 = 푒푥 + 푒−푥 D．y＝－lg|x| 5.下列函数中不能．．用二分法求零点的是（ ） A.푓(푥) = 3푥 − 1 B. 푓(푥) = 푥3 C. 푓(푥) = |푥| D. 푓(푥) = 푙푛푥 6.若函数푦 = 푓(푥)是函数푦 = 푎푥(푎 > 0 且푎 ≠ 1)的反函数，则函数푦 = 푓(2푥 − 1) + 3的图象必过 定点（ ） A. 1( ,4)2 B. (1,4) C. 1( ,3)2 D. (1,3) 7.函数 y= (2푥 − 푥2) 1 2的单调递减区间为（ ） A. (−∞, 1] B. [0,1] C. [1,2] D. [1, +∞) 8. 函数 ( )fx的图象如右图，则该函数可能是（ ） A. ( ) 2 2 1f x x x=− B. ( ) 1f x x x=+ C. ( ) 3 3 1f x x x=− D. ( ) 1f x x x=− 9.若函数푓(푥) = 푎푥 − 푥 − 푎(푎 > 0, 且푎 ≠ 1)有两个零点，则实数푎的取值范围是（ ） A. (1, )+ B. ( )0,1 C. (0, )+ D. (2, )+ 10. 当生物死亡后，其体内原有 碳14 的含量大约每经过5730 年衰减为原来的一半，这个时间 称为“半衰期”.在一次考古挖掘中，考古学家发现一批鱼化石，经检测其碳 14 含量约为原 始含量的3.1% ，则该生物生存的年代距今约（ ） A.1.7 万年 B.2.9 万年 C.3.3 万年 D.3.5 万年 11.若2푙푔푥 + 5푙푔푦 ≥ 5푙푔1 푥 + 2푙푔1 푦，则（ ） A. 1xy  B. 1xy  C. xy D. xy 12．对于函数푦 = 푓(푥)，若存在푥0，使푓(푥0) + 푓(−푥0) = 0，则称点(푥0, 푓(푥0)是函数푓(푥)的“优 美点”.已知푓(푥) = {푥2 + 2푥, 푥 < 0 −푥 + 2, 푥 ≥ 0 ，则函数푓(푥)的“优美点”个数为 A． 1 B． 2 C． 4 D． 6 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13.函数 21( ) ( 5) mf x m m x += − − 是幂函数，且为奇函数，则实数m 的值是________． 14.半径为10푐푚，面积为100푐푚2的扇形中，弧所对的圆心角的弧度数为___________． 15. 已知函数 2( ) log xfx= ，正实数 m，n 满足mn ，且 ( ) ( )f m f n= ，若 ()fx在区间[푚, 푛3] 上的最大值为 6，则 m n = ________． 16. 设푥 > 1, 푦 > 0,且푥 + 2푦 = 2，则 1 푥−1 + 푦+1 푦 的最小值为__________． 三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分 10 分） 已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}． (1)若 m=3，求 A∩∁푅퐵； (2)当 x∈푁∗时，求 A 的非空真子集．．．．．的个数； (3)当 x∈R 时，若 A∪B＝A，求实数 m 的取值范围． 的 18. （本小题满分 12 分） 计算：(1) (√33 × √2)6 + (√3√3) 4 3 − √24 × 80.25 − (−2019)0 (2)2푙표푔23 × 푙표푔2 1 8 + 2푙푔 (√3 + √5 + √3 − √5) + 푙표푔23 ∙ 푙표푔34. 19. （本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) log 2 1x afx=−，（ 0a  且 1a  ）， （1）求函数 ()fx的定义域； （2）求使 ( ) 0fx 的 x 的取值范围. 20 （本小题满分 12 分） 某厂家拟举行双十一促销活动,经调查测算,该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促 销费用 x 万元（ 0x  ）满足 23 1m x=−+ ．已知年生产该产品的固定投入为 8 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍 （产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． (1)将该产品的年利润 y 万元表示为年促销费用 x 万元的函数； (2)该厂家年促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大？ 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 ( )( ) 1+ 21x af x a R=+ ． （1）已知 f（x）的图象关于原点对称，求实数 的值； （2）若 ，已知常数t 满足： ( ) ( ) ( )2 ·2 1 2 2 1xxt f x+  + + 对任意 xR 恒成立，求实数 的 取值范围． 22. （本小题满分 12 分） 已知关于 x 的函数 f（x）=x2-2ax+2． （1）当 a≤2 时，求 f（x）在[ ，3]上的最小值 g（a）； （2）如果函数 f（x）同时满足： ①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数； ②在函数的定义域内存在区间[p，q]，使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]． 则我们称函数 f（x）是该定义域上的“闭函数”． （i）若关于 x 的函数 y= +t（x≥1）是“闭函数”，求实数 t 的取值范围； （ii）判断（1）中 g（a）是否为“闭函数”？若是，求出 p，q 的值或关系式；若不是， 请说明理由． . 养正中学 2019-2020 学年高一（上）第二次月考数学参考答案 一、选择题： CBADC DCDAB AC 二、填空题: 13.-2 14.2 15. 16 16. 4 + 2√2 三、解答题: 17. 解：(1)当 m=3 时，B＝{x|4≤x≤5}，∁푅퐵 = {푥|푥 < 4 或푥 > 5},∴A∩∁푅퐵 = [−2,4)……3 分 (2)当 x∈푁∗时，A＝{x|－2≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}， 共有 5 个元素，所以 A 的非空真子集的个数为 25－2＝30. ……………………………………6 分 (3) 因为 A∪B＝A，所以 B⊆A， 当 B＝∅时，m＋1>2m－1，则 m<2； 当 B≠∅时，可得 2 1 1 { 1 2 2 1 5 mm m m −  + +  − − ，解得 2≤m≤3. 综上可得，实数 m 的取值范围是(－∞，3]． ……………………………………10 分 18.（1）原式＝ 43 1 1 1 23 32 2 4 4(3 2 ) [(3 ) ] 2 8 1 + −  − ＝9 8 3 2 1 72 + − − = ；……………………6 分 （2）原式=3 × (−3) + lg10 + log24 = −9 + 1 + 2 = −6. ……………………………12 分 19.解：（1）由 ( ) log 2 1x afx=−有： 2 1 0 2 1 0 2 1 0x x x x−   −      （3 分） 所以 ()fx的定义域为： 0xx （4 分） （2）① 1a  时，log 2 1 0 log 2 1 log 1xx a a a−   −  2 1 1 2 2 1xxx−      （7 分）， 结合函数的定义域可知： 时， ( )>0fx 的解集为： 1xx （8 分） ② 01a时， 2 1 1 2 2 1xxx−      （11 分） 结合函数的定义域可知： 时， 的解集为： | 0 1xx（12 分） 20.解：(1)由题意可知：每件产品的价格为： 3 8 16 2 m m + . 3 8 16 (8 16 ) 4 82 my m m x m xm +=   − + + = + − ,而 23 1m x=−+ , 所以 1628 1yxx= − −+ ( 0x  )； …………………………………6 分 (2) 16 16 1628 29 ( 1) 29 2 ( 1) 211 1 1y x x xx x x= − − = − + +  −  + =+ + + , 当且仅当 16 11 xx =++ 时取等号,即 2( 1) 16 3xx+ =  = ,所以厂家年促销费用投入 3 万元时,厂 家的利润最大 …………………………………………12 分 21.解：（1）由已知函数푓(푥)为 R 上 奇函数，则 (0) 0f = a= 2− 下面证明a = 时 2( ) 1 21xfx=− + 是奇函数 ( )- 1+2 +22 2 2 1-2 2( ) 1 1 = 1 ( )2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 xxx x x x x xf x f x− − = − = − = = − + = −+ + + + + ∴ 为 R 上 奇函数．∴ 2a =− 另解：定义域为 R ，又知函数为 R 上的奇函数， ( ) ( )f x f x− = −则 对 定义域 R 上的每一个 x 都成立． ∴112 1 2 1xx aa −+ = − −++ ∴ 2 2 1 2 1xx aa −− = +++( ) 2 212 1 2 x xxx aa − =+++ 2 1 2 2 1 x xx aa=+++ (1 2 ) 12 x x a += + = a ，∴ ． ………………………………4 分 （2）若 1a = ，则 1( )=1 21xfx + + ， 1(2 1) ( ) (2 1) 1 2 221 x x x xfx + = + + = ++ 因为 ， 由 ( ) ( ) ( )2 2 1 2 2 1xxt f x +  + + 对 xR 恒成立，得 ( ) ( )2 2 2 2 2 1xxt +  + + ， 的 ∵当 xR 时， 2 2 2x +， ∴ ( ) ( ) 2 2 2 1 1222 2 2 2 x x xxt ++  = + +++ 对 恒成立， 易知，关于 x 的函数( ) 12222 x x+++ 在上 R 为增函数，令 2 2( 2)xmm= +  1m m+ 在 ( )2,m + 上为增， 1 1 52 22m m +  + = ∴ 5 2t  ． ………12 分 22. 解：（1）函数 f（x）=x2-2ax+2=（x-a）2+2-a2，其对称轴方程为 x=a， 当 a≤ 时，f（x）在[ ，3]上单调递增，其最小值为 g（a）=f（ ）= - ； 当 ≤a≤2 时，f（x）在[ ，3]上的最小值为 g（a）=f（a）=2-a2； 函数 f（x）=x2-2ax+2 在[ ，3]上的最小值 g（a）= （2）（i）∵y= +t 在[1，+∞）递增， 由闭函数的定义知，该函数在定义域[1，+∞）内， 存在区间[p，q]（p＜q），使得该函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]，所以 p≥1， 故 ， ∴p2，q2 为方程 +t=x 的二实根， 即方程 x2-（2t+1）x+t2+1=0 在[1，+∞）上存在两个不等的实根且 x≥t 恒成立， 令 u（x）=x2-（2t+1）x+t2+1， ∴ ， ∴ ， 解得 ＜t≤1 ∴实数 t 的取值范围（ ，1]． （ii）对于（1），易知 g（a）在（-∞，2]上为减函数， ①若 p＜q≤ ，g（a）递减，若 g（a）为“闭函数”， 则 ，两式相减得 p+q= ，这与 p＜q≤ 矛盾． ② ＜p＜q≤2 时，若 g（a）为“闭函数”，则 此时 p2+q2=2 满足条件的 p，q 存在， ∴ ＜p＜q≤2 时，使得 g（a）为“闭函数”p，q 存在， ③p≤ ＜q≤2 时，若 g（a）为“闭函数”，则 ， 消去 q 得 9p2-6p+1=0，即（3p-1）2=0 解得 p= 此时，q= ＜2，且 p2+q2=2 ∴p= ＜q≤2 时，使得 g（a）为“闭函数”p，q 存在， 综上所述，当 p，q 满足 时，g（a）为“闭函数”