江苏省南通市启东市启东中学2019-2020学年高二上学期质检数学试题

江苏省南通市启东市启东中学2019-2020学年高二上学期质检数学试题

2019-2020 学年江苏省南通市启东中学高二第一学期 第二次质检（数学） 一、选择题 1.△ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c 若 a=3，b= ，B，A，C 成等差数列，则 B= （ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 B，A，C 成等差数列，可得 2A＝B+C＝π﹣A，解得 A．利用正弦定理可得 sinB ，即 可得出． 【详解】∵B，A，C 成等差数列， ∴2A＝B+C＝π﹣A， 解得 A ． 则 sinB ， 又 a＞b，∴B 为锐角． ∴B ． 故选 A． 【点睛】本题考查了正弦定理、三角函数求值、等差数列的性质、三角形内角和定理，考查 了推理能力与计算能力，属于基础题． 2.某入伍新兵在打靶训练中，连续射击 2 次，则事件“至少有 1 次中靶”的互斥事件是（ ） A. 至多有一次中靶 B. 2 次都中靶 C. 2 次都不中靶 D. 只有一次中靶 【答案】C 【解析】 【详解】事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶， 连续射击 2 次有“至少有 1 次中靶”和“2 次都不中靶”， 3 6 π 5 6 π 6 π 5 6 π 2 3 π bsinA a = 3 π= 3 13 3 2 sinbsinA a π⋅ = = = 6 π= 这两个事件不能同时发生，是互斥事件并且是对立事件. 故选 C. 3.直线 与 、 为端点的线段有公共点，则 k 的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由直线方程可得直线恒过点 ，利用两点连线斜率公式可求得临界值 和 ，从而 求得结果. 【详解】直线 恒过点 则 ， 本题正确选项： 【点睛】本题考查利用直线与线段有交点确定直线斜率取值范围的问题，关键是能够确定直 线恒过的定点，从而找到直线与线段有交点的临界状态. 4.已知数列{an}中，a3=2，a7=1，若数列 是等差数列，则 a11 等于（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知结合等差数列的性质列式计算． 【详解】∵数列 是等差数列， ∴ ， ∵a3＝2，a7＝1， ( 1)y k x= − (3,2)A (0,1)B [ 1,1]− [ 1,3]− ( , 1] [3, )−∞ − ∪ +∞ ( , 1] [1, )−∞ − +∞ ( )1,0C ACk BCk ( )1y k x= − ( )1,0C 2 0 13 1ACk −= =− 1 0 10 1BCk −= = −− ( ] [ ), 1 1,k∴ ∈ −∞ − +∞ D 1 1 na    +  1 3 1 6 1 2 1 1 na    +  3 11 7 1 1 2 1 1 1a a a + =+ + + ∴ ，解得 ． 故选 D． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题． 5.过点 P（-2，3）向圆 x2+y2=1 引圆的两条切线 PA，PB，则弦 AB 所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由 PA 为圆的切线，得到 OA 与 PA 垂直，利用勾股定理求出|PA|的长，进而表示出以 P 为圆心， |PA|为半径的圆方程，根据 AB 为两圆的公共弦，即可确定出弦 AB 所在的直线方程． 【详解】∵PA 为圆的切线，∴OA⊥PA， ∴|PA|2＝|OP|2﹣1＝4+9﹣1＝12， ∴以 P 为圆心，|PA|为半径的圆方程为（x+2）2+（y﹣3）2＝12， ∵AB 为两圆的公共弦， ∴弦 AB 所在的直线方程为[（x+2）2+（y﹣3）2﹣12]﹣（x2+y2﹣1）＝0， 整理得：2x﹣3y+1＝0． 故选 A． 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，表示出以 P 为圆心，|PA|为半径的圆方程是解本 题的关键． 6.设 a,b,c 是空间的三条直线，给出以下五个命题： ①若 a⊥b，b⊥c，则 a⊥c； ②若 a、b 是异面直线，b、c 是异面直线，则 a、c 也是异面直线； ③若 a 和 b 相交，b 和 c 相交，则 a 和 c 也相交； ④若 a 和 b 共面，b 和 c 共面，则 a 和 c 也共面； ⑤若 a∥b，b∥c，则 a∥c； 其中正确的命题的个数是（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3. 11 2 1 1 1 1 1 2 1 a = ++ + + 11 1 2a = 2 3 1 0x y− + = 2 3 1 0x y+ + = 3 2 1 0x y+ + = 3 2 1 0x y− + = 【答案】B 【解析】 【分析】 由线线的位置关系可判断①②③④错误；由平行的传递性判断⑤正确. 【详解】①若 a⊥b，b⊥c，则 a⊥c，垂直于同一直线的两条直线相交、平行、异面皆有可能， 故命题不正确； ②若 a、b 是异面直线，b、c 是异面直线，则 a、c 可能相交、平行、异面，故命题不正确； ③若 a 和 b 相交，b 和 c 相交，则 a 和 c 可能相交、平行、异面，故命题不正确； ④若 a 和 b 共面，b 和 c 共面，则 a 和 c 也共面，线线间共面关系不具有传递性，a∥b，b 与 c 相交，则 a，c 可以是异面关系，故命题不正确； ⑤若 a∥b，b∥c，则 a∥c，此是空间两直线平行公理，是正确命题； 综上，仅有⑤正确 故选 B． 【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系的判断，主要考查空间想像能力，空间 中线面、线线位置关系的判断力． 7.定义：若 =q（n∈N*，q 为非零常数），则称{an}为“差等比数列”，已知在“差 等比数列”{an}中，a1=1，a2=2，a3=4，则 a2019-a2018 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得 2，a2﹣a1＝1，即有数列{an+1﹣an}为首项为 1，公比为 2 的等比数列， 由等比数列的通项公式，即可得到所求值． 【详解】在“差等比数列”{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4， 可得 2，a2﹣a1＝1， 即有数列{an+1﹣an}为首项为 1，公比为 2 的等比数列， 可得 an+1﹣an＝2n﹣1， 2 1 1 n n n n a a a a + + + − − 20192 20182 20172 20162 3 2 2 1 a a a a − =− 3 2 2 1 a a a a − =− 则 a2019﹣a2018 的值为 22017． 故选 C． 【点睛】本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等比数列的定义和通项公式的运用，考 查运算能力，属于基础题． 8.在△ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 3a2+3c2-3b2=2ac， ⋅ =2，则△ABC 的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用余弦定理求出 B 的余弦函数值，结合向量的数量积求出 ca 的值，然后求解三角形的面 积． 【详解】在△ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 3a2+3c2﹣3b2＝2ac， 可得 cosB ，则 sinB ， ⋅ 2，可得 cacosB＝2，则 ac＝6， ∴△ABC 的面积为： 2 ． 故选 C． 【点睛】本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力． 9.过直线 l： 上的点作圆 C： 的切线，若在直线 l 上存在一点 M，使得 过点 M 的圆 C 的切线 MP， Q 为切点 满足 ，则 a 的取值范围是 　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 BA BC 2 3 2 2 2 4 2 2 2 2 1 2 3 a c b ac + −= = 2 2 3 = BA BC = 1 1 2 262 2 3acsinB = × × = 2 2y x a= + 2 2 1x y+ = ( ,MQ P ) 90PMQ∠ =  ( ) [ ]10,10− 10, 10 −  ] [( ), 10 10,−∞ − ∪ +∞ ] [( ), 10 10,−∞ − ∪ +∞ 由切线的对称性和圆的知识将问题转化为 到直线 l 的距离小于或等于 ，再由点到 直线的距离公式得到关于 a 的不等式求解． 【详解】圆 C： ，圆心为： ，半径为 1， 在直线 l 上存在一点 M，使得过 M 的圆 C 的切线 MP， Q 为切点 满足 ， 在直线 l 上存在一点 M，使得 M 到 的距离等于 ， 只需 到直线 l： 的距离小于或等于 ， 故 ，解得 ， 故选 B． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，由题意得到圆心到直线的距离小于或等于 是解决 问题的关键，属中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时 候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点 的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到 垂径定理. 10.已知等比数列{an}，an＞0，a1=256，S3=448，Tn 为数列{an}的前 n 项乘积，则当 Tn 取得最 大值时，n=（ ） A. 8 B. 9 C. 8 或 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设等比数列{an}的公比为 q，由 an＞0，可得 q＞0．根据 a1＝256， S3＝448，可得 256 （1+q+q2）＝448，解得 q．可得 an，Tn，利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】设等比数列{an}的公比为 q，∵an＞0，∴q＞0． ∵a1＝256，S3＝448， ∴256（1+q+q2）＝448， 解得 q ． ∴an＝256 29﹣n． ( )0,0C 2 2 2 1x y+ = ( )0,0  ( ,MQ P ) 90PMQ∠ =  ∴ ( )0,0C 2 ∴ ( )0,0C 2y x a= + 2 2 1 4 a ≤ + 10 10a− ≤ ≤ 2 8.5 1 2 = 11( )2 n−× = Tn＝28•27•……•29﹣n＝28+7+…+9﹣n ． ∴当 n＝8 或 9 时，Tn 取得最大值时， 故选 C． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题． 二、填空题 11.已知点 P1（2，3）、P2（-4，5）和 A（-1，2），则过点 A 且与点 P1、P2 距离相等的直线方 程为______． 【答案】x+3y﹣5＝0 或 x＝﹣1． 【解析】 【分析】 由题意可知过点 A 且与点 P1，P2 距离相等的直线有两种情况，当直线与点 P1，P2 的连线平行 时，由两点式求出斜率，再由点斜式写出直线方程，当直线过线段 P1P2 的中点时，由中点坐 标公式求出线段 P1P2 的中点，然后直接得到直线方程． 【详解】①当直线与点 P1，P2 的连线平行时， 由直线 P1P2 的斜率 k ， 所以所求直线方程为 y﹣2 （x+1）， 即 x+3y﹣5＝0； ②当直线过线段 P1P2 的中点时， 因为线段 P1P2 的中点为（﹣1，4）， 所以直线方程为 x＝﹣1． ∴所求直线方程 x+3y﹣5＝0 或 x＝﹣1， 故答案为：x+3y﹣5＝0 或 x＝﹣1． 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，考查了分类讨论的数学思想方法，是一道基础 题． 12.已知 a、b、c 为△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边，向量 =（-1， ）， =（cosA， sinA），若 ⊥ ，且 acosB+bcosA=csinC，则角 B 的大小为______． 为 ( ) 217 289[ )8 9 2 4 2 22 2 nn n  − − − + −   = = 3 5 1 2 4 3 −= = −+ 1 3 = − m 3 n m n 【答案】 【解析】 【分析】 由 ⊥ ，可得 • cosA sinA＝0，解得 A．由 acosB+bcosA＝csinC，利用正弦定 理可得 sinAcosB+sinBcosA＝sinCsinC，化简整理可得 A，进而得出 B＝π﹣A﹣C． 【详解】∵ ⊥ ， ∴ • cosA sinA＝0， 解得 tanA ，A∈（0，π）． ∴A ． ∵acosB+bcosA＝csinC， ∴sinAcosB+sinBcosA＝sinCsinC， ∴sin（A+B）＝sinCsinC，C∈（0，π）． ∴sinC＝sinCsinC≠0， ∴sinC＝1，解得 C ． ∴B＝π﹣A﹣C ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正弦定理、数量积运算性质、和差公式、三角形内角和定理，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题． 13.从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数 a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数 b，则向量 ＝(a， b)与向量 ＝(－1， 1)垂直的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】 求得所有的（a，b）共有 12 个，满足两个向量垂直的（a，b）共有 2 个，利用古典概型公式 解答． 【详解】所有的（a，b）共有 4×3＝12 个， 3 π m n m n = − 3+ m n m n = − 3+ 3 3 = 6 π= 2 π= 3 π= 3 π m n 1 6 由向量 （a，b）与向量 （﹣1，1）垂直，可得 b﹣a＝0，即 a＝b， 故满足向量 （a，b）与向量 （﹣1，1）垂直的（a，b）共有 2 个：（3，3）、（5， 5）， 故向量向量 （a，b）与向量 （﹣1，1）垂直的概率为 ； 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质、古典概率及其计算公式运用，属于基础题． 14.已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，且 = ，则使得 为 整数的正整数 n 的个数是______． 【答案】5 【解析】 【分析】 推得 2 ．由 32 的正的公约数为 2，4，8，16，32，即可得出结论． 详解】 2 ． n＝1，3，7，15，31 时， ∴使得 为整数的正整数 n 的个数是 5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题． 15.三棱锥 中，已知 平面 ， 是边长为 的正三角形， 为 的 中点，若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，则 的长为_____. 【答案】2 或 【解析】 【 m = n = m n⋅ =  m = n = m = n = 2 1 12 6 = 1 6 n n S T 2 70 3 n n + + n n a b 2 1 2 1 n n n n a S b T − − = = 32 1n + + ( )( ) ( )( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 70 2 342 2 1 2 1 3 1 2 n n n nn n n a a na S n n b bb T n n − − − − − + − + += = = = =− + − + + 32 1n + + n n a b P ABC− PA ⊥ ABC ABC 2 E PC AE PBC 42 7 PA 3 【分析】 设 是 的中点，连接 ，在平面 内作 ，则 ，可证明 平面 ，连接 ，则 是 与平面 所成的角， 设 ，利用 平面 所成的角的正弦值为 ，列方程求解即可. 【详解】 设 是 的中点，连接 ， 平面 ， ， 为正三角形， ， 平面 ， 在平面 内作 ， 则 ， 平面 ， 连接 ，则 是 与平面 所成的角， 设 ，在直角三角形 中， ， 求得 ， ， 平面 所成的角的正弦值为 ， , F BC sin cos 2 1 0k kρ θ ρ θ− + − = PAF AH PF⊥ BC AH⊥ AH ⊥ PBC EH AEH∠ AE PBC PA m= AE PBC 42 7 F BC sin cos 2 1 0k kρ θ ρ θ− + − = PA ⊥ ABC PA BC∴ ⊥ ABC∆ BC AF∴ ⊥ BC∴ ⊥ PAF PAF AH PF⊥ BC AH⊥ AH∴ ⊥ PBC EH AEH∠ AE PBC PA m= PAF AH PF PA AF⋅ = ⋅ 2 3 3 PA AF mAH PF m ⋅= = + 21 1 42 2AE PC m= = + AE∵ PBC 42 7 2 2 3 423sin 1 742 m AH mAEH AE m +∴ ∠ = = = + 解得 或 ，即 的长为 2 或 ，故答案为 2 或 . 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质，以及直线与平面所成的角，属于难题.解 答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关 系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理. 16.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但 其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一 种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图 1，线段 的长度 为 a，在线段 上取两个点 ， ，使得 ，以 为一边在线段 的 上方做一个正六边形，然后去掉线段 ，得到图 2 中的图形；对图 2 中的最上方的线段 作相同的操作，得到图 3 中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形： 记第 个图形（图 1 为第 1 个图形）中的所有线段长的和为 ，现给出有关数列 的四个 命题： ①数列 是等比数列； ②数列 是递增数列； ③存在最小的正数 ，使得对任意的正整数 ，都有 ； ④存在最大的正数 ，使得对任意的正整数 ，都有 ． 其中真命题的序号是________________（请写出所有真命题的序号）. 【答案】②④ 【解析】 【分析】 通过分析图 1 到图 4，猜想归纳出其递推规律，再判断该数列的性质，即可求解． 【详解】由题意，得图 1 中线段为 ，即 ； 2m = 3m = PA 3 3 AB AB C D 1 4AC DB AB= = CD AB CD EF n nS { }nS { }nS { }nS a n 2018nS > a n 2018nS < a 1S a= 图 2 中正六边形边长为 ，则 ； 图 3 中的最小正六边形边长为 ，则 ； 图 4 中的最小正六边形边长为 ，则 ； 由此类推， ， 所以 为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确； 因为 ， 即存在最大的正数 ，使得对任意的正整数 ，都有 ， 即④正确；③错误， 综上可知正确的由②④． 【点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列 模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，搞清是求和、求通项、还 是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经 过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论． 三、解答题 17.如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC． 求证：（1）A1B1∥平面 DEC1； （2）BE⊥C1E． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 2 a 2 1 14 22 aS S S a= + × = + 4 a 3 2 244 aS S S a= + × = + 8 a 4 3 248 2 a aS S S= + × = + 1 12n n n aS S − −− = { }nS 1 2 1 3 2 1 3( ) ( ) ( ) 2 2 2n n n n a aS S S S S S S S a a a− −= + − + − + + − = + + + + +  1 1 12 (1 ) 12 4 (1 ) 51 21 2 n n a a a a a − − − = + = + − < − 2018 5a = n 2018nS < 【解析】 【分析】 (1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论； (2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可. 【详解】（1）因为 D，E 分别为 BC，AC 中点， 所以 ED∥AB. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB∥A1B1， 所以 A1B1∥ED. 又因为 ED⊂平面 DEC1，A1B1 平面 DEC1， 所以 A1B1∥平面 DEC1. （2）因为 AB=BC，E 为 AC 的中点，所以 BE⊥AC. 因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是直棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC. 又因为 BE⊂平面 ABC，所以 CC1⊥BE. 因为 C1C⊂平面 A1ACC1，AC⊂平面 A1ACC1，C1C∩AC=C， 所以 BE⊥平面 A1ACC1. 因为 C1E⊂平面 A1ACC1，所以 BE⊥C1E. 【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查 空间想象能力和推理论证能力. 18.在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且满足 b2=ac，cosB= ． （1）求 + 的值； （2）设 • = ，求三边 a、b、c 的长度． 【答案】（1） （2）a，b，c 的长度分别为 1， ，2 或 2， ，1． 的 ⊄ 3 4 1 tanA 1 tanC BA BC 3 2 4 7 7 2 2 【解析】 【分析】 （1）运用同角的平方关系，可得 sinB，再由正弦定理，可得 sin2B＝sinAsinC，再由切化弦 和两角和的正弦公式，化简即可得到所求值； （2）由向量的数量积的定义可得 ac＝2，再由余弦定理可得 a+c＝3，即可得到所求三边的长 度． 【详解】（1）由 cosB= 可得，sinB= = ． ∵b2=ac，∴根据正弦定理可得 sin2B=sinAsinC． 又∵在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=π， ∴ + = + = = = = = ． （2）由 • = 得：| |•| |cosB=cacosB= ， 又∵cosB= ，∴b2=ca=2， 又由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB=2． 得（a+c）2-2ac- ac=2， 解得 a+c=3， 又∵b2＝ca＝2，∴b ． ∴三边 a，b，c 的长度分别为 1， ，2 或 2， ，1． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查向量数量积的定义，以及三角函数的恒 等变换，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 19.已知圆 M 的方程为 x2+y2-2x-2y-6=0，以坐标原点 O 为圆心的圆 O 与圆 M 相切． （1）求圆 O 的方程； （2）圆 O 与 x 轴交于 E，F 两点，圆 O 内的动点 D 使得 DE，DO，DF 成等比数列，求 • 3 4 21 cos B− 7 4 1 tanA 1 tanC cosA sinA cosC sinC cosAsinC cosCsinA sinAsinC + ( ) 2 sin A C sin B + 2 sinB sin B 1 sinB 4 7 7 BA BC 3 2 BA BC 3 2 3 4 3 2 2= 2 2 DE DF 的取值范围． 【答案】（1）x2+y2=2 （2）[ 1，0） 【解析】 【分析】 （1）化简圆 M 的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y﹣6＝0，为标准方程，求出圆心和半径，判定圆心 O 在圆 M 内部，因而内切，用|MN|＝R﹣r，求圆 O 的方程； （2）根据圆 O 与 x 轴交于 E、F 两点，圆内的动点 D 使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，列 出关系，再求 • 的取值范围； 【详解】（1）圆 M 的方程可整理为：（x 1）2+（y-1）2=8， 故圆心 M（1，1），半径 R=2 ． 圆 O 的圆心为 O（0，0）， 因为|MO|= ＜2 ，所以点 O 在圆 M 内， 故圆 O 只能内切于圆 M． 设其半径为 r．因为圆 O 内切于圆 M， 所以有：|MO|=|R-r|，即 =|2 r|，解得 r= 或 r=3 （舍去）； 所以圆 O 的方程为 x2+y2=2． （2）由题意可知：E（ ，0），F（ ，0）． 设 D（x，y），由|DE|、|DO|、|DF|成等比数列， 得|DO|2=|DE|×|DF|， 即： × =x2+y2， 整理得：x2 y2=1． • =（ ， y）•（ ， y）=x2+y2 2=2y2 1， 由于点 D 在圆 N 内， 故有 ，由此得 y2＜ ， ∴ • 的取值范围是[ 1，0）． 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，等比数列的性质，圆的公切线方程等知识，考查逻辑 − DE DF − 2 2 2 2 2 − 2 2 − 2 2 2 2( 2)x y+ + 2 2( 2)x y− + − DE DF − 2 x− − 2 x− − − − 2 2 2 2 2 1 x y x y  + <  − = 1 2 DE DF − 思维能力，是中档题． 20.一位幼儿园老师给班上 k（k≥3）个小朋友分糖果．她发现糖果盒中原有糖果数为 a0，就 先从别处抓 2 块糖加入盒中，然后把盒内糖果的 分给第一个小朋友；再从别处抓 2 块糖加 入盒中，然后把盒内糖果的 分给第二个小朋友；…，以后她总是在分给一个小朋友后，就 从别处抓 2 块糖放入盒中，然后把盒内糖果的 分给第 n（n=1，2，3，…k）个小朋友．如 果设分给第 n 个小朋友后（未加入 2 块糖果前）盒内剩下的糖果数为 an． （1）当 k=3，a0=12 时，分别求 a1，a2，a3； （2）请用 an-1 表示 an；令 bn=（n+1）an，求数列{bn}的通项公式； （3）是否存在正整数 k（k≥3）和非负整数 a0，使得数列{an}（n≤k）成等差数列，如果存 在，请求出所有的 k 和 a0，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）a1=7，a2=6，a3=6 （2）an= （an-1+2），bn=n（n+1）+a0 （3）存 ，当 a0=0 时，an=n，对任意正整数 k（k≥3），有{an}（n≤k）成等差数列． 【解析】 【分析】 （1）由题意知：an＝（an﹣1+2） （an﹣1+2），将 k＝3，a0＝12 代入可得 a1，a2，a3； （2）将 an＝（an﹣1+2） （an﹣1+2）变形得（n+1）an＝n（an﹣1+2）＝nan﹣1+2n，即 bn﹣bn﹣1＝2n，利用累加法可得 bn﹣b0＝n（n+1），进而得到数列{bn}的通项公式； （3）由（2）得 an＝n ，根据等差数列满足 a1+a3＝2a2，代入求出 a0＝0，an＝n 时，满 足条件． 【详解】（1）当 k＝3，a0＝12 时， a1＝（a0+2） （a0+2）＝7， a2＝（a1+2） （a1+2）＝6， a3＝（a2+2） （a0+2）＝6， （2）由题意知：an＝（an﹣1+2） （an﹣1+2） （an﹣1+2）， 即（n+1）an＝n（an﹣1+2）＝nan﹣1+2n， ∵bn＝（n+1）an， 在 1 2 1 3 1 1n + 1 n n + 1 1n − + 1 1n − + 0 1 a n + + 1 2 − 1 3 − 1 4 − 1 1n − + 1 n n = + ∴bn﹣bn﹣1＝2n， ∴bn﹣1﹣bn﹣2＝2n﹣2， … b1﹣b0＝2， 累加得 bn﹣b0 n（n+1） 又∵b0＝a0， ∴bn＝n（n+1）+a0， （3）由 bn＝n（n+1）+a0，得 an＝n ， 若存在正整数 k（k≥3）和非负整数 a0，使得数列{an}（n≤k）成等差数列， 则 a1+a3＝2a2 即（1 a0）+3 a0＝2（2 a0） ∴a0＝0 即当 a0＝0 时，an＝n，对任意正整数 k（k≥3），有{an}（n≤k）成等差数列． 【点睛】本题主要考查数列的定义、通项求法；考查递推思想；考查推理论证能力；考查阅 读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力，属于中档题． 21.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，底面△ABC 是直角三角形，AC=BC=AA1=2，D 为侧棱 AA1 的中 点． （1）求异面直线 DC1，B1C 所成角的余弦值； （2）求二面角 B1-DC-C1 的平面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 ( )2 2 2 n n += = 0 1 a n + + 1 2 + 1 4 + 1 3 + 10 10 2 3 （1）以 C 为原点，CA、CB、CC1 为坐标轴，建立空间直角坐标系 C﹣xyz，写出要用的点的坐 标，写出两个向量的方向向量，根据两个向量所成的角得到两条异面直线所成的角． （2）先求两个平面的法向量，在第一问的基础上，有一个平面的法向量是已知的，只要写出 向量的表示形式就可以，另一个平面的向量需要求出，根据两个法向量所成的角得到结果． 【详解】（1）如图所示，以 C 为原点，CA、CB、CC1 为坐标轴，建立空间直角坐标系 C﹣xyz． 则 C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0， 1）． 所以 （﹣2，0，1）， （0，﹣2，﹣2）． 所以 cos ． 即异面直线 DC1 与 B1C 所成角的余弦值为 ． （2）因为 （0，2，0）， （2，0，0）， （0，0，2）， 所以 • 0， • 0， 所以 为平面 ACC1A1 的一个法向量． 因为 （0，﹣2，﹣2）， （2，0，1）， 设平面 B1DC 的一个法向量为 n，n＝（x，y，z）． 由 ，得 令 x＝1，则 y＝2，z＝﹣2，n＝（1，2，﹣2）． 所以 cos＜n， ． 所以二面角 B1﹣DC﹣C1 的余弦值为 ． 1DC = 1B C = 1 1 1 1 1 1 2 10 105 8 DC B CDC B C DC B C ⋅ −= = = − ×    ＜ ， ＞ 10 10 CB = CA = 1CC = CB CA = CB 1CC = CB 1B C = CD = 1 0 0 n B C n CD  ⋅ = ⋅ =   2 2 0 2 0 y z x z − − =  + = 4 2 3 2 3 n CBCB n CB ⋅= = =×⋅  ＞ 2 3 【点睛】本题考查利用空间向量解决几何体中的夹角问题，包括两条异面直线的夹角和两个 平面的夹角，本题解题的关键是建立坐标系． 22.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足 Sn=2an-1（n∈N*），数列{bn}满足 nbn+1-（n+1）bn=n （n+1）（n∈N*），且 b1=1． （1）证明数列{ }为等差数列，并求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）若 cn=（-1）n-1 ，求数列{cn}的前 n 项和 T2n； （3）若 dn=an ，数列{dn}的前 n 项和为 Dn，对任意的 n∈N*，都有 Dn≤nSn-a，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析，an=2n-1，bn=n2 （2） （3）（-∞，0] 【解析】 【分析】 （1） Sn＝2an﹣1（n∈N*）， n≥2 时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣1﹣（2an﹣1﹣1），化为：an＝ 2an﹣1．利用等比数列的通项公式可得 an．数列{bn}满足 nbn+1﹣（n+1）bn＝n（n+1）（n∈N*）， 化为： 1，且 b1＝1．即可证明数列{ }为等差数列，利用通项公式可得 bn． （2）cn＝（﹣1）n﹣1 （﹣1）n﹣1• （﹣1） n﹣1• ，利用裂项求和方法即可得出． （3）dn＝an n•2n﹣1，利用错位相减法可得数列{dn}的前 n 项和为 Dn，又 Sn＝2n﹣1．代 入对任意的 n∈N*，都有 Dn≤nSn﹣a，即可得出． nb n ( ) ( )( )2 2 1 4 1 3 2 3 2n n n log a log a + + + + nb⋅ 4 12 9 n n + 1 1 n nb b n n + − =+ nb n ( ) ( )( )2 2 1 4 1 3 2 3 2n n n log a log a + + =+ + ( ) ( )( ) 4 1 2 1 2 3 n n n + =+ + 1 1 2 1 2 3n n  + + +  nb⋅ = 【详解】（1）Sn＝2an﹣1（n∈N*），n≥2 时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣1﹣（2an﹣1﹣1），化为：an＝ 2an﹣1． n＝1 时，a1＝2a1﹣1，解得 a1＝1． ∴数列{an}是等比数列，公比为 2． ∴an＝2n﹣1． 数列{bn}满足 nbn+1﹣（n+1）bn＝n（n+1）（n∈N*）， 化为： 1，且 b1＝1． ∴数列{ }为等差数列，公差为 1，首项为 1． ∴ 1+n﹣1＝n， bn＝n2． （2）cn＝（﹣1）n﹣1 （﹣1）n﹣1• （﹣1） n﹣1• ， ∴数列{cn}的前 n 项和 T2n ． （3）dn＝an n•2n﹣1， 数列{dn}的前 n 项和为 Dn＝1+2×2+3×22+……+n•2n﹣1， 2Dn＝2+2×22+……+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n， ∴﹣Dn＝1+2+22+……+2n﹣1﹣n•2n n•2n， 解得 Dn＝（n﹣1）•2n+1． Sn＝2an﹣1＝2n﹣1． 对任意的 n∈N*，都有 Dn≤nSn﹣a， ∴a≤n（2n﹣1）﹣（n﹣1）•2n﹣1＝2n﹣n﹣1． 令 dn＝2n﹣n﹣1．则 dn+1﹣dn＝2n+1﹣（n+1）﹣1﹣（2n﹣n﹣1）＝2n﹣1＞0． 1 1 n nb b n n + − =+ nb n 1 1 b = nb n = ( ) ( )( )2 2 1 4 1 3 2 3 2n n n log a log a + + =+ + ( ) ( )( ) 4 1 2 1 2 3 n n n + =+ + 1 1 2 1 2 3n n  + + +  1 1 1 1 1 1 1 1 3 5 5 7 7 9 4 1 4 3n n        = + − + + + + − +       + +        1 1 3 4 3n = − + 4 12 9 n n = + nb⋅ = 2 1 2 1 n −= −− ∴数列{dn}单调递增． ∴a≤（dn）min＝d1＝0． ∴实数 a 的取值范围是（﹣∞，0]． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减 法、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．