2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9-7抛物线课件新人教B版

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第七节　抛　物　线 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 抛物线的定义 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l (F∉ l ) 的距离相等的点的轨迹叫做 _______ ， 定点 F 叫做抛物线的 _____ ，定直线 l 叫做抛物线的 _____. 抛物线 焦点 准线 2. 抛物线的标准方程与几何性质 【常用结论】 1. 焦半径、通径：抛物线 y 2 =2px(p>0) 上一点 P(x 0 ， y 0 ) 到焦点 F 的距离 |PF|=x 0 + ，也称为抛物线的焦半径 . 过焦点垂直于对称轴的弦称为通径，通径长等于 2p ，是过焦点最短的弦 . 2. 四倍关系： y 2 =ax 的焦点坐标为 ，准线方程为 x=- . 3. 抛物线中的常用结论：直线 AB 过抛物线 y 2 =2px(p>0) 的焦点， 交抛物线于 A(x 1 ， y 1 ) ， B(x 2 ， y 2 ) 两点，如图 . ①y 1 y 2 =-p 2 ， x 1 x 2 = ②|AB|=x 1 +x 2 +p ， x 1 +x 2 ≥2 =p ，即当 x 1 =x 2 时， 弦长最短为 2p. ③ 为定值 . ④ 弦长 AB= (α 为 AB 的倾斜角 ). ⑤ 以 AB 为直径的圆与准线相切 . 【知识点辨析】 　 ( 正确的打“ √”, 错误的打“ ×”) (1) 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 . ( 　　 ) (2) 方程 y=ax 2 (a≠0) 表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线 , 且其焦点坐标是 , 准线方程是 x=- . ( 　　 ) (3) 抛物线既是中心对称图形 , 又是轴对称图形 . ( 　　 ) (4) 若直线与抛物线只有一个交点 , 则直线与抛物线一定相切 . ( 　　 ) (5)AB 为抛物线 y 2 =2px(p>0) 的过焦点 F 的弦 , 若 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 则 x 1 x 2 = ,y 1 y 2 =-p 2 , 弦长 |AB|=x 1 +x 2 +p. ( 　　 ) (6) 过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线 的通径 , 那么抛物线 x 2 =-2ay(a>0) 的通径长为 2a. ( 　　 ) 提示 : (1)×. 当定点在定直线上时 , 轨迹为过定点与定直线垂直的一条直线 , 不是 抛物线 . (2)×. 方程 y=ax 2 (a≠0) 可化为 x 2 = y 是焦点在 y 轴上的抛物线 , 且其焦点坐标 是 , 准线方程是 y=- . (3)×. 抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形 . (4)×. 例如 , 直线 y=1 与抛物线 y 2 =4x 只有一个交点 , 但它们相交 . (5)√. 由焦半径的性质可知正确 . (6)√. 由通径定义及抛物线性质知正确 . 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 不会利用定义转化 考点一、 T1,2 2 联想不到利用焦点弦的有关结论求解 考点二、 T3 3 运算不过关导致出错 考点三、角度 1 【教材 · 基础自测】 1.( 选修 2-1P70 练习 AT2 改编 ) 过抛物线 y 2 =4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x 1 ,y 1 ), Q(x 2 ,y 2 ) 两点 , 如果 x 1 +x 2 =6, 则 |PQ| 等于 ( 　　 ) A.9 　 B.8 　 C.7 　 D.6 【解析】 选 B. 抛物线 y 2 =4x 的焦点为 F(1,0), 准线方程为 x=-1, 根据题意可得 |PQ|=|PF|+|QF|=x 1 +1+x 2 +1=x 1 +x 2 +2=8. 2.( 选修 2-1P63 例 3 改编 ) 已知抛物线 y 2 =2px(p>0) 的焦点为 F,P 为抛物线上任意 一点 , 则以 PF 为直径的圆 C 与 y 轴 ( 　　 ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上都不对 【解析】 选 B. 由抛物线方程得 F , 设 P(x 0 ,y 0 ), 则由抛物线定义可得 |PF|=x 0 + . 由已知点 C 为 PF 的中点则 C 的坐标为 , 半径 r= , 故 C 点到 y 轴 的距离 d= , 所以 d=r, 故圆 C 与 y 轴相切 , 故选 B. 3.( 选修 2-1P61 练习 BT3 改编 ) 顶点在坐标原点 , 焦点为 F(0,1) 的抛物线上有一动 点 A, 圆 (x+1) 2 +(y-4) 2 =1 上有一动点 M, 则当 |AM|+|AF| 取得最小值时 =( 　　 ) A.3 B. C.2 D. 【解析】 选 B. 由题知 , 抛物线方程为 x 2 =4y, 其准线为 y=-1, 设 d=|AF| 为 A 到准线的距离 , 则 |AM|+|AF| 的最小值等于圆心 (-1,4) 到准线的距离减去半径 , 此时 A , 则