2016年高考试题——数学理（山东卷）解析版
绝密★启用前
2016 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结束后，将将本试卷和
答题卡一并交回.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡
和试卷规定的位置上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.
3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能
写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正
带.不按以上要求作答的答案无效.
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式：
如果事件 A,B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件 A,B 独立，那么 P(AB)=P(A)·P(B).
第Ⅰ卷（共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
（1）若复数 z 满足 其中 i 为虚数单位，则 z=（ ）
（A）1+2i （B）1 2i （C） （D）
【答案】B
【解析】
试题分析：设 ，则 ，故 ，则 ，选 B.
考点：1.复数的运算；2.复数的概念.
2 3 2i,z z
1 2i 1 2i
biaz ibiazz 2332 2,1 ba iz 21
【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往
不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.
（2）设集合 则 =（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
考点：1.指数函数的性质；2.解不等式；3.及集合的运算.
【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是
必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与求函数值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.
（3）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中
自习时间的范围是[17 .5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，
30).根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是（ ）
（A）56 （B）60 （C）120 （D）140
【答案】D[来源:]
【解析】
试题分析：由频 率分布直方图知，自习时间不少于 22.5 小时为后三组，有
2{ | 2 , }, { | 1 0},xA y y x B x x R A B
( 1,1) (0,1) ( 1, ) (0, )
（人），选 D.
考点：频率分布直方图
【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目.从历年高考题目看，图表题已是屡见不鲜，
作为一道应用题，考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题 的能力.
（4）若变量 x，y 满足 则 的最大值是（ ）
（A）4 （B）9 （C）10 （D）12
【答案】C
【解析】
试题分析：不等式组表示的可行域是以 A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域, 表示点（x,y）到原
点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为 ,故选 C.
考点：简单线性规划
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，
是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘
图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.
（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）
200 (0.16 0.08 0.04) 2.5 140
2
2 3 9
0
x y
x y
x
2 2x y+
2 2x y
2 10OC
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
考点：1.三视图；2.几何体的体积.
【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，
较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等.
（6）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β 内.则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的
（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：
“直线 和直线 相交” “平面 和平面 相交”，但“平面 和平面 相交” “直线 和直线
相交”，所以“直线 和直线 相交”是“平面 和平面 相交”的充分不必要条件，故选 A．
考点：1.充要条件；2.直线与平面的位置关系.
【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉
及直线与平面的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、
空间想象能力等.
（7）函数 f（x）=（ sin x+cos x）（ cos x –sin x）的最小正周期是（ ）
（A） （B）π （C） （D）2π
【答案】B
【解析】
1 2
3 3 π 1 2
3 3 π 1 2
3 6 π 21 6 π
a b a b
a b
3 3
2
π
2
3π
试题分析： ,故最小正周期 ,故选 B.
考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.
【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典
型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，
能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
（8）已知非零向量 m，n 满足 4│m│=3│n│，cos
= .若 n⊥（tm+n），则实数 t 的值为（ ）
（A）4 （B）–4 （C） （D）–
【答案】B
【解析】
试题分析：由 ，可设 ，又 ，所以
所以
，故选 B.
考点：平面向量的数量积
【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从
出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.
（9）已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时， ；当 时， ；当
时， .则 f(6)= （ ）
（A）−2 （B）−1 （C）0 （D）2
【答案】D
【解析】
试题分析：当 时， ,所以当 时，函数 是周期为 的周期函数，所以
，又函数 是奇函数，所以 ，故选 D.
考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.
【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定
难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的
2sin 2cos 2sin 26 6 3f x x x x
2
2T
1
3
9
4
9
4
4 3m n 3 , 4 ( 0)m k n k k ( )n tm n
2 2 2 21( ) cos , 3 4 (4 ) 4 16 03n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k
4t
( )n tm n
3( ) 1f x x 1 1x ( ) ( )f x f x 1
2x
1 1( ) ( )2 2f x f x
1
2x 1 1( ) ( )2 2f x f x 1
2x ( )f x 1
(6) (1)f f ( )f x 3(1) ( 1) 1 1 2f f
考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
（10）若函数 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 具有
T 性质.下列函数中具有 T 性质的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.
【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、
指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与
直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考
查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.
第Ⅱ卷（共 100 分）
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
（11）执行右边的程序框图，若输入的 a,b 的值分别为 0 和 9，则输出的 i 的值为________.
( )y f x ( )y f x
siny x lny x exy 3y x
【答案】3
【解析】
试题分析：第一次循环： ；第二次循环： ；第三次循环： ；满足条件，
结束循环，此时， .
考点：循环结构的程序框图
【名师点睛】自新课标学习算法以来，程序框图成为常见考点，一般说来难度不大，易于得分.题目以程序
运行结果为填空内容，考查考生对各种分支及算法语言的理解和掌握，本题能较好的考查考生应用知识分
析问题解决问题的能力等.
（12）若（ax2+ ）5 的展开式中 x5 的系数是—80，则实数 a=_______.
【答案】-2
【解析】
试题分析：因为 ，所以由 ，因此
考点：二项式定理
【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项公式，往往是考试的重点.本题难度
不大，易于得分.能较好的考查考生的基本运算能力等.
（13）已知双曲线 E： （a＞0，b＞0），若矩形 ABCD 的四个顶 点在 E 上，AB，CD 的中点为
E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是_______.
【答案】2
【解析】
试题分析：假设点 A 在第一象限，点 B 在第二象限，则 ， ，所以 ， ，
由 ， 得离心率 或 （舍去），所以 E 的离心率为 2.
考点：双曲线的几何性质
【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化
a 1,b 8 a 3,b 6 a 6,b 3
i 3
1
x
5102 5 5 2
1 5 5
1( ) ( ) rr r r r r
rT C ax C a x
x
510 5 22 r r
2 5 2
5 80 2.C a a
2 2
2 2 1x y
a b
2bA(c, )a
2bB(c, )a
22b| AB| a | BC | 2c
2 AB 3 BC 2 2 2c a b e 2 1e 2
得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能
力等.
（14）在 上随机地取一个数 k，则事件“直线 y=kx 与圆 相交”发生的概率为 .
【答案】
考点：1.直线与圆的位置关系；2. 几何概型.
【名师点睛】本题是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，几何概型概率的
计算问题，涉及圆心距的计算，与弦长相关的问题，往往要关注“圆的特征直角三角形”，本题能较好 的考
查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
（15）已知函数 其中 ，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三
个不同的根，则 m 的取值范围是________________.
【答案】
【解析】
试题分析：
画出函数图象如下图所示：
[ 1,1]- 2 2( 5) 9x y- + =
3
4
2
| |,( )
2 4 ,
x x mf x
x mx m x m
0m
3,
由图所示，要 有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即
，解得
考点：1.函数的图象与性质；2.函数与方程；3.分段函数
【名师点睛】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在
于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好的考查考生数形结合思
想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.
三、解答题：本答题共 6 小题，共 75 分.
（16）（本小题满分 12 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 [来源:学§科§网]
（Ⅰ）证明：a+b=2c;
（Ⅱ）求 cosC 的最小值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；
（Ⅱ）根据余弦定理公式表示出 cosC，由基本不等式求 cosC 的最小值.
试题解析： 由题意知 ，
化简得 ，
即 .
因为 ,
所以 .
从而 .
由正弦定理得 .
由 知 ,
f x b
2 22 4 , 3 0m m m m m m m 3m
tan tan2(tan tan ) .cos cos
A BA B B A
1
2
sin sin sin sin2 cos cos cos cos cos cos
A B A B
A B A B A B
2 sin cos sin cos sin sinA B B A A B
2sin sin sinA B A B
A B C
sin sin sinA B C C
sin sin =2sinA B C
2a b c
( ) ( ) 2
a bc
故 的最小值为 .
考点：1.和差倍半的三角函数；2. 正弦定理、余弦定理；3. 基本不等式.
【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式
化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到证明目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定
理用边表示角的函数.本题覆盖面较广，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
（17）（本小题满分 12 分）
在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆 O 的直径，EF 是上底面圆 O 的直径，FB 是圆台的一条母线.
（I）已知 G,H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH∥平面 ABC；
（II）已知 EF=FB= AC= ，AB=BC.求二面角 的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据线线、面面平行可得与直线 GH 与平面 ABC 平行；（Ⅱ）立体几何中的角与距离的
计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，其中解法一建立空间直角坐标系求解；解法二则是
找到 为二面角 的平面角直接求解.
试题解析：
cosC 1
2
'
1
2 2 3 F BC A
7
7
FNM F BC A
（I）证明：设 的中点为 ,连接 ,
在 ,因为 是 的中点，所以
又 所以
在 中，因为 是 的中点，所以 ，
又 ,所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 .
（II）解法一：
连接 ,则 平面 ，
又 且 是圆 的直径，所以
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
由题意得 ， ，过点 作 于点 ，
所以
FC I ,GI HI
CEF△ G CE ,GI F/ / E
,FE / / OB ,GI/ / OB
CFB△ H FB / /HI BC
HI GI I / /GHI ABC
GH GHI / /GH ABC
'OO 'OO ABC
,AB BC AC O .BO AC
O O xyz
(0,2 3,0)B ( 2 3,0,0)C F FM OB垂直 M
2 2 3,FM FB BM
可得
故 .
设 是平面 的一个法向量.
由
解法二：
连接 ，过点 作 于点 ，
则有 ,
又 平面 ，
所以 FM⊥平面 ABC,
可得
过点 作 于点 ，连接 ，
(0, 3,3)F
( 2 3, 2 3,0), (0, 3,3)BC BF
( , , )m x y z BCF
0,
0
m BC
m BF
'OO F FM OB M
/ / 'FM OO
'OO ABC
2 2 3,FM FB BM
M MN BC垂直 N FN
考点：1.平行关系；2. 异面直线所成角的计算.
【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平
面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给出规范的证明.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以
利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、
逻辑推理能力转化与化归思想及基本运算能力等.
（18）（本小题满分 12 分）
已知数列 的前 n 项和 Sn=3n2+8n， 是等差数列，且
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 求数列 的前 n 项和 Tn.
【答 案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据 及等差数列的通项公式求解；（Ⅱ）根据（Ⅰ）知数列 的通项公
式，再用错位相减法求其前 n 项和.
试题解析：（Ⅰ）由题意知当 时， ，
当 时， ，
所以 .
na nb 1.n n na b b
nb
1( 1) .( 2)
n
n
n n
n
ac b
nc
13 nbn
223 n
n nT
1 nnn SSa nc
2n 561 nSSa nnn
1n 1111 Sa
56 nan
设数列 的公差为 ，
由 ，即 ，可解得 ，[来源:ZXXK]
所以 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
又 ，
得 ，
，
两式作差，得
所以
考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.
【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的“错位相减
法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，
确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题
能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.
（19）（本小题满分 12 分）
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都
猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对， 则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0
分.已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果
亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：
（I）“星队”至少猜对 3 个成语的概率；
nb d
322
211
bba
bba
db
db
3217
211
1
1 3,41 db
13 nbn
1
1(6 6) 3( 1) 2(3 3)
n
n
n n
nc nn
nn ccccT 321
2 3 4 13 [2 2 3 2 4 2 ( 1) 2 ]n
nT n
3 4 5 22 3 [2 2 3 2 4 2 ( 1) 2 ]n
nT n
2 3 4 1 23 [2 2 2 2 2 ( 1) 2 ]n n
nT n
2
2
4(2 1)3 [4 ( 1) 2 ]2 1
3 2
n
n
n
n
n
223 n
n nT
3
4
2
3
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）分布列见解析，
【解析】
试题分析：（Ⅰ）找出“星队”至少猜对 3 个成语所包含的基本事件，由独立事件的概率公式和互斥事件
的概率加法公式求解；（Ⅱ）由题意，随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4, 6.由事件的独立性与互斥性，
得到 X 的分布列，根据期望公式求解.
试题解析：
(Ⅰ)记事件 A:“甲第一轮猜对”，记事件 B：“乙第一轮猜对”，[来源:]
记事件 C：“甲第二轮猜对”，记事件 D：“乙第二轮猜对”，
记事件 E：“‘星队’至少猜对 3 个成语”.
由题意，
由事件的独立性与互斥性，
,
所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为 .
(Ⅱ)由题意，随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性，得
,
,
,
,
2
3
23
6EX
.E ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD
P E P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD
P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P D
P A P B P P A P B P C P DC P D
3 2 3 2 1 2 3 2 3 1 3 2= 24 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3
2.3
2
3
1 1 1 1 10 4 3 4 3 144P X
3 1 1 1 1 2 1 1 10 51 2 4 3 4 3 4 3 4 3 144 72P X
3 1 3 1 3 1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 252 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 144P X
3 2 1 1 1 1 3 2 13 4 3 4 3 4 3 4 3 12P X
考点：1.独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；2.随机变量的分布列和数学期望.
【名师点睛】本题主要考查独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、随机变量的分布列和数学期
望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用独立事件的概率公式和互
斥事件的概率加法公式求解.本题较难，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.
(20) (本小题满分 13 分)
已知 .
（I） 讨论 的单调性；
（II）当 时，证明 对于任意的 成立.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求 的导函数，对 a 进行分类讨论，求 的单调性；
（Ⅱ）要证 对于任意的 成立，即证 ，根据单调性求解.
试题解析：
（Ⅰ） 的定义域为 ；
.
当 ， 时， ， 单调递增；
， 单调递减.
2
2 1( ) ln , Rxf x a x x ax
( )f x
1a 3( ) ' 2f x f x ＞ 1,2x
( )f x ( )f x
3( ) ' 2f x f x ＞ 1,2x
2
3)()( / xfxf
)(xf ),0(
3
2
32
/ )1)(2(22)( x
xax
xxx
aaxf
0a )1,0(x 0)(/ xf )(xf
/(1, ) , ( ) 0x f x 时 )(xf
当 时， .
（1） ， ，
当 或 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
（2） 时， ，在 内， ， 单调递增；
（3） 时， ，
当 或 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
综上所述，
当 时，函数 在 内单调递增，在 内单调递减；
当 时， 在 内单调递增，在 内单调递减，在 内单调递增；
当 时， 在 内单调递增；
当 ， 在 内单调递增，在 内单调递减，在 内单调递增.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 时，
， ，
令 ， .
0a /
3
( 1) 2 2( ) ( )( )a xf x x xx a a
20 a 12 a
)1,0(x x ),2( a 0)(/ xf )(xf
x )2,1( a 0)(/ xf )(xf
2a 12 a x ),0( 0)(/ xf )(xf
2a 120 a
)2,0( ax x ),1( 0)(/ xf )(xf
x )1,2( a 0)(/ xf )(xf
0a )(xf )1,0( ),1(
20 a )(xf )1,0( )2,1( a ),2( a
2a )(xf ),0(
2a )(xf )2,0( a )1,2( a ),1(
1a
/
2 2 3
2 1 1 2 2( ) ( ) ln (1 )xf x f x x x x x x x
2 3
3 1 2ln 1x x x x x ]2,1[x
1213)(,ln)( 32 xxxxhxxxg ]2,1[x
则 ，
由 可得 ，当且仅当 时取得等号.
又 ，
设 ，则 在 单调递减，
考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.
【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，
对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分
类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思
维能力、 基本计算能力、分类讨论思想等.
（21）（本小题满分 14 分）
平面直角坐标系 中，椭圆 C： 的离心率是 ，抛物线 E： 的焦点 F
是 C 的一个顶点.
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线 与 C 交与不同的两点 A，B，线段 AB 的中
点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M.
（i）求证：点 M 在定直线上;
)()()()( / xhxgxfxf
01)(/ x
xxg 1)1()( gxg 1x
2
4
3 2 6'( ) x xh x x
623)( 2 xxx )(x x ]2,1[
xOy
2 2
2 2 1 0x y a ba b ＞ ＞ 3
2
2 2x y
l
（ii）直线 与 y 轴交于点 G，记 的面积为 ， 的面积为 ，求
的最大值及取得最大
值时点 P 的坐标.
【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）（i）见解析；（ii） 的最大值为 ，此时点 的坐标为
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（Ⅱ）（i）由点 P 的坐标和斜率设出直线 l 的方程和抛
物线联立，进而判断点 M 在定直线上；（ii）分别列出 ， 面积的表达式，根据二次函数求最值和此时
点 P 的坐标.[来源:学§科§网 Z§X§X§K]
试题解析：
（Ⅰ）由题意知 ，可得： .
因为抛物线 的焦点为 ，所以 ，
所以椭圆 C 的方程为 .
（Ⅱ）（i）设 ，由 可得 ，
所以直线 的斜率为 ，
因此直线 的方程为 ，即 .
l PFG△ 1S PDM△ 2S 1
2
S
S
14 22 yx 1
2
S
S 4
9 P )4
1,2
2(
1S 2S
2
322
a
ba ba 2
E )2
1,0(F 2
1,1 ba
14 22 yx
)0)(2,(
2
mmmP yx 22 xy /
l m
l )(2
2
mxmmy 2
2mmxy
设 ，联立方程
得 ，
由 ，得 且 ，
因此 ,
将其代入 得 ，
因为 ，所以直线 方程为 .
所以 ，
，
所以 ，
令 ，则 ，
),(),,(),,( 002211 yxDyxByxA
2
2 2
2
4 1
my mx
x y
014)14( 4322 mxmxm
0 520 m 14
4
2
3
21 m
mxx
14
2
2 2
3
21
0 m
mxxx
2
2mmxy
)14(2 2
2
0 m
my
mx
y
4
1
0
0 OD xmy 4
1
)1(4
1||2
1 2
1 mmmGFS
)14(8
)12(||||2
1
2
22
02
m
mmxmPMS
22
22
2
1
)12(
)1)(14(2
m
mm
S
S
12 2 mt 211)1)(12(
22
2
1 ttt
tt
S
S
当 ，即 时， 取得最大值 ，此时 ，满足 ，
所以点 的坐标为 ，因此 的最大值为 ，此时点 的坐标为 .
考点：1.椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性
质.
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用 的关系，确定椭圆
（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与
系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、
导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、
运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
2
11 t 2t
2
1
S
S
4
9
2
2m 0
P )4
1,2
2( 1
2
S
S 4
9 P )4
1,2
2(
, , ,a b c e
