2017-2018学年广东省中山市第一中学高二下学期第一次统测（4月段考）数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年广东省中山市第一中学高二下学期第一次统测（4月段考）数学（理）试题（Word版）

中山市第一中学 2017~2018 学年第二学期高二年级第一次统测 数 学 命题人: 审题人： 本试卷共 8 页，共 100 分，考试时长 90 分钟。 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题列出的四个选项中，选出 最符合题目要求的一项） 1.若将负数 表示为 是虚数单位）的形式，则 等于 A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 2.从 3 台甲型和 4 台乙型电视机中任取出 3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台， 则不同取法数为（ ） A. 60 B. 30 C. 20 D. 40 3.已知实数 满足 ，则实数 应取值为（ ） A. B. C. D. 4. 是一个关于自然数 的命题，若 真，则 真，现已知 不真， 那么：① 不真；② 不真；③ 真；④ 不真；⑤ 真；其中正 确的结论为（ ） A.②、④ B.①、② C.③、⑤ D.①、⑤ 5.三名老师与四名学生排成一排照相，如果老师不相邻，则不同的排法有（ ）种 A. 144 B. 1440 C. 150 D. 188 6.已知函数 的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 +2,则 的 值等于( ) A.1 B. C.3 D.0 7. 是 的展开式中存在常数项的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1 1 i i + − ( , ,a bi a b R i+ ∈ a b+ x imxxi −=−+− 3)21( 2 m 1 12 − 1 5 1 2 1 12 )(nF n )(kF )1( +kF )20(F )21(F )19(F )21(F )18(F )18(F )(xfy = xy 2 1= (1) (1)f f ′+ 5 2 10n = n x x )3( 3 + 8.设 ，则 （ ） A． B． C． D．不存在 9.5 名乒乓球队员中，有 2 名老队员和 3 名新队员，现从中选出 3 名队员排成 1、2、3 号参加团体比赛，则入选的 3 名队员中至少有一名老队员,且 1、2 号中至少有 1 名新队员的 排法有（ ）种 A．72 B．63 C．54 D．48 10.已知函数 是定义在 R 上的奇函数, , ,则不 等式 的解集是 （ ）. A. B. C. D. 11.若集合 ， ，用 表示集合 中 的元素个数，则 （ ） A． B． C． D． 12.已知平行于 轴的直线分别交两曲线 与 于 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.在某次考试中，学号为 的同学的考试成绩 ， 且 ，则这四位同学的考试成绩的所有 种； 14. 的展开式中 的系数是 15. 从 中得出的一般性结论是_______。 16.已知直线 是函数 的切线，则 的值为 三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分） 17．（本小题满分 10 分） 2 (0 1)( ) 2 (1 2) x xf x x x  ≤ <=  − < ≤ 2 0 ( )f x dx =∫ 3 4 4 5 5 6 )(xf 0)1( =f 0)()( 2 >−′ x xfxfx ( 0)x > ( ) 0f x > ),1()0,1( +∞−  ( 2,0) (1, )− +∞ ( 2,0) (2, )− +∞ ( , 1) (1, )−∞ − +∞ ( ){ }, , 0 4,0 4 , ,p q s p s q s p q sΕ = ≤ < ≤ ≤ < ≤ ∈Ν且 ( ){ }F , , , 0 4,0 4 , , ,t u v w t u v w t u v w= ≤ < ≤ ≤ < ≤ ∈Ν且 ( )card Χ Χ ( ) ( )card card FΕ + = 50 130 150 200 x 1 ( 0)y xx = − < 2y x= 1 1( , ),A x y 2 2( , )B x y | |AB 3 2 1 2 5 2 2 )4,3,2,1( =ii { }94,93,90,88,87,85)( ∈if )4()3()2()1( ffff <<< 76 )2()1( −+− xx 4x 222 576543,3432,11 =++++=++= kxy = 2)( 3 += xxf k 已知 （1）若 若在复平面上对应的点分别为 A,B，求 对应用的复数 （2）若 18．（本小题满分 12 分） 请按要求完成下列两题的证明（每小题 6 分） （1）已知 ，用分析法证明： （2）若 都是正实数，且 用反证法证明： 与 中至少有一个 成立. 19．（本小题满分 12 分） 数列 中，已知 ， . （1）计算 的值，并归纳猜想出数列 的通项公式； （2）试用数学归纳法证明你归纳猜想出的结论. 20．（本小题满分 12 分） 已知向量 ，若函数 （1）若 ，求 的极大值与极小值。 （2）若函数 在区间 上是增函数，求 的范围。 21．（本小题满分 12 分） 1 25 10 3 4 .z i z i= + = −， 1 2z z， AB 1 2 1 1 1 zz z z = + ，求 0 1,0 1a b< < < < 11 a b ab + ≤+ ,x y 2,x y+ > 1 2x y + < 1 2y x + < { }na 1 1 2a = 1 1 ( 2, *)( 1)n na a n n Nn n−= + ≥ ∈+ 2 3 4, ,a a a { }na )1,( 2 += → xxa ),1(, txb −= → →→ ⋅= baxf )( 1t = ( )f x ( )f x )1,1(− t 我们知道：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆心连线与该弦垂直；那么，若椭圆 的一弦中点与原点连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结 论？请予以证明。 22．（本小题满分 12 分） 如右图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界）， 且与 A、B 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO、BO、OP ，设排 污管道的总长度为 km． （1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO= (rad)，将 表示成 的函数；②设 OP (km) ，将 表示成 的函数． （2）请选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道总 长度最短． 222222 bayaxb =+ y θ y θ x= y x A B CD O P 参考答案： 一、选择题 BBDABC ACDABA 11、对于集合 E，当满足 时， 的值最大，此时分类讨 论： 当 时， 均可取 0，１，２，３四个数中的任意一数，此时共有 个不同的值； 当 时， 均可取 0，１，２三个数中的任意一数，此时共有 个不同的值； 当 时， 均可取 0，１两个数中的任意一数，此时共有 个不同的值； 当 时， 只可取 0，此时共有１个不同的值； 于是， 　 再看对于集合 F，由于 相互独立， 于是，仅看 ，当 时， 可取０，１，２，３四个数；当 时， 可取０，１，２三个数；当 时， 可取０，１两个数；当 时， 只取０一个数； 这样 中 的不同情形有： 种；同理 中 的不同 情形也有 种，故集合 F 中的不同元素个数是 。 故 12、A；设平行于 轴的直线方程为 ，由于 ， 则 ，而 满足 那么 设 ，则 显然， 时， ，得 ，此时函数递减； 时， ，得 ，此时函数递增； 于是，当 时， 有最小值 0 4,0 4p s q s≤ < ≤ ≤ < ≤ s 4s = ,p q 24 3s = ,p q 23 2s = ,p q 22 1s = ,p q 2 2 2(E) 1 2 3 4 30card = + + + = 0 4,0 4t u v w≤ < ≤ ≤ < ≤ 0 4t u≤ < ≤ 4u = t 3u = t 2u = t 1u = t ( , , , )t u v w ( , )t u 1 2 3 4 10+ + + = ( , , , )t u v w ( , )v w 10 100 (E) (F) 130card card+ = x y a= 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 1 1 1a xx a = − ⇒ = − 2x 22a x= 2 1 2 2 2 1 1| | 2 AB x x x xa x = − = + = + 1( ) 2 f x x x = + 1 2 2 1'( ) 1 2 2 2 2 x xf x x x x x −= − = 10 2x< < 2 2 1 0x x − < '( ) 0f x < 1 2x > 2 2 1 0x x − > '( ) 0f x > 1 2x = ( )f x 1 1 1 3( )2 2 212 2 f = + = × 二、填空题 13. 种；从 这六个数任取 个，仅有一种情况符合要求，故所有 情况为 种； 14. 15. 16. ；设切点为 ，又 于是，切线方程为 ，即 由 三、解答题 17、解. （1）略 （2） 18、略 19. 解：（1）猜想： . （2）用数学归纳法证明如下： 20、解析：（1） （2）由于 ，所以 由 ， 若 在 区 间 上 是 增 函 数 ， 则 时 ， ，即 ，得 在区间 上恒成立。 又 是对称轴为 且开口向上的抛物线，因此，当 时， 的最大值为 。 因此，所求 的范围为 。 21、假若弦的斜率与弦的中点和圆心连线的斜率都存在，由于两线垂直，我们知道斜 15 94,93,90,88,87,85 4 152 6 =C 265− 2 *1 ... 2 1 2 ... 3 2 (2 1) ,n n n n n n n N+ + + + − + + + − = − ∈ 3 )2,( 3 00 +xx 2 0 / 3| 0 xyk xx == = 2)(3 3 00 2 0 ++−= xxxxy 223 3 0 2 0 +−= xxxy 2 0 2 0 3 3 2 2 0 k x k x  = ⇒ =− + = 21 21 21 111 zz zz zzz +=+= 1 2 1 2 55 2 z zz iz z ∴ = = −+ 1n na n = + ⋅ → a = → b ttxxxxtxxtxxx +++−=++−=−⋅+ 2322 )1()1(),1()1,( =)(xf ttxxx +++− 23 txxxf ++−= 23)( 2/ )(xf )1,1(− )1,1(−∈x 0)(/ ≥xf 023 2 ≥++− txx xxt 23 2 −≥ )1,1(− xxxg 23)( 2 −= 3 1=x )1,1(−∈x )(xg 5)1( =−g t 5≥t 率之积为 ；对于方程 ，若 ，则方程即为圆的方程，由此可以 猜测两斜率之积为 或 ； 于是，设弦 的两端点的坐标分别为 ，中点为 ，则 即两斜率之积为 22．（1）①由条件知 PQ 垂直平分 AB，若∠BAO= (rad) ， 则 , 故 ，又 OP＝ ， 所以 ， 所求函数关系式为 ②若 OP= (km) ，则 OQ＝10－ ， 所以 OA =OB= 所求函数关系式为 （ 2 ） 选 择 函 数 模 型 ① ， 令 0 得 sin ，因为 ，所以 = ， 当 时， ， 是 的减函数；当 时， ， 是 的增 函 数，所以函数 在 = 时取得极小值，这个极小值就是最小值． ．这时 (km) 1− 222222 bayaxb =+ ba = 2 2 a b− 2 2 b a− AB ),(),,( 2211 yxByxA P =− −⋅+ +⇒=−+−⇒    =+ =+ 12 12 12 122 1 2 2 22 1 2 2 2 222 2 22 2 2 222 1 22 1 2 0)()( xx yy xx yyyyaxxb bayaxb bayaxb 2 2 a b− =⋅⇒ OPAB kk 2 2 a b− 2 2 a b− θ 10 cos cos AQOA θ θ= = 10 cosOB θ= 10 10tanθ− 10 10 10 10tancos cosy OA OB OP θθ θ= + + = + + − 20 10sin 10cosy θ θ −= + 0 4 πθ ≤ ≤   x x ( )2 2 210 10 20 200x x x− + = − + ( )22 20 200 0 10y x x x x= + − + ≤ ≤ ( )( ) ( )' 2 2 10cos cos 20 10 sin 10 2sin 1 cos cos siny θ θ θ θ θ θ θ − − − − −= = 'y = 1 2 θ = 0 4 πθ≤ ≤ θ 6 π (0, )6 πθ ∈ ' 0y < y θ ( , )6 4 π πθ ∈ ' 0y > y θ y θ 6 π min 10 10 3y = + 10 20 3 3cos 6 OA OB π= = = 因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到 A、B 的距离均为 (km)时，铺设的排污 管道总长度最短． 20 3 3