高考文科数学专题复习练习2空间几何体的结构

高考文科数学专题复习练习2空间几何体的结构

‎106‎ 空间几何体的结构 ‎1.(2015河北石家庄二检,文12,空间几何体的结构,选择题)在三棱锥S-ABC中,AB=AC=SB=SC=4,SA=BC=a,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(0,2‎6‎) B.(0,4‎2‎)‎ C.(0,2‎6‎+2‎2‎) D.(4‎2‎,2‎6‎+3‎2‎)‎ 解析:考虑极限情况.四条长度为4的线段首尾相连,构成空间四边形.如果把这四条线段平铺,就成为正方形,此时a=4‎2‎,所以实数a的取值范围是(0,4‎2‎),故选B.‎ 答案:B ‎107‎ 三视图与直观图 ‎1.(2015宁夏银川二中一模,文,三视图与直观图,选择题)如图,某几何体的正视图(主视图)、侧视图(左视图)和俯视图分别是等腰梯形、等腰直角三角形和长方形,则该几何体表面积为(　　)‎ A.14 B.14+2‎2‎ C.8+8‎2‎ D.16‎ 解析:依题意,该几何体的表面积S=4×2+2×‎(2+4)×‎‎2‎‎2‎‎+2×‎1‎‎2‎×‎‎2‎=8+8‎2‎,故选C.‎ 答案:C ‎2.(2015贵州八校二联,文9,三视图与直观图,选择题)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)‎ A.‎1‎‎6‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎5‎‎6‎ 解析:由三视图可知该几何体为正方体ABCD-A'B'C'D'截去三棱锥A-A'BD的几何体,所以该几何体的体积V=1-‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎×1×1×1=‎5‎‎6‎,故选D.‎ 答案:D ‎3.(2015黑龙江哈尔滨第三中学二模,文10,三视图与直观图,选择题)棱长为2的正方体被一个平面所截,得到几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为(　　)‎ A.‎9‎‎2‎ B.‎9‎‎2‎‎2‎ C.3‎2‎ D.3‎ 解析:利用三视图得几何体,再求解面积.由三视图可得该截面是上底、下底、腰分别是‎2‎,2‎2‎‎,‎‎5‎的等腰梯形,该梯形的高为‎5-‎‎1‎‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎‎2‎,所以该截面面积为‎1‎‎2‎‎(‎‎2‎+2‎2‎)×‎3‎‎2‎‎2‎‎=‎‎9‎‎2‎,故选A.‎ 答案:A ‎5.(2015宁夏银川一中二模,文6,三视图与直观图,选择题)如图是一建筑物的三视图(单位:米),现需将其外壁用油漆刷一遍,若每平方米用漆α千克,则共需油漆的总量为(　　)‎ A.(48+36π)α千克 B.(39+24π)α千克 C.(36+36π)α千克 D.(36+30π)α千克 解析:依题意,建筑物是在一个长方体的上表面放置一个圆锥所形成的组合体,其中该长方体的长、宽、高分别是3,3,4,该圆锥的底面半径是3,母线长是5,因此该建筑物的外壁总面积等于(π×32-32)+4×(3×4)+π×3×5=(39+24π) m2,所需油漆的总量为(39+24π)α千克,故选B.‎ 答案:B ‎6.(2015东北三校一联,文6,三视图与直观图,选择题)已知三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是(　　)‎ A.‎6‎‎3‎ B.‎2‎‎6‎‎3‎ C.‎3‎‎6‎‎2‎ D.‎‎6‎‎2‎ 解析:由三视图得该三棱锥的底面积S=‎3‎‎4‎×22=‎3‎,该三棱锥的高h=2‎2‎,故三棱锥的体积V=‎1‎‎3‎Sh=‎2‎‎6‎‎3‎,故选B.‎ 答案:B ‎7.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文7,三视图与直观图,选择题)某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积为(　　)‎ A.‎140‎‎3‎π+4‎13‎π B.36π+2‎13‎π C.32π+2‎13‎π D.44π+2‎13‎π 解析:依题意,几何体是在一个半球的上面放置一个圆锥体所形成的组合体,其中球的半径是4,圆锥的底面半径是2、高是3,因此其表面积为‎1‎‎2‎×4π×42+π×2×‎2‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎+(π×42-π×22)=44π+2‎13‎π,故选D.‎ 答案:D ‎8.(2015辽宁东北育才学校五模,文5,三视图与直观图,选择题)如图,四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助作用),则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)(　　)‎ A.①②⑥ B.①②③ C.④⑤⑥ D.③④⑤‎ 解析:依题意,正视图为①,侧视图为②,俯视图为③,故选B.‎ 答案:B ‎10.(2015贵州适应性考试,文6,三视图与直观图,选择题)将正方形截去两个三棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的正视图为(　　)‎ 解析:由正视图的定义可得该几何体的正视图是选项A,故选A.‎ 答案:A ‎11.(2015广西桂林、防城港一联,文6,三视图与直观图,选择题)某几何体在网格纸上的三视图如图所示,已知网格纸上小正方形的边长为1,则该几何体的体积为(　　)‎ A.‎4π‎3‎ B.‎5π‎3‎ C.‎7π‎3‎ D.‎‎8π‎3‎ 解析:由三视图可得该几何体是组合体,下方是高和底面圆的半径均为1的圆柱,上方是半径为1的球体的‎1‎‎4‎,则该几何体的体积是π+‎1‎‎4‎‎×‎‎4‎‎3‎π=‎4‎‎3‎π,故选A.‎ 答案:A ‎12.(2015广西柳州3月模拟,文6,三视图与直观图,选择题)若一个圆锥的正视图(如图所示)是边长为3,3,2的三角形,则该圆锥的表面积是(　　)‎ A.π B.2π C.3π D.4π 解析:依题意,该圆锥的底面半径是1,母线长为3,因此其表面积等于π×12+π×1×3=4π,故选D.‎ 答案:D ‎14.(2015甘肃第二次诊断考试,文4,三视图与直观图,选择题)某几何体的三视图如图所示,正视图是面积为‎9‎‎2‎π的半圆,俯视图是正三角形,此几何体的体积为(　　)‎ A.‎9‎‎3‎‎2‎π B.9‎3‎π C.‎9‎‎3‎‎4‎π D.3‎3‎π 解析:由三视图得几何体,利用体积公式求解.由三视图可得该几何体是圆锥沿着轴截面截得的一半,该圆锥的底面圆的半径为3、母线长为6,所以高为‎6‎‎2‎‎-‎‎3‎‎2‎=3‎3‎,则该几何体的体积为‎1‎‎3‎‎×‎‎9π‎2‎×3‎3‎‎=‎‎9‎3‎π‎2‎,故选A.‎ 答案:A ‎15.(2015辽宁大连双基测试,文6,三视图与直观图,选择题)六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体,该几何体的正视图与俯视图如图所示,则其侧视图不可能为(　　)‎ 解析:易知不能堆出只有上层而没有下层的图形,故选D.‎ 答案:D ‎16.(2015吉林长春质量监测(二),文6,三视图与直观图,选择题)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)‎ A.‎16‎‎3‎ B.‎20‎‎3‎ C.‎15‎‎2‎ D.‎‎13‎‎2‎ 解析:该几何体可视为正方体截去两个三棱锥,所以其体积为8-‎4‎‎3‎‎-‎1‎‎6‎=‎‎13‎‎2‎,故选D.‎ 答案:D ‎17.(2015甘肃兰州诊断,文6,三视图与直观图,选择题)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是(　　)‎ A.2 B.‎9‎‎2‎ C.‎3‎‎2‎ D.3‎ 解析:依题意,题中的几何体是一个四棱锥(底面是一个直角梯形),因此有‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎(1+2)×2×x=3,解得x=3,故选D.‎ 答案:D ‎18.‎ ‎(2015贵州贵阳监测考试(一),文8,三视图与直观图,选择题)如图,在三棱锥V-ABC中,VA⊥VC,AB⊥BC,∠VAC=∠ACB=30°,若侧面VAC⊥底面ABC,则其正视图与侧视图面积之比为(　　)‎ A.4∶‎3‎ B.4∶‎7‎ C.‎3‎‎∶‎‎7‎ D.‎‎7‎‎∶‎‎3‎ 解析:利用视图的概念求解.不妨设VC=1,则AC=2,过点V作VD⊥AC于点D,则VD=‎3‎‎2‎.‎ 由题意可得点B到AC的距离也是‎3‎‎2‎,所以正视图的面积为‎3‎‎2‎,侧视图的面积为‎1‎‎2‎‎×‎3‎‎2‎×‎3‎‎2‎=‎‎3‎‎8‎,则正视图与侧视图的面积之比为‎3‎‎2‎‎3‎‎8‎‎=‎‎4‎‎3‎,故选A.‎ 答案:A ‎19.(2015江西八校联考,文9,三视图与直观图,选择题)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)‎ A.‎64‎‎3‎ B.‎16‎‎3‎ C.‎80‎‎3‎ D.‎‎43‎‎3‎ 解析:由三视图得几何体,利用体积公式求解.‎ 由三视图可得该几何体为图中ABCDEC1,其体积是‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎×(2+4)×4×4+‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎×42×4=‎80‎‎3‎,故选C.‎ 答案:C ‎20.(2015江西重点中学盟校联考,文9,三视图与直观图,选择题)已知某几何体的三视图如图所示,三个视图都为直角三角形,其中正视图是以2为直角边的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为(　　)‎ A.16π B.9π C.8π D.4π 解析:该几何体可以放在长方体中,外接球的球心即为长方体的体对角线的中点,体对角线长为‎2‎‎2‎‎+‎1‎‎2‎+‎‎2‎‎2‎=3=2R,解得R=‎3‎‎2‎,所以外接球的表面积为4πR2=4π·‎9‎‎4‎=9π,故选B.‎ 答案:B ‎21.(2015江西三校联考,文7,三视图与直观图,选择题)某几何体的直观图如图所示,该几何体的正视图和侧视图可能正确的是(　　)‎ 解析:将几何体置于正方体中,正视图和侧视图可能正确的是A,故选A.‎ 答案:A ‎22.(2015河南十校测试(四),文9,三视图与直观图,选择题)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)‎ A.12+π B.8+π C.12-π D.6-π 解析:由三视图得几何体,利用体积公式求解.‎ 由三视图可得该几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体的下方挖去一个底面半径为1,高为1的圆柱后剩余的几何体,则其体积为V=2×2×3-(12π×1)=12-π,故选C.‎ 答案:C ‎23.(2015江西九校联合考试,文7,三视图与直观图,选择题)某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是(　　)‎ A.3‎3‎ B.2‎3‎ C.‎3‎‎3‎‎2‎ D.‎‎2‎‎3‎‎3‎ 解析:依题意,几何体是一个侧放的正三棱柱(上、下底面左右正对),其中底面边长是2、高是3,因此其体积等于‎3‎‎4‎×22×3=3‎3‎,故选A.‎ 答案:A ‎24.(2015河北衡水中学二模,文8,三视图与直观图,选择题)如图,在矩形ABCD中,AB=‎3‎‎2‎,BC=2,沿BD将矩形ABCD折叠,连接AC,所得三棱锥A-BCD的正视图和俯视图如图所示,则三棱锥A-BCD的侧视图的面积为(　　)‎ A.‎9‎‎25‎ B.‎18‎‎25‎ C.‎36‎‎25‎ D.‎‎12‎‎5‎ 解析:由正视图及俯视图可得在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,该几何体的侧视图是腰长为‎3‎‎2‎‎×2‎‎3‎‎2‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎‎=‎‎6‎‎5‎的等腰直角三角形,其面积为‎1‎‎2‎‎×‎6‎‎5‎‎2‎=‎‎18‎‎25‎,故选B.‎ 答案:B ‎25.(2015山西大附中第五次月考,文14,三视图与直观图,填空题)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是　　　　　. ‎ 解析:由三视图还原出原几何体如图所示,由三视图可知△PAB的边长为2‎2‎,2‎2‎,2,所以S△PAB=‎7‎,所以该几何体的表面积为S=‎3‎‎2‎×2×3+‎3‎‎4‎×4+‎1‎‎2‎×2×2×2+‎7‎=13+‎3‎‎+‎‎7‎.‎ 答案:13+‎‎3‎‎+‎‎7‎ ‎26.(2015山西四校三联,文6,三视图与直观图,选择题)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)‎ A.‎8‎‎3‎π B.‎16‎‎3‎π C.8π D.‎64‎‎3‎π 解析:依题意,题中的几何体是从一个圆柱中挖去一个圆锥,其中该圆柱的底面半径与高均是2,该圆锥的底面半径与高均是2,因此该几何体的体积为π×22×2-‎1‎‎3‎×π×22×2=‎16π‎3‎,故选B.‎ 答案:B ‎27.(2015山西3月质量监测,文7,三视图与直观图,选择题)某几何体的正视图与俯视图如图所示,若俯视图中的多边形为正六边形,则该几何体的侧视图的面积为(　　)‎ A.‎15‎‎2‎ B.6+‎3‎ C.‎3‎‎2‎+3‎3‎ D.4‎‎3‎ 解析:由题意得该几何体的侧视图由一个底为‎3‎,高为‎3‎的等腰三角形和一个长为3,宽为2的矩形组成,则其面积为‎1‎‎2‎‎×‎3‎×‎‎3‎+2×3=‎15‎‎2‎,故选A.‎ 答案:A ‎28.(2015河南实验中学质量检测,文9,三视图与直观图,选择题)几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(　　)‎ A.3‎3‎+12 B.12+‎‎3‎ C.4 D.‎3‎‎3‎‎2‎+12‎ 解析:由三视图得几何体,再求解表面积.‎ 由三视图可得该几何体是棱长为2的正方体沿着截面ABCDEF截下的部分(如图,其中A,B,C,D,E,F均为棱的中点),该截面是边长为‎2‎的正六边形,面积为6×‎3‎‎4‎×(‎2‎)2=3‎3‎,上下底面积之和等于正方体的上底面积,前后底面积之和等于正方体的前面面积,左右底面积之和等于正方体的左面面积,所以该几何体的侧面积为3‎3‎+12,故选A.‎ 答案:A ‎29.(2015河北石家庄二中一模,文7,三视图与直观图,选择题)如图是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最大值为(　　)‎ A.4 B.5 C.3‎2‎ D.3‎‎3‎ 解析:由三视图知该几何体是一个三棱柱和一个三棱锥的组合体,如图所示.‎ 由图知AC和BD的长为几何体上任意两点间的距离的最大值,即为‎3‎‎2‎‎+‎3‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎=3‎3‎,故选D.‎ 答案:D ‎30.(2015河北保定一模,文6,三视图与直观图,选择题)一简单组合体的三视图如图所示,则该组合体的表面积为(　　)‎ A.38 B.38-2π C.38+2π D.12-π 解析:由三视图知该几何体是长方体中挖去一个半径为1的圆柱,且圆柱与长方体的高都是1,长方体的长为4,宽为3,所以该几何体的表面积S=2×3×1+2×4×1+2×4×3-2×π×12+2×π×1×1=38,故选A.‎ 答案:A ‎31.(2015山西二测,文10,三视图与直观图,选择题)已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截后得到的几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)‎ A.‎19‎‎3‎ B.7 C.‎22‎‎3‎ D.‎‎23‎‎3‎ 解析:由三视图得几何体为边长为2的正方体截去两个底面为直角边长为1,高为2的三棱锥后剩余的部分,则其体积为23-2×‎1‎‎3‎×2×‎1‎‎2‎×1×1=‎22‎‎3‎,故选C.‎ 答案:C ‎32.(2015山西太原模拟(一),文8,三视图与直观图,选择题)已知某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(　　)‎ A.‎3‎‎3‎ B.‎2‎‎3‎‎3‎ C.‎4‎‎3‎‎3‎ D.‎‎5‎‎3‎‎3‎ 解析:由三视图得几何体,再利用锥体的体积公式求解.‎ 由三视图可得该几何体是侧放的四棱锥,底面是边长为2的正方形,该四棱锥有一个侧面垂直于底面,该侧面是边长为2的等边三角形,所以该四棱锥的高为‎3‎,体积为‎1‎‎3‎×22×‎3‎‎=‎‎4‎‎3‎‎3‎,故选C.‎ 答案:C ‎34.(2015河北石家庄二检,文10,三视图与直观图,选择题)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的体积为(　　)‎ A.12π B.4‎3‎π C.48π D.32‎3‎π 解析:利用三视图得几何体,再求解体积.‎ 由三视图可得该几何体是如图所示的三棱锥P-ABC,底面是以A点为直角顶点的三角形,AB=AC=2,PB⊥底面ABC,PB=2,所以CA⊥平面PAB,则△PAC为直角三角形,所以该几何体的外接球的球心在PC的中点处,即PC的长度等于其外接球的直径,2R=2‎3‎,球的体积为‎4‎‎3‎πR3=‎4‎‎3‎π×3‎3‎=4‎3‎π,故选B.‎ 答案:B ‎35.(2015河北石家庄一模,文11,三视图与直观图,选择题)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(　　)‎ A.64 B.72‎ C.112 D.80‎ 解析:由三视图可得该几何体是组合体,其下方是棱长为4的正方体,上方是底面为边长为4的正方形,高为3的四棱锥,则其体积为V=43+‎1‎‎3‎×42×3=80,故选D.‎ 答案:D ‎36.(2015河北唐山一模,文8,三视图与直观图,选择题)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)‎ A.‎2π‎3‎ B.‎4π‎3‎ C.8-‎2π‎3‎ D.8-‎‎4π‎3‎ 解析:由三视图可知该几何体为一个正方体挖去一个圆锥体后剩余的部分,其中正方体的棱长为2,圆锥的底面圆的直径为2,高为2,则该几何体的体积为23-‎1‎‎3‎×π×‎2‎‎2‎‎2‎×2=8-‎2π‎3‎,故选C.‎ 答案:C ‎37.‎ ‎(2015江西南昌一模,文3,三视图与直观图,选择题)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点P是平面A1B1C1D1内一点,则三棱锥P-BCD的正视图与侧视图的面积之比为(　　)‎ A.1∶1 B.2∶1 C.2∶3 D.3∶2‎ 解析:利用视图的概念求解.‎ 由题意可得正视图的面积等于矩形ADD1A1面积的‎1‎‎2‎,侧视图的面积等于矩形CDD1C1面积的‎1‎‎2‎,又底面ABCD是正方形,所以矩形ADD1A1与矩形CDD1C1的面积相等,即正视图与侧视图的面积之比是1∶1,故选A.‎ 答案:A ‎38.(2015江西南昌二模,文10,三视图与直观图,选择题)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(　　)‎ A.2 B.‎8‎‎3‎ C.4 D.‎‎20‎‎9‎ 解析:将该几何体置于正方体中,可知该几何体是正方体中去掉两个三棱柱和一个三棱锥得到的四棱锥,其体积为23-‎1‎‎2‎×2×1×2×2-‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎×2×2×2=‎8‎‎3‎,故选B.‎ 答案:B ‎39.(2015江西赣州摸底考试,文8,三视图与直观图,选择题)一个体积为‎25‎‎3‎的四棱锥的正视图和俯视图如图所示,则该棱锥的侧视图的面积为(　　)‎ A.‎25‎‎2‎ B.‎25‎‎3‎ C.‎25‎‎4‎ D.‎‎25‎‎6‎ 解析:由已知的两个视图知侧视图是一个三角形,它的底为四棱锥底面平行四边形的高a,它的高为四棱锥的高h.‎ 又由两个视图知底面平行四边形的底边长为1,则由棱锥的体积公式得‎1‎‎3‎×1×ah=‎25‎‎3‎,所以ah=25,于是侧视图的面积S=‎1‎‎2‎ah=‎25‎‎2‎,故选A.‎ 答案:A ‎40.(2015河北石家庄一检,文16,三视图与直观图,填空题)某几何体的三视图如图所示,若该几何体的所有顶点都在一个球面上,则该球的表面积为　　　　　. ‎ 解析:由三视图得该几何体为底面是边长为2的正三角形,高为2的直三棱柱,则其外接球的半径R=‎1‎‎2‎‎+‎‎2‎‎3‎‎3‎‎2‎‎=‎‎21‎‎3‎,外接球的表面积S=4πR2=‎28π‎3‎.‎ 答案:‎‎28π‎3‎ ‎41.(2015河南六市一联,文9,三视图与直观图,选择题)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 解析:由三视图得几何体,利用体积公式求解.由三视图可得该几何体是侧放的四棱锥,底面是上底、下底、高分别是2,4,2的直角梯形,则底面积为‎1‎‎2‎×(2+4)×2=6.有一条长度为2的侧棱垂直于底面,所以该几何体的体积是‎1‎‎3‎×6×2=4,故选D.‎ 答案:D ‎42.(2015河南洛阳3月统一考试,文11,三视图与直观图,选择题)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的各个面中最大面的面积为(　　)‎ A.1 B.‎5‎‎2‎ C.‎6‎ D.2‎‎3‎ 解析:由三视图在正方体中画出该几何体为三棱锥D-ABC,计算得知面积最大的面为平面ABD,其面积为‎1‎‎2‎×2‎2‎‎×‎‎(2‎2‎‎)‎‎2‎-(‎‎2‎‎)‎‎2‎=2‎3‎,故选D.‎ 答案:D ‎43.(2015河南平顶山、许昌、新乡二调,文2,三视图与直观图,选择题)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)‎ A.‎8π‎3‎ B.3π C.‎10π‎3‎ D.6π 解析:由三视图得几何体,利用体积公式求解.由三视图可得该几何体是圆柱截去上半个圆柱的一半,该圆柱的底面圆半径为1,高为4,所以该几何体的体积是‎3‎‎4‎×4π=3π,故选B.‎ 答案:B ‎44.(2015东北三省四市一联,文8,三视图与直观图,选择题)某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是圆心角为60°的扇形,则该几何体的侧面积为(　　)‎ A.12+‎10‎‎3‎π B.6+‎10‎‎3‎π C.12+2π D.6+4π 解析:将该几何体侧面展开,可知其侧面展开图为一矩形,其中矩形的一边长为3,另一边长为2+2+π‎3‎×2=4+‎2π‎3‎,故所求侧面积S=‎4+‎‎2π‎3‎×3=12+2π,故选C.‎ 答案:C ‎45.(2015东北三省四市二联,文7,三视图与直观图,选择题)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为(　　)‎ A.‎32‎‎3‎ B.64 C.‎32‎‎3‎‎3‎ D.‎‎64‎‎3‎ 解析:根据三视图得几何体,再利用体积公式求解.由三视图可得该几何体是一个四棱锥,其底面是边长为4的正方形,有一条长度为4的侧棱垂直于底面,所以该四棱锥的体积为‎1‎‎3‎×42×4=‎64‎‎3‎,故选D.‎ 答案:D ‎46.(2015山西太原二模,文6,三视图与直观图,选择题)已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是扇形,则该几何体的体积为(　　)‎ A.4π B.2π C.‎4‎‎3‎π D.‎2‎‎3‎π 解析:由三视图得该几何体为底面半径为2,高为3的圆柱的‎1‎‎6‎,则其体积为‎1‎‎6‎×3×π×22=2π,故选B.‎ 答案:B ‎48.(2015宁夏银川质量检测,文5,三视图与直观图,选择题)如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆,则该几何体的体积是(　　)‎ A.π B.π‎3‎ C.‎3‎π D.‎‎3‎π‎3‎ 解析:由三视图得几何体,再求解体积.由三视图可得该几何体是将一个底面圆半径为1、母线长为2的圆锥沿着轴截面截下,再将轴截面平放、底面重合构成的几何体,其体积等于圆锥的体积,即为‎1‎‎3‎×π×‎3‎‎=‎‎3‎π‎3‎,故选D.‎ 答案:D ‎49.(2015东北三省三校二联,文10,三视图与直观图,选择题)一个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形,则此三棱锥外接球的表面积为(　　)‎ A.‎9π‎4‎ B.9π C.4π D.π 解析:由三视图可知该几何体是一个三棱锥A-BCD(如图所示),其中BC⊥CD,BC=CD=1,顶点A在底面BCD上的射影M是BD的中点,AM=1,则有AB=AC=AD=‎6‎‎2‎,记三棱锥A-BCD的外接球的球心为O,半径为R,则有OA=OB=OD=R,O在底面BCD上的射影为M;在Rt△DOM中,R2=‎2‎‎2‎‎2‎+(1-R)2,解得R=‎3‎‎4‎,因此此三棱锥的外接球的表面积等于4πR2=‎9π‎4‎,故选A.‎ 答案:A ‎50.(2015河南郑州第二次质量检测,文10,三视图与直观图,选择题)如图是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的表面积为(　　)‎ A.8π B.16π C.32π D.64π 解析:依题意得该几何体是一个底面为正方形的四棱锥A-BCDE(底面边长为4),顶点在底面BCDE上的射影M是棱BC的中点,且AM=2,又因为底面正方形BCDE的中心O到该正方形的四个顶点的距离等于2‎2‎,且OA=‎2‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=2‎2‎,因此其外接球的半径等于2‎2‎,该球的表面积等于4π×(2‎2‎)2=32π,故选C.‎ 答案:C ‎51.(2015河南郑州第三次质量检测,文7,三视图与直观图,选择题)某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为‎1‎‎2‎,则该几何体的俯视图可以是(　　)‎ 解析:因为该几何体的体积为‎1‎‎2‎,所以排除B,D;由正视图和侧视图为正方形知若俯视图为A,则其体积为1,排除A;该几何体为正方体的一半时满足题意,故选C.‎ 答案:C ‎52.(2015河南高考适应性测试,文14,三视图与直观图,填空题)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是　　　　　 cm3. ‎ 解析:由三视图得该几何体可以看作是一个底面为底为4,高为3的三角形,高为8的三棱柱截去两个以三棱柱的底面为底面,高为2的三棱锥后剩余的部分,则其体积为8×‎1‎‎2‎×4×3-2×‎1‎‎3‎×2×‎1‎‎2‎×4×3=40.‎ 答案:40‎ ‎53.(2015河南适应性模拟练习,文7,三视图与直观图,选择题)如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为‎3‎‎2‎,且一个内角为60°的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为(　　)‎ A.8 B.4‎3‎ C.4 D.2‎‎3‎ 解析:由三视图可知该几何体是由两个全等的正四棱锥组合而成,如图所示,设正四棱锥的底面边长和侧面上的高为a,由题意知‎3‎a‎2‎‎4‎×2=‎3‎‎2‎,解得a=1,所以其表面积为‎1‎‎2‎×1×1×8=4,故选C.‎ 答案:C ‎54.(2015甘肃兰州实战,文7,三视图与直观图,选择题)某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱的长度是(　　)‎ A.29 B.‎29‎ C.13 D.‎‎13‎ 解析:几何体是四棱锥P-ABCD,如图所示,其中底面ABCD是直角梯形,AB=2,CD=4,AD=3,AD⊥CD,PA⊥平面ABCD,PA=2,易知PB=‎2‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=2‎2‎,PD=‎2‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎‎=‎‎13‎,PC=PA‎2‎+AC‎2‎‎=‎‎29‎,因此其最长的一条侧棱的长度是‎29‎,故选B.‎ 答案:B ‎55.(2015广西南宁第二次适应性测试,文16,三视图与直观图,填空题)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为　　　　　. ‎ 解析:几何体是三棱锥A-BCD,如图所示,其中底面△BCD是等腰直角三角形,BC=CD=‎2‎,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,AB=‎2‎,BD=2,AC⊥CD.取AD的中点为M,连接BM,CM,则有BM=CM=‎1‎‎2‎AD=‎1‎‎2‎‎×‎2‎‎2‎‎+(‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎6‎‎2‎,该几何体的外接球的半径是‎6‎‎2‎,表面积为4π×‎6‎‎2‎‎2‎=6π.‎ 答案:6π ‎56.(2015贵州贵阳高三适应性检测考试(二),文7,三视图与直观图,选择题)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的所有棱中,最长的棱长为(　　)‎ A.‎14‎ B.‎13‎ C.‎5‎ D.4‎ 解析:该几何体的直观图如图所示,最长棱长AP=‎5+9‎‎=‎‎14‎,故选A.‎ 答案:A ‎108‎ 空间几何体的表面积 ‎5.(2015吉林长春质量监测(二),文15,空间几何体的表面积,填空题)若三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直且长都相等,其外接球半径为2,则三棱锥的表面积为　　　　　. ‎ 解析:由三棱锥的外接球半径为2,可知PA=‎4‎‎3‎‎3‎,从而三棱锥的表面积为8+‎8‎‎3‎‎3‎.‎ 答案:8+‎‎8‎‎3‎‎3‎ ‎6.(2015贵州贵阳监测考试(一),文15,空间几何体的表面积,填空题)已知四棱锥的各棱棱长都为3‎2‎,则该四棱锥的外接球的表面积为　　　　　. ‎ 解析:利用几何体之间的关系求解四棱锥外接球的半径,再利用球的表面积公式求解.由题意可知该四棱锥是正四棱锥,高为3,底面正方形对角线长为6,设正四棱锥P-ABCD的外接球的半径为R,则R2=(3-R)2+32,解得R=3,所以该球的表面积为4πR2=36π.‎ 答案:36π ‎1.(2015黑龙江哈尔滨第六中学二模,文12,空间几何体的表面积,选择题)四面体的一条棱长为x,其余棱长均为3,当该四面体体积最大时,经过这个四面体所有顶点的球的表面积为(　　)‎ A.‎27π‎2‎ B.‎9π‎2‎ C.‎15π‎2‎ D.15π 解析:因为底面积不变,高最大时体积最大,所以平面ACD⊥平面ABD,由于四面体的一条棱长为x,其余的棱长为3,所以球心与两个正三角形的重心的连线与它们所在的平面垂直,半径R=‎3‎‎2‎‎2‎‎+‎‎2‎‎×‎1‎‎3‎×‎3‎‎2‎×3‎‎2‎‎=‎‎15‎‎2‎,经过四面体所有顶点的球的表面积为4π×‎15‎‎4‎=15π,故选D.‎ 答案:D ‎2.(2015河北石家庄二中一模,文11,空间几何体的表面积,选择题)在正三棱锥S-ABC中,M是SC的中点,且AM⊥SB,底面边长AB=2‎2‎,则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为(　　)‎ A.6π B.12π C.32π D.36π 解析:取AC的中点N,连接BN,SN,则AC⊥SN,AC⊥BN,又因为SN∩BN=N,所以AC⊥平面SBN,因SB⊂平面SBN,所以AC⊥SB.‎ 因为AM⊥SB,AC∩AM=A,所以SB⊥平面SAC,所以SB⊥SA.‎ 因为三棱锥S-ABC是正三棱锥,所以SA,SB,SC三条侧棱两两互相垂直.‎ 因为底面边长AB=2‎2‎,所以SA=2,所以正三棱锥S-ABC的外接球就是以SA,SB,SC为同一顶点上的三条棱对应的正方体的外接球,所以其直径为2R=2‎3‎,即R=‎3‎,所以所求外接球的表面积为S=4πR2=12π,故选B.‎ 答案:B ‎7.(2015河南十校测试(四),文14,空间几何体的表面积,填空题)三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,又SA=AB=BC=2,则球O的表面积为　　　　　. ‎ 解析:利用球的内接三棱锥的几何特征求解.三棱锥S-ABC中,AB=BC=2,AB⊥BC,则AC=2‎2‎,又SA⊥AC,SA=2,则SC=2‎3‎,因为三棱锥S-ABC是球O的内接三棱锥,则SC是球O的直径,R=‎3‎,所以球O的表面积S=4π(‎3‎)2=12π.‎ 答案:12π ‎8.(2015河南平顶山、许昌、新乡二调,文14,空间几何体的表面积,填空题)正四棱锥的顶点都在一个球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为　　　　　. ‎ 解析:利用正四棱锥的几何性质,结合球的表面积公式求解.设该球的半径为R,则(4-R)2+(‎2‎)2=R2,解得R=‎9‎‎4‎,则该球的表面积为4πR2=4π×‎81‎‎16‎‎=‎‎81π‎4‎.‎ 答案:‎‎81π‎4‎ ‎9.(2015江西南昌一模,文15,空间几何体的表面积,填空题)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,侧面BCC1B1的面积为2,则直三棱柱ABC-A1B1C1外接球表面积的最小值为　　　　　. ‎ 解析:建立外接球表面积的表达式,利用基本不等式求解.设直三棱柱的高为2h,其外接球的半径为R,取BC,B1C1的中点分别为D,D1,连接DD1,易知其外接球的球心在DD1的中点,则BC=2AD=2R‎2‎‎-‎h‎2‎,则2R‎2‎‎-‎h‎2‎×2h=2,即R2=‎1‎‎4‎h‎2‎+h2,所以外接球的表面积为4πR2=π‎1‎h‎2‎‎+4‎h‎2‎≥4π,当且仅当‎1‎h‎2‎=4h2,h=‎2‎‎2‎时取等号,故外接球的表面积的最小值为4π.‎ 答案:4π ‎14.‎ ‎(本小题满分12分)(2015江西南昌二模,文19,空间几何体的表面积,解答题)如图,梯形ABCD中,DC∥AB,AD=DC=CB=2,AB=4,矩形AEFC中,AE=‎3‎,平面AEFC⊥平面ABCD,点G是线段EF的中点.‎ ‎(1)求证:AG⊥平面BCG;‎ ‎(2)若点A,B,C,E,F都在球O的球面上,求球O的表面积.‎ ‎(1)证明:在梯形ABCD中,因为AD=DC=CB=2,‎ AB=4,cos ∠CBA=‎4-2‎‎2‎‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎,所以∠ABC=60°,‎ 由余弦定理得AC=2‎3‎,从而∠ACB=90°,即BC⊥AC.‎ 又因为平面AEFC⊥平面ABCD,所以BC⊥平面AEFC,‎ 所以BC⊥AG,(3分)‎ 在矩形AEFC中,tan ∠AGE=AEEG=1,‎ 所以∠AGE=π‎4‎,tan ∠CGF=CFGF=1,∠CGF=π‎4‎,‎ 所以∠CGF+∠AGE=π‎2‎,即AG⊥CG,‎ 所以AG⊥平面BCG.(6分).‎ ‎(2)解:由(1)可知CA,CB,CF两两垂直,所以可以把四棱锥B-AEFC补成以CA,CB,CF为同一个顶点的一个长方体,(8分)‎ 其外接球的直径2R=CA‎2‎+CB‎2‎+‎CF‎2‎‎=‎12+4+3‎=‎‎19‎,‎ 所以球O的表面积是S=4π‎19‎‎2‎‎2‎=19π.(12分)‎ ‎13.(2015山西二测,文15,空间几何体的表面积,填空题)已知三棱锥P-ABC的底面是边长为6的正三角形,PA=PB=PC=4,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为　　　　　. ‎ 解析:设三棱锥P-ABC的外接球的球心为O,在底面ABC内的投影为O',则O'为三角形ABC的内心,且OO'的延长线经过点P,则由题意得PO'=2,所以三棱锥P-ABC的外接球的半径R满足R2=(R-2)2+(2‎3‎)2,解得R=4,则外接球的表面积S=4πR2=64π.‎ 答案:64π ‎3.(2015东北三省四市一联,文10,空间几何体的表面积,选择题)已知∠ABC=90°,PA⊥平面ABC,若PA=AB=BC=1,则四面体P-ABC的外接球(顶点都在球面上)的表面积为(　　)‎ A.π B.‎3‎π C.2π D.3π 解析:作出该三棱锥的直观图如图所示,依题意,AC=‎2‎,该三棱锥的外接球的球心O在平面ABC上的投影为AC的中点O'.连接OO',CO,可知CO为三棱锥P-ABC的外接球的半径,因为OO'=‎1‎‎2‎,故由勾股定理得CO=O'O‎2‎+O'‎C‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎,故所求外接球的表面积S=4π·‎3‎‎2‎‎2‎=3π,故选D.‎ 答案:D ‎10.(2015贵州贵阳高三适应性检测考试(二),文15,空间几何体的表面积,填空题)球O与一圆柱的侧面和上下底面都相切,则球O的表面积与该圆柱的表面积的比值为　　　　　. ‎ 解析:设圆柱的底面半径为R,则S圆柱=2πR2+2πR×2R=6πR2,S球=4πR2,所以S球S圆柱‎=‎‎2‎‎3‎.‎ 答案:‎‎2‎‎3‎ ‎4.(2015河南高考适应性测试,文11,空间几何体的表面积,选择题)已知三棱锥V-ABC,VA⊥平面ABC.在三角形ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=VA=2,三棱锥V-ABC的外接球的表面积为(　　)‎ A.16π B.‎32π‎3‎ C.‎20‎5‎π‎3‎ D.20π 解析:设三棱锥的外接球的球心为O,三角形ABC的外接圆的圆心为O',则由题意得OO'=‎1‎‎2‎VA=1,C=30°,则AO'=‎1‎‎2‎‎×‎ABsinC=2,所以OA=OO‎'‎‎2‎+AO‎'‎‎2‎‎=‎‎5‎,所以三棱锥的外接球的表面积为4π·OA2=20π,故选D.‎ 答案:D ‎11.(2015河南六市一联,文14,空间几何体的表面积,填空题)已知三棱锥P-ABC的所有棱长都等于1,则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为　　　　　. ‎ 解析:利用正四面体的性质得内切球的半径,结合球的表面积公式求解.由题意可知三棱锥P-ABC即为正四面体,其内切球的半径r=‎1‎‎4‎h=‎1‎‎4‎‎×‎6‎‎3‎=‎‎6‎‎12‎,所以该球的表面积为4πr2=4π×‎6‎‎12‎‎2‎‎=‎π‎6‎.‎ 答案:‎π‎6‎ ‎12.(2015河南洛阳3月统一考试,文15,空间几何体的表面积,填空题)已知点A,B,C,D均在球O上,AB=BC=‎6‎,AC=2‎3‎,若三棱锥D-ABC体积的最大值为3,则球O的表面积为　　　　　. ‎ 解析:由题意得△ABC的面积为S△ABC=‎1‎‎2‎×3×‎3‎‎2‎‎=‎‎3‎‎3‎‎4‎,外接圆的半径为‎3‎.易知当点D在平面ABC内的投影为三角形ABC的外接圆的圆心O'时,三棱锥的体积取得最大值,此时三棱锥的外接球的球心O也在O'D上,所以(O'D-OD)2+(‎3‎)2=OA2,即(3-OA)2+3=OA2,解得OA=2,则外接球的表面积为4π·OA2=16π.‎ 答案:16π ‎109‎ 空间几何体的体积 ‎1.(2015辽宁东北育才学校五模,文12,空间几何体的体积,选择题)若圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球的半径为1,则圆锥的体积为(　　)‎ A.π B.2π C.3π D.4π 解析:过圆锥的旋转轴作轴截面,得到△ABC及其内切圆☉O1和外接圆☉O2,且两圆同心,即△ABC的内心与外心重合,故△ABC为正三角形.依题意,☉O1的半径为1,故圆锥的底面半径为‎3‎,高为3,故圆锥的体积V=‎1‎‎3‎×π×(‎3‎)2×3=3π,故选C.‎ 答案:C ‎3.(2015宁夏银川二中一模,文16,空间几何体的体积,填空题)已知四面体P-ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,2AC=‎3‎AB,若四面体P-ABC的体积为‎3‎‎2‎,则该球的体积为　　　　　. ‎ 解析:设球的半径为R,则AB=2R,AC=‎3‎R.由于AB是球的直径,故AC⊥BC,在Rt△ABC中,BC=AB‎2‎-AC‎2‎=R,故S△ABC=‎1‎‎2‎·BC·AC=‎3‎‎2‎R2.‎ 因为PO⊥平面ABC且PO=R,VP-ABC=‎1‎‎3‎×R×‎3‎‎2‎×R2=‎3‎‎2‎,故R3=3‎3‎,球的体积V=‎4‎‎3‎πR3=‎4‎‎3‎π×3‎3‎=4‎3‎π.‎ 答案:4‎3‎π ‎4.(本小题满分12分)(2015东北三校一联,文19,空间几何体的体积,解答题)如图,多面体ABCDEF中,底面ABCD是菱形,∠BCD=60°,四边形BDEF是正方形,且DE⊥平面ABCD.‎ ‎(1)求证:CF∥平面AED;‎ ‎(2)若AE=‎2‎,求多面体ABCDEF的体积V.‎ ‎(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴BC∥AD.‎ 又BC⊄平面ADE,AD⊂平面ADE,‎ ‎∴BC∥平面ADE.(2分)‎ 又四边形BDEF是正方形,∴BF∥DE.‎ ‎∵BF⊄平面ADE,DE⊂平面ADE,‎ ‎∴BF∥平面ADE.(4分)‎ ‎∵BC⊂平面BCF,BF⊂平面BCF,BC∩BF=B,‎ ‎∴平面BCF∥平面AED.‎ 又∵CF⊂平面BCF,∴CF∥平面AED.(6分)‎ ‎(2)解:连接AC,交BD于点O.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AC⊥BD,且AO=CO.‎ ‎∵DE⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,‎ ‎∴DE⊥AC.‎ ‎∵DE⊂平面BDEF,BD⊂平面BDEF,DE∩BD=D,‎ ‎∴AC⊥平面BDEF于点O,‎ 即AO为四棱锥A-BDEF的高.(9分)‎ 又∵四边形ABCD是菱形,∠BCD=60°,‎ ‎∴△ABD为等边三角形.‎ ‎∵AE=‎2‎,∴AD=DE=1,AO=‎3‎‎2‎,‎ ‎∴S正方形BDEF=1,VA-BDEF=‎1‎‎3‎S正方形BDEF·AO=‎3‎‎6‎,‎ ‎∴V多面体ABCDEF=2VA-BDEF=‎3‎‎3‎.(12分)‎ ‎5.‎ ‎(2015辽宁重点中学协作体模拟,文16,空间几何体的体积,填空题)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD.若∠BPC=90°,PB=‎2‎,PC=2,则四棱锥P-ABCD的体积的最大值为　　　　　. ‎ 解析:依题意,过点P作PE⊥AD于点E,PF⊥BC于点F,连接EF,则有PE⊥平面ABCD,EF⊥BC,EF=AB,PF=PC·PBPC‎2‎+PB‎2‎‎=‎‎2‎‎3‎.设AB=x,则矩形ABCD的面积等于AB·BC=x‎2‎‎2‎‎+(‎‎2‎‎)‎‎2‎‎=‎‎6‎x,PE=PF‎2‎-EF‎2‎‎=‎‎4‎‎3‎‎-‎x‎2‎,V四棱锥P-ABCD=‎1‎‎3‎‎×‎‎6‎x×‎4‎‎3‎‎-‎x‎2‎‎=‎6‎‎3‎×‎x‎2‎‎4‎‎3‎‎-‎x‎2‎.‎ 又因为x‎2‎‎4‎‎3‎‎-‎x‎2‎‎≤x‎2‎‎+‎‎4‎‎3‎‎-‎x‎2‎‎2‎=‎‎2‎‎3‎,当且仅当x2=‎4‎‎3‎-x2,即x2=‎2‎‎3‎时取等号,所以四棱锥P-ABCD的体积的最大值是‎6‎‎3‎‎×‎2‎‎3‎=‎‎2‎‎6‎‎9‎.‎ 答案:‎‎2‎‎6‎‎9‎ ‎7.‎ ‎(本小题满分12分)(2015贵州适应性考试,文19,空间几何体的体积,解答题)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD.底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,BA∥CD,AB=2,AD=CD=1,E是线段PB的中点.‎ ‎(1)证明:AC⊥平面PBC;‎ ‎(2)若点P到平面ACE的距离是‎6‎‎3‎,求三棱锥P-ACD的体积.‎ ‎(1)证明:由平面几何知识可知AC=BC=‎2‎.‎ 在△ABC中,AB2=AC2+BC2,所以AC⊥BC.(4分)‎ 因为PC⊥平面ABCD,所以AC⊥PC,‎ 则AC⊥平面PBC.(6分)‎ ‎(2)解:在平面PBC内作PH⊥CE,垂足为H.‎ 由(1)可知平面ACE⊥平面PBC,则PH⊥平面ACE,‎ 于是,PH就是点P到平面ACE的距离,即PH=‎6‎‎3‎.(8分)‎ 设PC=t,则PB=‎2+‎t‎2‎,CE=‎1‎‎2‎PB=‎2+‎t‎2‎‎2‎.‎ 同时,S△PBC=‎1‎‎2‎‎·‎‎2‎·t=‎2‎‎2‎t,S△PCE=‎1‎‎2‎S△PBC=‎2‎‎4‎t.‎ 又因为S△PCE=‎1‎‎2‎·CE·PH,有‎1‎‎2‎‎·‎2+‎t‎2‎‎2‎·‎6‎‎3‎=‎‎2‎‎4‎t,解得t=1,即PC=1.‎ 三棱锥P-ACD的体积V=‎1‎‎3‎·S△ACD·PC=‎1‎‎6‎.(12分)‎ ‎8.(2015东北三校一联,文8,空间几何体的体积,选择题)半径为1的球面上有四个点A,B,C,D,球心为点O,AB过点O,CA=CB,DA=DB,DC=1,则三棱锥A-BCD的体积为(　　)‎ A.‎3‎‎6‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎3‎ D.‎‎6‎ 解析:连接OC,OD,由球体的对称性可知VA-BCD=2VA-OCD.‎ 因为OC=OD=CD=1,所以△OCD为等边三角形,故S△OCD=‎3‎‎4‎,故VA-OCD=‎1‎‎3‎‎×‎‎3‎‎4‎×1=‎3‎‎12‎,故VA-BCD=2×‎3‎‎12‎‎=‎‎3‎‎6‎,故选A.‎ 答案:A ‎9.‎ ‎(本小题满分12分)(2015贵州贵阳监测考试(一),文19,空间几何体的体积,解答题)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,PA=PD=AD=2,点M在线段PC上,且PM=2MC,N为AD的中点.‎ ‎(1)求证:BC⊥平面PNB;‎ ‎(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求三棱锥P-NBM的体积.‎ ‎(1)证明:∵PA=AD,N为AD的中点,‎ ‎∴PN⊥AD,‎ 又底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,连接BD,‎ ‎∴△ABD为等边三角形,又N为AD的中点,‎ ‎∴BN⊥AD,又PN∩BN=N,‎ ‎∴AD⊥平面PNB,‎ ‎∵AD∥BC,∴BC⊥平面PNB.(6分)‎ ‎(2)解:∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PN⊥AD,‎ ‎∴PN⊥平面ABCD,‎ ‎∴PN⊥NB,‎ ‎∵PA=PD=AD=2,‎ ‎∴PN=NB=‎3‎,‎ ‎∴S△PNB=‎3‎‎2‎.‎ 又BC⊥平面PNB,PM=2MC,‎ ‎∴VP-NBM=VM-PNB=‎2‎‎3‎VC-PNB=‎2‎‎3‎‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×‎3‎×‎‎3‎×2=‎2‎‎3‎.(12分)‎ ‎10.‎ ‎(本小题满分12分)(2015广西柳州3月模拟,文19,空间几何体的体积,解答题)如图,四边形ABCD与A'ABB'都是边长为a的正方形,点E是A'A的中点,AA'⊥平面ABCD.‎ ‎(1)求证:A'C∥平面BDE;‎ ‎(2)求体积VA'-ABCD与VE-ABD的比值.‎ ‎(1)证明:设BD交AC于点M,连接ME.‎ ‎∵四边形ABCD为正方形,∴M为AC的中点,‎ 又∵E为A'A的中点,‎ ‎∴ME为△A'AC的中位线,∴ME∥A'C.‎ 又∵ME⊂平面BDE,A'C⊄平面BDE,‎ ‎∴A'C∥平面BDE.(6分)‎ ‎(2)解:VA'-ABCD∶VE-ABD=4∶1.(12分)‎ ‎11.‎ ‎(本小题满分12分)(2015吉林省吉林市二调,文19,空间几何体的体积,解答题)如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,DB∥EC,F为EA的中点,EC=AC=2,BD=1.‎ ‎(1)求证:DF∥平面ABC;‎ ‎(2)求多面体ECABD的体积.‎ ‎(1)证明:取AC的中点O,连接BO,FO.‎ 在△AEC中,FO∥EC,FO=‎1‎‎2‎EC.(2分)‎ 又根据题意知BD∥EC,BD=‎1‎‎2‎EC,‎ 所以FO∥BD,且FO=BD,所以四边形FOBD为平行四边形.(4分)‎ 所以DF∥OB,又因为DF⊄平面ABC,OB⊂平面ABC,所以DF∥平面ABC.(6分)‎ ‎(2)解:根据题意知多面体ECABD为四棱锥A-ECBD,‎ 过点A作AH⊥BC于点H,‎ 因为EC⊥平面ABC,EC⊂平面ECBD,‎ 所以平面ECBD⊥平面ABC,(8分)‎ 又因为AH⊥BC,AH⊂平面ABC,平面ECBD∩平面ABC=BC,‎ 所以AH⊥平面ECBD,(10分)‎ 在四棱锥A-ECBD中,底面为直角梯形ECBD,高AH=‎3‎,‎ 所以V四棱锥A-ECBD=‎1‎‎3‎‎×‎(2+1)×2‎‎2‎×‎3‎=‎‎3‎,‎ 所以多面体ECABD的体积为‎3‎.(12分)‎ ‎12.‎ ‎(本小题满分12分)(2015河北石家庄二中一模,文19,空间几何体的体积,解答题)如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是梯形,且满足AD=DC=CB=‎1‎‎2‎AB=a,在直角梯形ACEF中,EF