高考数学一轮复习第七章算法、复数、推理与证明7-3合情推理与演绎推理练习理北师大版

高考数学一轮复习第七章算法、复数、推理与证明7-3合情推理与演绎推理练习理北师大版

‎7.3 合情推理与演绎推理 核心考点·精准研析 考点一　类比推理 ‎ ‎1.运用祖暅原理计算球的体积时,构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,与半球(如图一)放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥(如图二),用任何一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积相等,由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆+=1绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图三),类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于 (　　)‎ A.4π　B.8π　C.16π　D.32π ‎2.我们知道:在平面内,点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式d=,通过类比的方法,可求得:在空间中,点(2,4,1)到直线x+2y+2z+3=0的距离为 ‎(　　)‎ A.3　　 B.5 C. D.3‎ ‎【解析】1.选C.构造一个底面半径为2,高为3的圆柱,在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥,‎ 则当截面与底面距离为h(0≤h≤3)时,小圆锥的底面半径为r,则=,所以r=h,故截面面积为4π-,‎ - 8 -‎ 把y=h代入椭圆+=1可得x=±,‎ 所以橄榄球形几何体的截面面积为πx2=4π-,‎ 由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积V=2(V圆柱-V圆锥)=‎ ‎2=16π.‎ ‎2.选B.类比平面内点到直线的距离公式,可得空间中点(x0,y0,z0)到直线Ax+By+Cz+D=0的距离公式为 d=,则所求距离d==5.‎ ‎　类比推理的分类 考点二　演绎推理 ‎ ‎【典例】已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N+). ‎ ‎ (1)求a2,a3,a4的值,猜想数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)运用(1)中的猜想,证明数列是等差数列,并注明大前提、小前提和结论.‎ ‎【解题导思】‎ 序号 题目拆解 ‎(1)‎ 猜想数列的通项公式 根据a2,a3,a4的结构特征归纳猜想 - 8 -‎ ‎(2)‎ 证明数列是等差数列 证明-=常数 ‎【解析】(1)因为数列{an}中,a1=1,an+1=,‎ a2=,a3=,a4=,猜想:an=.‎ ‎(2)因为通项公式为an的数列{an},若an+1-an=d,d是常数,则{an}是等差数列,…大前提 又因为-=,为常数;…小前提 所以数列是等差数列.…结论 ‎　演绎推理的推证规则 ‎　(1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略.‎ ‎(2)在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成.‎ ‎　设数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=2-Sn(n∈N*).‎ ‎(1)求a1,a2,a3,a4的值并写出其通项公式.‎ ‎(2)用三段论证明数列{an}是等比数列.‎ ‎【解析】(1)由an=2-Sn,‎ 当n=1时,a1=2-S1=2-a1,解得a1=1,‎ 当n=2时,a2=2-S2=2-a1-a2,解得a2=,‎ 当n=3时,a3=2-S3=2-a1-a2-a3,解得a3=,‎ 当n=4时,a4=2-S4=2-a1-a2-a3-a4,解得a4=,‎ - 8 -‎ ‎…由此归纳推理得an=(n∈N*).‎ ‎(2)因为通项公式为an的数列{an},‎ 若=p,p是非零常数,则{an}是等比数列;‎ 因为通项公式an=,又=;‎ 所以通项公式an=的数列{an}是等比数列.‎ 考点三　归纳推理 ‎ 命 题 精 解 读 ‎1.考什么:(1)考查数学定义、等式、不等式的证明.‎ ‎(2)考查逻辑推理的核心素养.‎ ‎2.怎么考:与数列、基本初等函数结合考查数学概念、数列相关的等式、不等式的证明.‎ ‎3.新趋势:与三角、统计等知识点的交汇问题.‎ 学 霸 好 方 法 ‎1.数字排列问题的解题方法:先从行的规律归纳开头与末尾的数与所在行的关系式,再从列的规律归纳数与所在列的关系式,最后归纳表中各个数与行列的关系式 ‎2.与式子有关的推理 ‎(1)与不等式有关的归纳推理:观察所给几个不等式两边式子的特点,注意纵向看、找出隐含规律.‎ ‎(2)与数列有关的归纳推理:通常是先求出几个特殊项,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出式子即可.‎ ‎3.图形问题的解法:与图形变化有关的归纳推理,合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性.‎ 与数字有关的归纳推理 ‎【典例】(2019·宜昌模拟)大衍数列,源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,揭示了中国传统文化中的太极衍生原理(其衍生过程如图所示).已知大衍数列的前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则此数列第25项与第26项之和为 (　　)‎ - 8 -‎ A.600　　 B.650　　 C.700　　 D.750‎ ‎【解析】选B.0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,72,84,98,112,128,144,162,‎ ‎180,200,220,242,264,288,312,338,故此数列第25项与第26项之和为312+338=650.‎ 与式子有关的归纳推理 ‎【典例】(2019·武汉模拟)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,……,第n个三角形数为=n2+n,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:‎ 三角形数N(n,3)=n2+n 正方形数N(n,4)=n2‎ 五边形数N(n,5)=n2-n 六边形数N(n,6)=2n2-n 可以推测N(n,k)=________________,由此计算N(5,12)=________________. ‎ ‎【解析】原已知式子可化为:‎ N(n,3)=n2+n=n2+n;‎ N(n,4)=n2=n2+n;‎ N(n,5)=n2-n=n2+n;‎ - 8 -‎ N(n,6)=2n2-n=n2+n;‎ 可推测N(n,k)=n2+n,‎ 故N(5,12)=5×52-4×5=105.‎ 答案:n2+n　105‎ 与图形有关的归纳推理 ‎【典例】(2020·衡水模拟)如图,第(1)个多边形是由正三角形“扩展“而来,第(2)个多边形是由正方形“扩展”而来,……,如此类推.设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为an,则+++…+= (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选A.a3=12,a4=20,a5=30,猜想an=n(n+1)(n≥3,n∈N*),所以==-,‎ 所以+++…+=+++…+=-=.‎ ‎1.(2020·山东省实验中学模拟)观察下列式子,ln 2>,ln 3>+,ln 4>++,……,根据上述规律,第n个不等式应该为________________. ‎ - 8 -‎ ‎【解析】根据题意,对于第一个不等式,ln 2>,则有ln(1+1)>,‎ 对于第二个不等式,ln 3>+,则有ln(2+1)>+,‎ 对于第三个不等式,ln 4>++,则有ln(3+1)>++,‎ 以此类推:‎ 第n个不等式为:ln(n+1)>++…+.‎ 答案:ln(n+1)>++…+‎ ‎2.(2020·西北工业大学附中模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以下排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________________. ‎ ‎1‎ ‎2　3‎ ‎4　5　6‎ ‎7　8　9　10‎ ‎……‎ ‎【解析】第n-1行最后一个数是1+2+3+…+(n-1)=,第n(n≥3)行从左至右的第3个数是 ‎+3=.‎ 答案:‎ 如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标0,点(1,0)处标1,点(1,-1)处标2,点(0,-1)处标3,点(-1,-1)处标4,点(-1,0)处标5,点(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,…,以此类推,则格点坐标(22,23)的标签为 (　　)‎ - 8 -‎ A.2 109 B.2 107 C.2 207 D.2 209‎ ‎【解析】选C.观察图像得点(1,0)处标1,即12,点(2,1)处标9,即32,点(3,2)处标25,即52,归纳点(n+1,n)处标(2n+1)2,则格点坐标(24,23)的标签为(2×23+1)2=2 209,又点(22,23)在点(24,23)左边两格,即格点坐标(22,23)的标签为2 207.‎ - 8 -‎