江苏省南通市四校联盟2020届高三数学模拟考试试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 江苏省南通市2020届四校联盟高三数学模拟测试卷 一、填空题 ‎1.已知集合，，则____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，解可得，即可得集合，解可得集合，由交集的定义，即可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，对于集合，，，则，‎ 对于集合，由或，则或，‎ 则，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查集合交集的计算，关键是正确解出不等式，得到集合、，属于基础题．‎ ‎2.复数（为虚数单位）的共轭复数是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 复数,其共轭复数为,故填.‎ ‎3.设向量，，若，则实数的值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据共线向量的坐标表示得出关于实数的方程，解出即可.‎ ‎【详解】向量，，且，则，解得.‎ 因此，实数的值为.‎ 故答案为：.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查利用向量共线求参数的值，解题的关键就是利用共线向量的坐标表示列出方程求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4.如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题设提供的算法流程图可知:，应填答案．‎ ‎5.函数的定义域为_____________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，由于函数，则使得原式有意义的x的取值范围满足4x-3>1,4x-3,故可知所求的定义域为．‎ 考点：函数的定义域 点评：主要是考查了对数的定义域的运用，以及函数的定义域的求解，属于基础题．‎ ‎6.已知命题，命题，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出命题，，再根据是的充分不必要条件，得到Ü，从而得到不等式组，解得即可；‎ ‎【详解】解：命题，解得 - 22 -‎ 命题，解得 因为是的充分不必要条件，‎ 所以Ü 所以，解得，即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查根据充分条件必要条件求参数的取值范围，属于中档题.‎ ‎7.在正四棱锥中，点是底面中心，，侧棱，则该棱锥的体积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，利用勾股定理算出底面中心到顶点的距离为2，利用正方形的性质得出底面边长为4，再由锥体的体积公式加以计算，即可得到该棱锥的体积．‎ ‎【详解】∵在正四棱锥S﹣ABCD中，侧棱SA=2，高SO=2，‎ ‎∴底面中心到顶点的距离AO==2‎ 因此，底面正方形的边长AB=AO=4，底面积S=AB2=16‎ 该棱锥的体积为V=SABCD•SO=×16×2=．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题给出正四棱锥的高和侧棱长，求它的体积．着重考查了正四棱锥的性质、正方形中的计算和锥体体积公式等知识，属于基础题．‎ ‎8.若函数（）的图象关于直线对称，则＝____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ 由题意利用余弦函数的图象的对称性，求得的值．‎ ‎【详解】解：函数的图象关于直线对称，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，函数，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．‎ ‎9.已知椭圆的离心率，A,B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A,B的一点，直线PA,PB倾斜角分别为，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，，，设，则，，‎ ‎∴，∵椭圆的离心率，‎ ‎∴，∴，∴，∴，，‎ ‎，‎ 考点：（1）椭圆的简单性质；（2）两角和与差的余弦函数.‎ ‎10.在所在的平面上有一点，满足，则=____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 22 -‎ ‎【分析】‎ ‎，代入即可得到，所以三点，，共线，所以可画出图形，根据向量的数量积的定义式并结合图形即可求得．‎ ‎【详解】解：；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎，，三点共线，如图所示：‎ ‎；‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】考查向量的减法运算，共线向量基本定理，向量的数量积，属于中档题．‎ ‎11.已知，则的最小值________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数解析式变形为，然后在代数式上乘以，展开后利用基本不等式可求出该函数的最小值.‎ ‎【详解】，，‎ - 22 -‎ ‎，‎ 由基本不等式得.‎ 当且仅当时，即当时，等号成立，‎ 因此，函数的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最小值，解题的关键在于将函数解析式配凑，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎12.若函数，存在零点，则实数a的取值范围为____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数，存在零点，等价于，在上有解，即函数与在上有交点，令求出函数在上的值域，即可得到参数的取值范围.‎ ‎【详解】解：因为函数，存在零点，‎ 等价于，在上有解，‎ 即在上有解，‎ 即函数与在上有交点，‎ - 22 -‎ 令 当时，，，即在上单调递增，所以；‎ 当时，，，‎ 令，解得，即在上单调递增，在上单调递减，所以；‎ 故在上的值域为，‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点，利用导数研究函数的最值，属于中档题.‎ ‎13.已知，若同时满足条件：①或；②.则m的取值范围是________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据可解得x<1,由于题目中第一个条件限制，导致f(x)在是必须是，当m=0时，不能做到f(x)在时，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为，为保证条件成立，只需，和大前提m<0取交集结果为；又由于条件2的限制，可分析得出在 - 22 -‎ 恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比两个根中较小的来的大，当时，，解得交集为空，舍．当m=-1时，两个根同为，舍．当时，，解得，综上所述，．‎ ‎【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想．‎ 二、解答题（共6小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎14.如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．‎ ‎（1）求证：AC1∥平面PBD；‎ ‎（2）求证：BD⊥A1P．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接AC交BD于O点，连接OP，证出AC1∥OP，再由线面平行的判定定理即可证出.‎ ‎（2）首先由线面垂直判定定理证出BD⊥面AC1，再由线面垂直的定义即可证出.‎ ‎【详解】（1）‎ 连接AC交BD于O点，连接OP，‎ 因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O，‎ - 22 -‎ 所以O点是AC的中点，所以AO=OC．‎ 又因为点P是侧棱C1C的中点，所以CP=PC1，‎ 在△ACC1中，，所以AC1∥OP，‎ 又因为OP⊂面PBD，AC1⊄面PBD，‎ 所以AC1∥平面PBD．‎ ‎（2）连接A1C1．因为ABCD–A1B1C1D1为直四棱柱，‎ 所以侧棱C1C垂直于底面ABCD，‎ 又BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD，‎ 因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，‎ 又AC∩CC1=C，AC⊂面AC1，CC1⊂面AC1，所以BD⊥面AC1，‎ 又因为P∈CC1，CC1⊂面ACC1A1，所以P∈面ACC1A1，‎ 因为A1∈面ACC1A1，所以A1P⊂面AC1，所以BD⊥A1P．‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，需熟记定理的内容，证明线面平行，先证“线线平行”，证明异面直线垂直，先证“线面垂直”,属于基础题.‎ ‎15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝．‎ ‎（Ⅰ）若c＝2a，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若C－B＝，求sinA的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由余弦定理及得出b,c关系，再利用正弦定理即可求出；（2）根据正余弦的二倍角公式及同角三角函数之间的关系，即可解出.‎ 试题解析：（1）解法1：在中，因为，所以.‎ 因为，所以，即，所以.‎ - 22 -‎ 又由正弦定理得，所以.‎ 解法2：因为，所以.‎ 因为，由正弦定理得，‎ 所以，即.‎ 又因，解得，所以.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 又，所以，所以.‎ 因为，即，所以，‎ 所以 试题点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系与两角和的正弦公式，以及三角形中角之间的关系．‎ ‎16.在平面直角坐标系中，已知椭圆C:(>>0)的右焦点为F(1，0)，且过点(1，)，过点F且不与轴重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，且满足.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ - 22 -‎ ‎(2)若，求直线AB的方程.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入椭圆方程，结合关系，即可求出椭圆标准方程；‎ ‎（2）设直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理，得出两点的坐标关系，进而求出点坐标，代入椭圆方程，即可求出直线方程.‎ ‎【详解】(1)由题意可知，=1，且 又因为，‎ 解得，，‎ 所以椭圆C的标准方程为；‎ ‎(2)若直线AB的斜率不存在，则易得，，‎ ‎∴，得P(，0)，‎ 显然点P不在椭圆上，舍去；‎ 因此设直线的方程为，设，，‎ 将直线的方程与椭圆C的方程联立，‎ 整理得，‎ ‎∴，‎ 则由 - 22 -‎ 得 將P点坐示代入椭圆C的方程，‎ 得(*)；‎ 将代入等式(*)得 ‎∴‎ 因此所求直线AB的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，椭圆与直线的位置关系，,用设而不求的方法解决有关相交弦的问题，属于中档题.‎ ‎17.某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，CD，CE为路灯灯杆，CD⊥AB，∠DCE=，在E处安装路灯，且路灯的照明张角∠MEN=.已知CD=4m，CE=2m.‎ ‎(1)当M，D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；‎ ‎(2)求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用余弦定理求出，进而求出，结合已知条件，求出，用正弦定理求出；‎ ‎（2）由面积公式，余弦定理结合基本不等式，即可求出结果.‎ ‎【详解】(1)当M，D重合时，‎ - 22 -‎ 由余弦定理知，‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴在ΔEMN中，由正弦定理可知，‎ 解得；‎ ‎(2)易知E到地面的距离=5m 由三角形面积公式可知，‎ ‎∴，又由余弦定理可知，，‎ 当且仅当EM=EN时，等号成立，‎ - 22 -‎ ‎∴，解得 答:(1)路灯在路面的照明宽度为m；‎ ‎(2)照明宽度MV最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的实际应用，涉及到正弦定理，余弦定理，面积公式，基本不等式，是一道综合题.‎ ‎18.已知函数（）的图象为曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】(1)(2)(3) 不存在一条直线与曲线C同时切于两点 ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：解：（Ⅰ），则，‎ 即曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围是； ‎ ‎（Ⅱ）由（1）可知， ‎ 解得或，由或 得：；‎ ‎（Ⅲ）设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B，‎ ‎，‎ 则切线方程是：，‎ 化简得：，‎ - 22 -‎ 而过B的切线方程是，‎ 由于两切线是同一直线，‎ 则有：，得， ‎ 又由，‎ 即 ‎，即 即，‎ 得，但当时，由得，这与矛盾．‎ 所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点. ‎ 考点：本试题考查了导数几何意义的运用．‎ 点评：对于切线方程的求解主要抓住两点：第一是切点，第二就是切点出的切线的斜率．然后结合点斜式方程来得到．以及利用函数的思想求解斜率的范围，或者确定方程的解即为切线的条数问题．‎ ‎19.设各项均为正数的数列的前项和为，已知，且对一切都成立.‎ ‎(1)当时. ‎ ‎①求数列的通项公式；‎ ‎②若，求数列的前项的和；‎ ‎(2)是否存在实数，使数列是等差数列.如果存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1)①；②；(2)存在，0.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) ①时，可得到，即，然后用累乘法可得，进而可得出数列是首项为1，公比为2的等比数列，‎ - 22 -‎ ‎，②用错位相减法算出即可 ‎(2)先由算出，然后再证明即可 ‎【详解】(1)①若，因为 则，.‎ 又∵，，∴，‎ ‎∴，‎ 化简，得. ①‎ ‎∴当时，. ②‎ ‎②－①，得，∴.‎ ‎∵当时，，∴时上式也成立，‎ ‎∴数列是首项为1，公比为2的等比数列，.‎ ‎②因为，∴‎ 所以 所以 将两式相减得：‎ 所以 ‎(2)令，得.令，得.‎ 要使数列是等差数列，必须有，解得.‎ 当时，，且.‎ - 22 -‎ 当时，，‎ 整理，得，，‎ 从而，‎ 化简，得，所以. ‎ 综上所述，，‎ 所以时，数列是等差数列.‎ ‎【点睛】1.常见数列求和方法：公式法、裂项相消法、分组求和法、错位相减法 ‎2.数列当中的一些推断求值问题，可先由特殊的算出来，然后再证明.‎ ‎20.已知矩阵，其中、，点在矩阵的变换下得到的点.‎ ‎（1）求实数、的值；‎ ‎（2）求矩阵的逆矩阵．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得出，可得出关于实数、的方程组，解出即可；‎ ‎（2）计算出矩阵的行列式的值，然后利用求二阶逆矩阵的方法可求出.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，所以；‎ ‎（2），．‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查利用矩阵变换求参数，同时也考查了二阶逆矩阵的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎21.在极坐标系中，已知，线段的垂直平分线与极轴交于点，求的极坐标方程及的面积．‎ ‎【答案】的极坐标方程及,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将转化为直角坐标系下的坐标形式，然后求出线段的中点与直线的斜率，进而求出直线l在直角坐标系下的方程，再转化为极坐标方程；在直角坐标系下，求出点C到直线AB的距离、线段AB的长度，从而得出的面积.‎ ‎【详解】解：以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xoy 在平面直角坐标系xoy中，‎ ‎ 的坐标为 线段的中点为，‎ 故线段中垂线的斜率为，‎ 所以的中垂线方程为：‎ 化简得：，‎ 所以极坐标方程为，‎ 即，‎ 令，则，‎ 故在平面直角坐标系xoy中，C（10,0）‎ - 22 -‎ 点C到直线AB：的距离为，‎ 线段，‎ 故的面积为.‎ ‎【点睛】本题考查了直线的极坐标方程问题，解题时可以将极坐标系下的问题转化为平面直角坐标系下的问题，从而转化为熟悉的问题.‎ ‎22.已知函数是奇函数.‎ ‎（1）求实数，的值；‎ ‎（2）若对任意实数，都有成立.求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据为奇函数，，即可求解实数的值. ‎ ‎（2）利用换元法，转化为二次函数的问题讨论最值恒成立即可求解实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 因为为奇函数，∴，‎ ‎∴，‎ 即总成立.‎ ‎∴，∴，‎ 又当时，同理可得，综上.‎ - 22 -‎ ‎（2）∵，，原不等式化为，‎ 令，则，原不等式进一步化为在上恒成立.‎ 记，.‎ ‎①当时，即时，，∴合理；‎ ‎②当时，即时，，显然矛盾.‎ 综上实数的取值范围为：.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的奇偶性求参数值，一元二次不等式恒成立求参数的取值范围，属于中档题.‎ ‎23.已知，．记．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．‎ ‎【答案】（1）；（2），证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由二项式定理得，利用公式计算的值；‎ ‎（2）由组合数公式化简，把化为的整数倍即可．‎ ‎【详解】由二项式定理，得；‎ ‎（1）； ‎ ‎（2）因为，‎ 所以 - 22 -‎ ‎，‎ ‎，‎ 因为，所以能被整除.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理与组合数公式的应用问题，也考查了整除问题，是难题．‎ - 22 -‎ ‎ ‎ - 22 -‎