2019届二轮复习（理）第九章第52讲　直线的基本量与方程学案（江苏专用）

2019届二轮复习（理）第九章第52讲　直线的基本量与方程学案（江苏专用）

‎ 第52讲　直线的基本量与方程 考试要求　1.直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式(B级要求)；2.确定直线位置的几何要素，直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)(C级要求)；3.斜截式与一次函数的关系(A级要求).‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(　　)‎ ‎(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)‎ ‎(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(　　)‎ ‎(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示.(　　)‎ ‎(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(　　)‎ 解析　(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.‎ ‎(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.‎ ‎(3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等.‎ ‎(4)当直线的斜率不存在时，不可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√‎ ‎2.若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，‎ ‎－1)，则直线l的斜率为 .‎ 解析　设P(m，1)，Q(7，n)，‎ 由题意知解得 所以P(－5，1)，Q(7，－3)，‎ 所以k＝＝－.‎ 答案　－ ‎3.已知两点A(4，0)，B(0，3)，点C(8，a)在直线AB上，那么实数a＝ .‎ 解析　由kAB＝kBC，得＝，所以a＝－3.‎ 答案　－3‎ ‎4.若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m是 .‎ 解析　令y＝0，则(2m2＋m－3)x＝4m－1，‎ ‎∴x＝＝1，∴m＝2或－.‎ 答案　2或－ ‎5.如图所示，直线l过点P(－1，2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 .‎ 解析　设PA与PB的倾斜角分别为α、β，直线PA的斜率k1＝5，直线PB的斜率k2＝－.‎ 当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增到90°，斜率的变化范围为[5，＋∞)；‎ 当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角为90°增至β，斜率的变化范围为，‎ 故直线l的斜率的取值范围是∪[5，＋∞).‎ 答案　∪[5，＋∞)‎ 知 识 梳 理 ‎1.直线的倾斜角 ‎(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.‎ ‎(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°).‎ ‎2.斜率公式 ‎(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan α.‎ ‎(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝.‎ ‎3.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y1＝k(x－x1)‎ 不含直线x＝x1‎ 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2)‎ 截距式 ＋＝1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)‎ 平面直角坐标系内的直线都适用 考点一　直线的倾斜角与斜率 ‎【例1】 (1)(2018·镇江模拟)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是 .‎ ‎(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 .‎ 解析　(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.‎ 因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，‎ 所以0≤θ≤或≤θ<π.‎ ‎(2)如图，∵kAP＝＝1，‎ kBP＝＝－，‎ ‎∴k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞).‎ 答案　(1)∪ ‎(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)‎ 规律方法　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0).‎ ‎【训练1】 若直线(k2－1)x－y－1＋2k＝0不经过第二象限，则实数k的取值范围是 .‎ 解析　直线方程可化为y＝(k2－1)x＋2k－1，‎ 因为直线不过第二象限，‎ 所以或或 解得k≤－1.‎ 即实数k的取值范围是(－∞，－1].‎ 答案　(－∞，－1]‎ 考点二　求直线的方程 ‎【例2】 根据所给条件求直线的方程：‎ ‎(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为；‎ ‎(2)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；‎ ‎(3)直线过点(5，10)，且直线到原点的距离为5.‎ 解　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.‎ 设倾斜角为α，则sin α＝(0<α<π)，‎ 从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.‎ 故所求直线方程为y＝±(x＋4).‎ 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.‎ ‎(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a.‎ 若a＝0，即l过点(0，0)及(4，1)，‎ ‎∴l的方程为y＝x，即x－4y＝0.‎ 若a≠0，则设l的方程为＋＝1，‎ ‎∵l过点(4，1)，∴＋＝1，‎ ‎∴a＝5，‎ ‎∴l的方程为x＋y－5＝0.‎ 综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.‎ ‎(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足条件；‎ 当斜率存在时，设其为k，‎ 则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，‎ 即kx－y＋(10－5k)＝0.‎ 由点到直线的距离公式得＝5，解得k＝.‎ 故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.‎ 综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.‎ 规律方法　在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，‎ 而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.‎ ‎【训练2】 求适合下列条件的直线方程：‎ ‎(1)经过点P(3，2)且在两坐标轴上的截距相等；‎ ‎(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－倍；‎ ‎(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且AB＝5.‎ 解　(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，‎ 若a＝0，即l过点(0，0)和(3，2)，‎ ‎∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.‎ 若a≠0，则设l的方程为＋＝1，‎ ‎∵l过点(3，2)，∴＋＝1，‎ ‎∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，‎ 综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.‎ ‎(2)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－×3＝－.‎ 又直线经过点A(－1，－3)，‎ 因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，‎ 即3x＋4y＋15＝0.‎ ‎(3)①过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.‎ 解方程组 求得B点坐标为(1，4)，此时AB＝5，即x＝1为所求.‎ ‎②设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为 y＋1＝k(x－1) (k≠－2)，‎ 解方程组 得两直线交点为 则B点坐标为.‎ ‎∴＋＝52，‎ 解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，‎ 即3x＋4y＋1＝0.‎ 综上可知，所求直线方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.‎ 考点三　直线方程的综合应用 ‎【例3】 (一题多解)已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.‎ 解　法一　设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，‎ 把点P(3，2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，‎ 从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.‎ 法二　依题意知直线l的斜率k存在且k<0.‎ 则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，‎ 且有A，B(0，2－3k)，‎ ‎∴S△ABO＝(2－3k) ‎＝ ‎≥ ‎＝×(12＋12)＝12.‎ 当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立.‎ 即△ABO的面积的最小值为12.‎ 故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.‎ 规律方法　与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.‎ ‎(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.‎ ‎(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.‎ ‎【训练3】 (2018·盐城模拟)直线l过点P(1，4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当OA＋OB最小时，求直线l的方程.‎ 解　依题意，直线l的斜率存在且斜率为负，‎ 设直线l的斜率为k，‎ 则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0).‎ 令y＝0，可得A；‎ 令x＝0，可得B(0，4－k).‎ OA＋OB＝＋(4－k)＝5－ ‎＝5＋≥5＋4＝9.‎ ‎∴当且仅当－k＝且k<0，‎ 即k＝－2时，OA＋OB取最小值.‎ 这时直线l的方程为2x＋y－6＝0.‎ 一、必做题 ‎1.(2018·连云港模拟)若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是 .‎ 解析　解方程组得因为直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，所以k＋6>0且k＋2<0，所以－6x0＋2，则的取值范围为 .‎ 解析　设A(x1，y1)，＝k，则y0＝kx0，‎ ‎∵AB的中点为P(x0，y0)，∴B(2x0－x1，2y0－y1).‎ ‎∵A，B分别在直线x＋2y－1＝0和x＋2y＋3＝0上，‎ ‎∴x1＋2y1－1＝0，2x0－x1＋2(2y0－y1)＋3＝0，‎ ‎∴2x0＋4y0＋2＝0，即x0＋2y0＋1＝0.‎ ‎∵y0＝kx0，∴x0＋2kx0＋1＝0，即x0＝－.‎ 又y0>x0＋2，∴kx0>x0＋2，即(k－1)x0>2，‎ 即(k－1)>2，即<0，‎ 解得－1}.‎ ‎③A(0，1)，B(0，0)，C(0，0)，D(2，0).如图③所示.‎ Ω＝{(x，y)|x≤0，y≤0}∪{(x，y)|y＝x，02}.‎