【数学】2020届数学文一轮复习第六章第1讲数列的概念与简单表示法作业

【数学】2020届数学文一轮复习第六章第1讲数列的概念与简单表示法作业

‎1．已知数列，，，，，…，则5是它的(　　)‎ A．第19项　　　　　　　 B．第20项 C．第21项 D．第22项 解析：选C．数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…，‎ 所以通项公式为an＝＝，令＝5，得n＝21.‎ ‎2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，则a2 018＝(　　)‎ A．1 B．0‎ C．2 018 D．－2 018‎ 解析：选B．因为a1＝1，所以a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{an}是以2为周期的数列，所以a2 018＝a2＝0.‎ ‎3．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝(　　)‎ A．2n B．2n－1‎ C．2n D．2n－1‎ 解析：选C．当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，所以an＝2an－1，所以数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2，所以an＝2n.‎ ‎4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，则a10＝(　　)‎ A．64 B．32‎ C．16 D．8‎ 解析：选B．因为an＋1an＝2n，所以an＋2an＋1＝2n＋1，两式相除得＝2.‎ 又a1a2＝2，a1＝1，所以a2＝2.‎ 法一：···＝24，即a10＝25＝32.‎ 法二：数列{a2n}是首项为2，公比为2的等比数列，‎ 所以a10＝2×24＝32.‎ ‎5．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选A．令n＝2，3，4，5分别求出a3＝，a5＝，所以a3＋a5＝.‎ ‎6．数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝an－1，则a5的值为________．‎ 解析：由an＋1＝an－1，得an＋1＋2＝(an＋2)，所以数列{an＋2}是以4为首项，为公比的等比数列，所以an＋2＝4×＝23－n，an＝23－n－2，所以a5＝23－5－2＝－.‎ 答案：－ ‎7．(2019·兰州诊断)已知数列{an}，{bn}，若b1＝0，an＝，当n≥2时，有bn＝bn－1＋an－1，则b501＝______．‎ 解析：由bn＝bn－1＋an－1得bn－bn－1＝an－1，所以b2－b1＝a1，b3－b2＝a2，…，bn－bn－1＝an－1，所以b2－b1＋b3－b2＋…＋bn－bn－1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋，即bn－b1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝1－＝，又b1＝0，所以bn＝，所以b501＝.‎ 答案： ‎8．数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝若an＝，则n的值为________．‎ 解析：因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以n＝9.‎ 答案：9‎ ‎9．已知数列{an}的前n项和为Sn.‎ ‎(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；‎ ‎(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.‎ 解：(1)因为a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，‎ 当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝‎ ‎(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，‎ 又a1也适合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．‎ ‎(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2，‎ 由于a1不适合此式，所以an＝ ‎10．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．‎ ‎(1)求a1，a2，a3，a4的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ 解：(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得a1＝a＋a1，解得a1＝1；‎ S2＝a1＋a2＝a＋a2，‎ 解得a2＝2；‎ 同理a3＝3，a4＝4.‎ ‎(2)Sn＝a＋an，①‎ 当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②‎ ‎①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.‎ 由于an＋an－1≠0，‎ 所以an－an－1＝1，‎ 又由(1)知a1＝1，‎ 故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.‎ ‎1．在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9等于(　　)‎ A．256 B．510‎ C．512 D．1 024‎ 解析：选C．在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.所以a6＝a3·a3＝64，a3＝8.所以a9＝a6·a3＝64×8＝512.‎ ‎2．一给定函数y＝f(x)的图象在下列各图中，并且对任意a1∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1>an(n∈N*)，则该函数的图象是(　　)‎ 解析：选A．由an＋1＝f(an)，an＋1>an知f(an)>an，可以知道x∈(0，1)时f(x)>x，即f(x)的图象在y＝x图象的上方，由选项中所给的图象可以看出，A符合条件．‎ ‎3．(2019·长春模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an等于(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选B．由题意知，Sn＋nan＝2，当n≥2时，(n＋1)an＝(n－1)an－1，从而···…·＝··…·，有an＝，‎ 当n＝1时上式成立，所以an＝.‎ ‎4．(2019·成都第二次诊断性检测)若数列{xn}中，x1＝tan α，且xn＋1＝，则通项公式xn＝________．‎ 解析：由xn＋1＝，x1＝tan α，得x2＝＝＝tan.‎ x3＝＝＝tan，…‎ 依此类推，可得xn＝tan.‎ 答案：tan ‎5．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ 解：(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.‎ 由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6.‎ ‎(2)由题设知a1＝1.‎ 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，‎ 整理得an＝an－1.‎ 于是a1＝1，‎ a2＝a1，‎ a3＝a2，‎ ‎…‎ an－1＝an－2，‎ an＝an－1.‎ 将以上n个等式两端分别相乘，‎ 整理得an＝.‎ 显然，当n＝1时也满足上式．‎ 综上可知，{an}的通项公式an＝.‎ ‎6．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)．‎ ‎(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；‎ ‎(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．‎ 解：(1)因为an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)，‎ 又a＝－7，所以an＝1＋(n∈N*)．‎ 结合函数f(x)＝1＋的单调性，‎ 可知1>a1>a2>a3>a4，‎ a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．‎ 所以数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.‎ ‎(2)an＝1＋＝1＋，已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，‎ 结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知5<<6，即－10

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