高中数学 1-7-1 定积分在几何中的应用双基限时训练 新人教版选修2-2

高中数学 1-7-1 定积分在几何中的应用双基限时训练 新人教版选修2-2

‎【名师一号】2014-2015学年高中数学 ‎1-7-1‎ 定积分在几何中的应用双基限时训练 新人教版选修2-2‎ ‎1．由曲线y＝f(x)(f(x)≤0)，x∈[a，b]，x＝a，x＝b和x轴围成的曲边梯形的面积S等于(　　)‎ A.f(x)dx，　　　　　　 B．－f(x)dx C.[f(x)－a]dx D.[f(x)－b]dx 答案　B ‎2．如图，阴影部分的面积为(　　)‎ A.f(x)dx B.g(x)dx C.[f(x)－g(x)]dx D.[f(x)＋g(x)]dx 解析　阴影部分的面积 S＝f(x)dx＋|g(x)dx|‎ ‎＝f(x)dx－g(x)dx ‎＝[f(x)－g(x)]dx.‎ 答案　C ‎3．曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积等于(　　)‎ A.－1(x－x3)dx B.－1(x3－x)dx C．2(x－x3)dx D．2－1(x－x3)dx 解析　由得交点A(－1，－1)，B(0,0)，C(1,1)，如下图所示．‎ ‎∴阴影部分的面积为S＝2(x－x3)dx.‎ 答案　C ‎4．曲线y＝cosx(0≤x≤π)与坐标轴所围成的面积为(　　)‎ A．2 B．3‎ C. D．4‎ 解析　利用函数y＝cosx在0≤x≤的图知，所求面积为S＝3∫0cosxdx＝3(sinx)0＝3.‎ 答案　B ‎5．如图阴影部分面积为(　　)‎ A. 2 B. 9－2 C. D. 解析　S＝－3(3－x2－2x)dx ‎＝(3x－x3－x2) ‎＝＋9＝.‎ 答案　C ‎6．f(x)＝的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为(　　)‎ A. B. 1‎ C. 2 D. 解析　根据定积分的几何意义结合图形可得所求封闭图形的面积为 S＝×1×1＋∫0cosxdx ‎＝＋sinx0＝.‎ 答案　A ‎7．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成图形的面积为________．‎ 解析　示意图如图所示，‎ 所求面积为S＝(x－)dx＝(x2－lnx)＝－ln2.‎ 答案　－ln2‎ ‎8．设函数f(x)＝3x2＋c，若f(x)dx＝5，则实数c的值为________．‎ 解析　∵f(x)dx＝(3x2＋c)dx ‎＝(x3＋cx)＝1＋c＝5，‎ ‎∴c＝4.‎ 答案　4‎ ‎9．设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.‎ 解析　依题意得，由y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积S＝dx＝x＝a＝a2，∴a＝.‎ 答案　 ‎10．求正弦曲线y＝ sinx，x∈[0，]和直线x＝及x轴所围成的平面图形的面积．‎ 解　如图，当x∈[0，π]时，曲线 y＝ sinx位于x轴上方，而当x∈[π，]时，曲线位于x轴下方，因此所求面积应为两部分面积之和．‎ ‎∴S＝ sinxdx＋|∫π sinxdx|‎ ‎＝ sinxdx－∫π sinxdx ‎＝－cosx＋cosxππ ‎＝2＋1＝3.‎ ‎11．如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与 x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k的值．‎ 解　抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，抛物线与x轴所围成的面积S＝(x－x2)dx＝＝.‎ 抛物线y＝x－x2与直线y＝kx两交点的横坐标为0和1－k，‎ ‎∴S＝∫(x－x2－kx)dx＝＝(1－k)3＝.‎ ‎∴(1－k)3＝，k＝1－＝1－.‎ ‎12．求曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成图形(如图阴影部分)的面积的最小值．‎ 解　由定积分与微积分基本定理得S＝S1＋S2＝(t2－x2)dx＋(x2－t2)dx＝(t2x－x3)＋＝t3－t3＋－t2－t3＋t3＝t3－t2＋，t∈(0,1)．‎ S′＝4t2－2t＝2t(2t－1)．‎ 当00，‎ ‎∴当t＝时，S有最小值Smin＝.‎