2018-2019学年云南省玉溪一中高二上学期第二次月考数学（理）试题 Word版
玉溪一中 2018—2019 学年上学期高二第二次月考
理科数学
命题人：王加平
一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知 | ， | ，则
A． | 或 B． | C． | D． |
2.设等差数列{ }的前 项和为 ，若 ，则 =
A． B． C． D．
3．“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.已知 , 是两条不同直线， , 是两个不同平面，则下列命题正确的是
A.若 , 垂直于同一平面，则 与 平行
B.若 , 平行于同一平面，则 与 平行
C.若 , 不平行，则在 内不存在与 平行的直线
D.若 , 不平行，则 与 不可能垂直于同一平面
5.图 1 是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
6.已知函数 ，若 ， ，则
A． , B． ,
C． , D． ,
7.点 在圆 ： 外，则直线 与圆 的位置关系是
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
=A { x 1>x } =B { x 0322 <−− xx } =∪ BA
{ x 1−
x } { x 1−>x }
na n nS 1064 =+ aa 9S
20 35 45 90
2xf
0)( 1 >xf 0)( 2 xf 0)( 2 >xf
),( baM O 122 =+ yx 1=+ byax O
图 1
8.设变量 , 满足约束条件 则 的最大值为
A. B. C. D.
9.阅读图 2 的程序框图,运行相应的程序,输出 的值为
A． B． C． D．
10.在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，
若 ， ，则 的面积是
A. B. C. D.
11.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；
将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 为鳖臑， ⊥平面
, ， , 三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上,
则球 的表面积为
A． B． C. D．
12.已知点 ，抛物线 ： 的焦点为 ，射线 与抛物线 相交于
点 ，与其准线相交于点 ，若 ，则 的值等于
A． B． C. D．
二、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.在区间[ ]上随机取一个实数 ，则事件“ ”发生的概率为 ．
14.设向量 a，b 不平行，向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数 λ＝ ．
15.已知 , 是双曲线 ( , )的两焦点，以线段 为边作正三角
形 ，若边 的中点 在双曲线上，则双曲线的离心率是 ．
x y
≥−−
≤−
≥+
,012
,03
,0
yx
x
yx
yxz −=
2 4 6 3
2
S
15 945 245 105
ABC∆ A B C a b c
6)( 22 +−= bac 3
π=C ABC∆
3 2
39
2
33 33
ABCP − PA
ABC 2== ABPA 22=AC ABCP − O
O
π12 π16 π20 π24
)2,0(A C axy =2 )0( >a F FA C
M N 5:1: =MNFM a
4 2
1 1 4
1
53，− x 4)2
1(1 ≤≤ x
1F 2F 12
2
2
2
=−
b
y
a
x 0>a 0>b 21FF
21FMF 1MF P
图 2
16.设 为数列 的前 项和, 已知 , 对任意 N , 都有 ，则
N )的最小值为 ．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 10 分)已知等差数列 的前 项和为 ，且 , .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
18.(本小题满分 12 分) 函数 , .
(1)求 的最小正周期；
(2)求 在闭区间 上的最大值和最小值.
19.(本小题满分 12 分) 如图 3，直三棱柱 中， ， ，
.
(1)证明： ； （2）求二面角 的正切值.
20.(本小题满分 12 分)某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入
(单位：千元)的数据如下表：
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)求 y 关于 t 的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变
1AB AC⊥
nS { }na n 1 2a = ,p q∈ *
p q p qa a a+ = +
( ) 60 (1
nSf n nn
+= ∈+
*
}{ na n nS 53 =a 22515 =S
}{ na
nb na
n 22 += }{ nb n nT
4
3cos3)3sin(cos)( 2 +−+⋅= xxxxf
π
Rx ∈
)(xf
)(xf
−
4,4
ππ
111 CBAABC − 1=AB 31 == AAAC
60=∠ABC
BCAA −− 1
y
图 3
A
B
C
A1
B1
C1
化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
， .
21.(本小题满分 12 分) 如果函数 在其定义域内存在 ，使得
成立，则称函数 为“可分拆函数”．
（1）试判断函数 是否为“可分拆函数”？并说明你的理由；
（2）设函数 为“可分拆函数”，求实数 的取值范围．
22.(本小题满分 12 分)已知点 ，椭圆 ： ( )的离心率为
， 是椭圆 的右焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点.
(1)求 的方程；
(2)设过点 的动直线 与 相交于 ， 两点.当 的面积最大时，求 的
方程.
玉溪一中 2018—2019 学年上学期高二第二次月考
理科数学 参考答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C B D A B B C D C A A
atby ˆˆˆ +=
∑
∑
=
=
−
−−
=
n
i
i
n
i
ii
tt
yytt
b
1
2
1
)(
))((
ˆ tbya ˆˆ −=
)(xf 0x
)1()()1( 00 fxfxf +=+ )(xf
xxf 1)( =
12lg)( +=
x
axf a
)2,0( −A E 12
2
2
2
=+
b
y
a
x 0>> ba
2
3 F E AF 3
32 O
E
A l E P Q OPQ∆ l
二、填空题：
13. 14. 15. 16.
三、解答题：
17.解： (1)设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
由题意得 解得: , .
. ………………………………5 分
(2) ，
…………………………………10 分
18.解：(1)由已知，有 ＝cos x·(1
2sin x＋ 3
2 cos x)－ 3cos2x＋
3
4
＝
1
2sin x·cos x－
3
2 cos2x＋
3
4 ＝
1
4sin 2x－
3
4 (1＋cos 2x)＋
3
4
＝
1
4sin 2x－
3
4 cos 2x＝1
2sin(2x－π
3 )
所以， 的最小正周期 . ……………………6 分
(2)因为 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数.
＝－
1
4 ， ＝－
1
2， ＝
1
4
所以，函数 在闭区间 上的最大值为1
4
，最小值为－
1
2 . ……12 分
4
1
2
1 13 + 29
2
}{ na 1a d
=×+
=+
,2252
141515
,52
1
1
da
da
11 =a 2=d
12 −=∴ nan
nnnb nna
n
n 242
12222 12 +×=+=+= −
nn bbbT +++=∴ 21
)(xf
)(xf ππ ==
2
2T
)(xf
−−
12,4
ππ
−
4,12
ππ
)4(
π−f )12(
π−f )4(
π
f
)(xf
−
4,4
ππ
3
243
2
2
)1(2)41
44(2
1
)21(2)444(2
1
2
1
2
−++⋅=
+⋅×+−
−×=
+++×++++×=
+
nn
nn
n
n
n
n
19.解：(1)因为三棱柱 为直三棱柱,所以 ,
在 中 , , ,由正弦定理得 .
所以 ,即 ，所以 ,
又因为 ,所以 . …………………6 分
（2）如图所示，作 交 于 ，连接 ，
因为 ,由三垂线定理可得 ,
所以 为所求角，在 中， ，
所以 . …………………12 分
20.解：(1)由所给数据计算得 t－
＝
1
7(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
y－
＝
1
7×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+
3×1.6=14,
.
1AB =
AB AC⊥
1AB AC⊥
1AD AC⊥ 1AC D BD
1BD AC⊥
1Rt AAC∆
111 CBAABC − AAAB 1⊥
ABC∆ 3=AC 60=∠ABC 30=∠ACB
90=∠BAC AACCAB 1平面⊥
AACCCA 11 平面⊂
AACCAB 1平面⊥
ADB∠
2
6
6
33
1
1 =×=⋅=
CA
ACAAAD
3
6
2
6
1tan ===∠
AD
ABADB
7
2
1
( ) 9 4 1 0 1 4 9 28,i
i
t t
=
− = + + + + + + =∑
=−−∑
=
)()(
7
1
yytt i
i
i
1
2
1
( )( ) 14 0.5,28( )
n
i i
i
n
i
i
t t y y
b
t t
=
=
− −
= = =
−
∑
∑
4.3 0.5 4 2.3a y bt= − = − × =
B
C
A1
B1
C1
D
A
所求回归方程为 ＝0.5t＋2.3. …………………………6 分
(2)由(1)知， ＝0.5>0，故 2007 至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平
均每年增加 0.5 千元. ………………9 分
将 2015 年的年份代号 t＝9 代入(1)中的回归方程，得 ＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地
区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元. …………12 分
21.解：（1）假设 是“可分拆函数”，则定义域内存在 ，
使得 ，即 ，此方程的判别式 ，
方程无实数解，所以 不是“可分拆函数”． ……………5 分
（2）因为函数 为“可分拆函数”，
所以定义域内存在 ，使得 ，
即 且 ， ………………7 分
所以 ，令 ，则 ，
所以 ，
由 得 ，即 的取值范围是 ． ………………12 分
22.解：(1)设 F(c，0)，由条件知，
2
c＝
2 3
3 ，得 c＝ 3.又
c
a＝
3
2 ，
所以 a＝2，b2＝a2－c2＝1.故 E 的方程为
x2
4 ＋y2＝1. …………4 分
(2)当 l⊥x 轴时不合题意，
y
b
y
)(xf 0x
11
1
1
00
+=+ xx 010
2
0 =++ xx 0341 <−=−=∆
)(xf
12lg)( +=
x
axf
0x 3lg
12
lg
12
lg
00 1
aaa
xx
+
+
=
++
31212 00 1
aaa
xx
×
+
=
++ 0>a
12
323
10
0
+
+⋅= +x
x
a 02 xt = 0>t
24
3
2
3
12
2
3)12(2
3
12
33
++=+
++⋅
=+
+=
tt
t
t
ta
0>t 32
3 << a a )3,2
3(
故设 l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).
将 y＝kx－2 代入
x2
4 ＋y2＝1 得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当 Δ＝16(4k2－3)>0，
即 k2>
3
4时， , . …………6 分
从而|PQ|＝ ＝
4 k2＋1· 4k2－3
4k2＋1 .
又点 O 到直线 PQ 的距离 d＝
2
k2＋1 .
所以△OPQ 的面积 S△OPQ＝
1
2d·|PQ|＝
4 4k2－3
4k2＋1 . … …………9 分
设 ，则 ，
当且仅当 t＝2，即 k＝±
7
2 时等号成立，且满足 Δ>0.所以，当 的面积最大时，l
的方程为 y＝
7
2 x－2 或 y＝－
7
2 x－2. ………………12 分
221 41
16
k
kxx +=+
221 41
12
kxx +=⋅
21
2
21
2 4)(1 xxxxk −++
tk =− 34 2 0>t
OPQ∆
14
4
4
4
2
≤
+
=+=∆
ttt
tS OPQ
