2018届二轮复习 平面解析几何学案（全国通用）
专题十 平面解析几何
———————命题观察·高考定位———————
(对应 生用书第44页)
1．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．
2 [∵a2＝7，b2＝3，∴c2＝a2＋b2＝7＋3＝10，
∴c＝，∴2c＝2.]
2．(2016·江苏高考)如图10－1，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0) 的右焦点，直线y＝ 与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
图10－1
[由题意得B，C，∴＝，＝，∵·＝0，因此c2－2＋2＝0⇒3c2＝2a2⇒e＝.]
3．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．
(x－1)2＋y2＝2 [直线mx－y－2m－1＝0经过定点(2，－1)．
当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r满足r2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.]
4．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q
的面积是________．
2 [如图所示，双曲线－y2＝1的焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，
所以|F1F2|＝4.
双曲线－y2＝1的右准线方程为x＝＝，
渐近线方程为y＝±x.
由得P.
同理可得Q.
∴|PQ|＝，
∴S四边形F1PF2Q＝·|F1F2|·|PQ|＝×4×＝2.]
5．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
【导 号：56394068】
[－5，1] [法一：因为点P在圆O：x2＋y2＝50上，
所以设P点坐标为(x，±)(－5≤x≤5)．
因为A(－12,0)，B(0,6)，
所以＝(－12－x，－)或＝(－12－x，)，
＝(－x,6－)或＝(－x,6＋)．
因为·≤20，先取P(x，)进行计算，
所以(－12－x)·(－x)＋(－)(6－)≤20，
即2x＋5≤.
当2x＋5≤0，即x≤－时，上式恒成立；
当2x＋5≥0，即x≥－时，(2x＋5)2≤50－x2，
解得－≤x≤1，故x≤1.
同理可得P(x，－)时，x≤－5.
又－5≤x≤5，所以－5≤x≤1.
故点P的横坐标的取值范围为[－5，1]．
法二：设P(x，y)，则＝(－12－x，－y)，＝(－x,6－y)．
∵·≤20，
∴(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，
即2x－y＋5≤0.
如图，作圆O：x2＋y2＝50，
直线2x－y＋5＝0与⊙O交于E，F两点，
∵P在圆O上且满足2x－y＋5≤0，
∴点P在上．
由得F点的横坐标为1，
又D点的横坐标为－5，
∴P点的横坐标的取值范围为[－5，1]．]
6．(2016·江苏高考) 如图10－2，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
图10－2
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；
(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．
【导 号：56394069】
[解] 圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，
所以圆心M(6,7)，半径为5.
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以0
r时相离．解有关直线与圆的相交问题要灵活运用圆的几何性质，特别是半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，满足勾股定理．圆的切线问题一般利用d＝r求解，但要注意切线斜率不存在的情形，与圆有关的最值，范围问题要注意数形结合思想的运用．直线与圆中常见的最值问题：①圆外一点与圆上任一点的距离的最值．②直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值．③过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．④直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题．⑤两圆相离，两圆上点的距离的最值．
[举一反三]
(2017·江苏省无锡市高考数 一模)在平面直角坐标系xOy中，过点M(1,0)的直线l与圆x2＋y2＝5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且＝2，则直线l的方程为________.
【导 号：56394071】
x－y－1＝0 [由题意，设直线x＝my＋1与圆x2＋y2＝5联立，可得(m2＋1)y2＋2my－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2＝－2y1，y1＋y2＝－，y1y2＝－，
联立解得m＝1，∴直线l的方程为x－y－1＝0.]
圆锥曲线的定义及标准方程
【例4】 (江苏省苏州市2017届高三暑假自主 习测试)如图10－4，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
图10－4
＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(3,1)在椭圆上，△PF1F2的面积为2.
(1)①求椭圆C的标准方程；
②若∠F1QF2＝，求QF1·QF2的值．
(2)直线y＝x＋k与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值．
[解] (1)①由条件
可知＋＝1，c＝2，
又a2＝b2＋c2，
所以a2＝12，b2＝4，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
②当θ＝时，有
所以QF1·QF2＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得4x2＋6kx＋3k2－12＝0，
由根与系数的关系及直线方程可知：
x1＋x2＝－，x1x2＝，y1y2＝，
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，则·＝x1x2＋y1y2＝k2－6＝0，
解得k＝±，此时Δ＝120＞0，满足条件，
因此k＝±.
[规律方法] (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求＋>，双曲线的定义中要求<.
(2)求圆锥曲线标准方程常用的方法：(1)定义法；(2)待定系数法，①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y2＝2ax或x2＝2ay (a≠
0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a不具有p的几何意义．②椭圆的标准方程可设为＋＝1(m>0，n>0)，双曲线的标准方程可设为－＝1(mn>0)，这样可以避免讨论和繁琐的计算．
[举一反三]
(江苏省如东高级中 2017届高三上 期第二次 情调研)已知椭圆C：＋＝1的左焦点为F，点M是椭圆C上一点，点N是MF的中点，O是椭圆的中点，ON＝4，则点M到椭圆C的左准线的距离为________．
[设点M到右焦点的距离为MF′，则MF′＝2×4＝8，由定义可知该点到左焦点的距离MF＝10－8＝2，由圆锥曲线的统一定义可得点M到椭圆C的左准线的距离为d＝＝＝.]
圆锥曲线的几何性质
【例5】 (江苏省扬州市2017届高三上 期期末)已知抛物线y2＝16x的焦点恰好是双曲线－＝1的右焦点，则双曲线的渐近线方程为________．
[解析] 根据题意，抛物线的标准方程：y2＝16x，其焦点坐标为(4,0)，
则双曲线－＝1的右焦点坐标为(4,0)，则c＝4，
有12＋b2＝16，解可得b＝2，
则双曲线的方程为－＝1，
则该双曲线的渐近线方程y＝±x.
[答案] y＝±x
[规律方法] 求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求的值；在双曲线中由于e2＝1＋2，故双曲线的渐近线与离心率密切相关，求离心率的范围问题关键是确立一个关于a，b，c的不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到关于a，c
的不等式，由这个不等式确定a，c的关系．
[举一反三]
(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上 期期中)如图10－5，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是________．
图10－5
[由题意得－×＝－1⇒b2＝ac⇒a2－c2＝ac⇒1－e2＝e,0＜e＜1⇒e＝.]
直线与圆锥曲线的位置关系
【例6】 (江苏省扬州市2017届高三上 期期末)如图10－6，椭圆C：
图10－6
＋＝1(a＞b＞0)，圆O：x2＋y2＝b2，过椭圆C的上顶点A的直线l：y＝kx＋b分别交圆O、椭圆C于不同的两点P、Q，设＝λ.
(1)若点P(－3,0)，点Q(－4，－1)，求椭圆C的方程；
(2)若λ＝3，求椭圆C的离心率e的取值范围．
【导 号：56394072】
[解] (1)由P(－3,0)在圆O：x2＋y2＝b2上，可得b＝3.
又点Q在椭圆C上，得＋＝1，解得a2＝18.
∴椭圆C的方程为＋＝1；
(2)联立得x＝0或xP＝－，
联立得x＝0或xQ＝－.
∵＝λ，λ＝3，∴＝，
∴·＝，即k2＝＝4e2－1.
∵k2＞0，∴4e2＞1，得e＞或e＜－.
又0＜e＜1，∴＜e＜1.
[规律方法] (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法
将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．
(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法
将直线方程与双曲线方程联立，消去y或x，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0，或ay2＋by＋c＝0，若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离；若a＝0，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．
(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法
将直线方程与抛物线方程联立，消去y或x，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0，或ay2＋by＋c＝0，当a≠0时，用Δ判定，方法同上；当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，与抛物线有一个交点．
抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.同样可得抛物线y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py类似的性质．
(4)解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入．即当直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|，而|x1－x2|＝.
[举一反三]
(2017·江苏省泰州市高考数 一模)如图10－7，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为1.
图10－7
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线y＝于点Q，求＋的值．
[解] (1)由题意得，＝，－c＝1，
解得a＝，c＝1，b＝1.
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知OP的斜率存在．
当OP的斜率为0时，OP＝，OQ＝，所以＋＝1.
当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y＝kx.
由得(2k2＋1)x2＝2，解得x2＝，所以y2＝，
所以OP2＝.
因为OP⊥OQ，所以直线OQ的方程为y＝－x.
由得x＝－k，所以OQ2＝2k2＋2.
所以＋＝＋＝1.
综上，可知＋＝1.
圆锥曲线中的范围问题
【例7】 (江苏省南京市2017届高三上 期 情调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点(在x轴上方)，连接PF1并延长交椭圆于另一点Q，设＝λ.
(1)若点P的坐标为，且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；
(2)若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈，求实数λ的取值范围．
[解] (1) 因为F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，
所以PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，从而△PQF2的周长为4a.
由题意，得4a＝8，解得a＝2.
因为点P的坐标为，所以＋＝1，
解得b2＝3.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)法一：因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0.
设Q(x1，y1)．
因为P在椭圆上，所以＋＝1，解得y0＝，即P.
因为F1(－c,0)，所以＝，＝(x1＋c，y1)．
由＝λ，得－2c＝λ(x1＋c)，－＝λy1，
解得x1＝－c，y1＝－，所以Q.
因为点Q在椭圆上，所以2e2＋＝1，
即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1，
因为λ＋1≠0，
所以(λ＋3)e2＝λ－1，从而λ＝＝－3.
因为e∈，所以≤e2≤，即≤λ≤5.
所以λ的取值范围为.
法二 因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0.
因为P在椭圆上，所以＋＝1，解得y0＝，即P.
因为F1(－c,0)，故直线PF1的方程为y＝(x＋c)．
由得(4c2＋b2)x2＋2b2cx＋c2(b2－4a2)＝0.
因为直线PF1与椭圆有一个交点为P.设Q(x1，y1)，
则x1＋c＝－，即－c－x1＝.
因为＝λ，
所以λ＝＝＝＝＝＝－3.
因为e∈，所以≤e2≤，即≤λ≤5.
所以λ的取值范围为.
[规律方法]
(1)求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．
(2)求解特定字母取值范围问题的常用方法：①构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式(或不等式组)，然后解不等式(或不等式组)，求得特定字母的取值范围．②构造函数法：根据题设条件，用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围．③数形结合法：研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，利用数形结合的方法求解．
[举一反三]
(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数 二模)已知椭圆C：＋＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F(－1,0)，左准线为x＝－2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线l交椭圆C于A，B两点．
①若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足＝λ，＝μ，求证：λ＋μ为常数；
②若OA⊥OB(O为原点)，求△AOB的面积的取值范围．
[解] (1) ∵椭圆C：＋＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F(－1,0)，
左准线为x＝－2，
∴由题设知c＝1，＝2，a2＝2c，
∴a2＝2，b2＝a2－c2＝1，
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)①由题设知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则P(0，k)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l代入椭圆得x2＋2k2(x＋1)2＝2，
整理，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
由＝λ，＝μ，知λ＝，μ＝，
∴λ＋μ＝－
＝－
＝－＝－4(定值)．
∴λ＋μ为常数－4.
②当直线OA，OB分别与坐标轴重合时，△AOB的面积S△AOB＝，当直线OA，OB的斜率均存在且不为零时，设OA：y＝kx，OB：y＝－x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝kx代入椭圆C，得到x2＋2k2x2＝2，
∴x＝，y＝，
同理，x＝，y＝，
△AOB的面积S△AOB＝＝，
令t＝k2＋1∈[1，＋∞)，则S△AOB＝＝，
令μ＝∈(0,1]，则S△AOB＝＝∈.
综上所述，△AOB的面积的取值范围是.
圆锥曲线中的存在性问题
【例8】 (淮安市2014－2015 年度第二 期高二调查测试)已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，点F1(－1,0)、C(－2,0)分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点F1的直线l(不与x轴重合)交M于A，B两点．
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若A(0，)，求△AOB的面积；
(3)是否存在直线l，使得点B在以线段F1C为直径的圆上，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[解] (1)由F1(－1,0)、C(－2,0)得：a＝2，b＝，
所以椭圆M的标准方程为＋＝1；
(2)因为A(0，)，F1(－1,0)，所以过A，F1的直线l的方程为：＋＝1，
即x－y＋＝0，
解方程组得y1＝，y2＝－，
S△ABC＝×1×|y1－y2|＝；
(3)设B(x0，y0)(－2＜x0＜2)，则＋＝1.因为C(－2,0)，F1(－1,0)，
所以·＝(－1－x0，－y0)·(－2－x0，－y0)＝2＋3x0＋x＋y
＝x＋3x0＋5＝0，
解得：x0＝－2或－10，
又因为－2＜x0＜2，所以点B不在以F1C为直径的圆上，
即不存在直线l，使得点B在以F1C为直径的圆上．
[规律方法] (1)求解存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的几何元素或参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的几何元素或参数值，就说明满足条件的几何元素或参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的几何元素或参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程．
(2)解决存在性问题应注意以下几点：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．
(3)解决存在性问题的解题步骤：第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论．
[举一反三]
(江苏省南通市如东高中2017届高三上 期第二次调研)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,1)，P是动点，且△POA的三边所在直线的斜率满足kOP＋kOA＝kPA.
图10－8
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且＝λ，直线OP与QA交于点M.
问：是否存在点P，使得△PQA和△PAM的面积满足SPQA＝2S△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
【导 号：56394073】
[解] (1)设点P(x，y)．∵kOP＋kOA＝kPA，∴＋(－1)＝，化为y＝x2(x≠0且x≠－1)．
即为点P的轨迹方程．
(2)假设存在点P(x1，x)，Q(x2，x)，使得△PQA和△PAM的面积满足S△PQA＝2S△PAM，
①如图所示，点M为线段AQ的中点．
∵＝λ，∴PQ∥OA，得kPQ＝kAO＝－1.
∴
解得
此时P(－1,1)，Q(0,0)分别与A，O重合，因此不符合题意．
故假设不成立，此时不存在满足条件的点P.
②如图所示，当点M在QA的延长线时，由S△PQA＝2S△PAM，可得＝2，
∵＝λ，∴＝2，PQ∥OA.
由PQ∥OA，可得kPQ＝kAO＝－1.
设M(m，n)．
由＝2，＝2，
可得：－1－x2＝2(m＋1)，－x1＝2m，
化为x1－x2＝3.
联立
解得
此时，P(1,1)满足条件．
综上可知：P(1,1)满足条件.
圆锥曲线中的定值问题
【例9】 (2017·江苏省无锡市高考数 一模)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.
图10－9
(1)求该椭圆的方程；
(2)过点D(，－)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．
[解] (1)由题意可知：椭圆＋＝1(a＞b＞0)，焦点在x轴上，2c＝1，c＝1，
椭圆的离心率e＝＝，则a＝，b2＝a2－c2＝1，
则椭圆的标准方程为＋y2＝1；
(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(，0)，
由题意PQ的方程：y＝k(x－)－，
则整理得：(2k2＋1)x2－(4k2＋4k)x＋4k2＋8k＋2＝0，
由根与系数的关系可知：x1＋x2＝，x1x2＝，
则y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k－2
＝，
则kAP＋kAQ＝＋
＝，
由y1x2＋y2x1＝[k(x1－)－]x2＋[k(x2－)－]x1＝2kx1x2－(k＋)(x1＋x2)＝－，
kAP＋kAQ＝
＝＝1，
∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1.
[规律方法] (1)解析几何中的定值问题是指某些几何量线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．
(2)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②
直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
(3)定点、定值问题必然是在变化中所表现出 的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
[举一反三]
(江苏省南京市2017届高考三模)如图10－10，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点分别为点A，B，M是线段AB的中点，且·＝－b2.
图10－10
(1)求椭圆的离心率；
(2)若a＝2，四边形ABCD内接于椭圆，AB∥CD，记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．
[解] (1)A(a,0)，B(0，b)，线段AB的中点M.
＝(－a，b)，＝.
∵·＝－b2.
∴－＋b2＝－b2，化为：a＝2b.
∴椭圆的离心率e＝＝＝.
(2)证明：由a＝2，可得b＝1，
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1，A(2,0)，B(0,1)．
设直线BC的方程为y＝k2x＋1，联立化为：(1＋4k)x2＋8k2x＝0，
解得xC＝，∴yC＝.即C.
直线AD的方程为y＝k1(x－2)，联立化为(1＋4k)x2－16kx＋16k－4＝0，
∴2xD＝，解得xD＝，yD＝，可得D，
∴kCD＝＝－，化为：1－16kk＋2k1－2k2＋8k1k－8k2k＝0.
∴(4k1k2＋4k1－4k2＋1)＝0，
∴k1k2＝.
圆锥曲线中的最值问题
【例10】 如图10－11，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1
(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A1(－，0)，A2(，0)，若直线3x＋4y＋5＝0上有且仅有一个点M，使得∠F1MF2＝90°.
图10－11
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设圆T的圆心T(0，t)在x轴上方，且圆T经过椭圆C两焦点．点P，Q分别为椭圆C和圆T上的一动点．若·＝0时，PQ取得最大值为，求实数t的值．
【导 号：56394074】
[解] (1)因为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)左，右顶点分别为A1(－，0)，A2(，0)，所以a2＝2.
又因为直线3x＋4y＋5＝0上恰存在一个点M，使得∠F1MF2＝90°，
即以原点O为圆心，半径为r＝OF1＝c作圆O，使得圆O与直线3x＋4y＋5＝0相切即可(图略)．
又圆心O到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝＝1，
所以c＝1，b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1；
(2)设P(x0，y0)，因为点P在椭圆上，所以有＋y＝1，因为圆T的圆心T(0，t)在x轴上方，且圆T经过椭圆C两焦点，所以圆T的方程为x2＋(y－t)2＝t2＋1(t＞0)，由·＝0得PQ2＝PT2－QT2＝x＋(y0－t)2－(t2＋1)，又＋y＝1，所以PQ2＝－(y0＋t)2＋t2＋1，
①当－t≤－1即t≥1时，当y0＝－1时，PQ取得最大值，因为PQ的最大值为，所以＝，解得t＝，又t≥1，故舍去．
②当－t＞－1即0＜t＜1时，当y0＝－t时，PQ取最大值，
所以＝，解得t2＝，又0＜t＜1，所以t＝.
综上，当t＝时，PQ的最大值为.
[规律方法] (1)圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
(2)常见的几何方法有：①直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为该点P到直线的垂线段的长度；②圆C外一定点P到圆上各点距离的最大值为|PC|＋R，最小值为|PC|－R(R为圆C半径)；③过圆C内一定点P的圆的最长的弦即为经过P点的直径，最短的弦为过P点且与经过P点直径垂直的弦；④圆锥曲线上本身存在最值问题，如a.椭圆上两点间最大距离为
2a(长轴长)；b.双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长)；c.椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；d.抛物线中顶点与抛物线的准线距离最近．
(3)常用的代数方法有：a.利用二次函数求最值；b.通过三角换元，利用正、余弦函数的有界性求最值；c.利用基本不等式求最值；d.利用导数法求最值；e.利用函数单调性求最值．
[举一反三]
已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，点P是直线l：x－2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B.
(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)求线段AB长度的最小值．
[解] (1)由题可知，圆M的半径r＝2，设P(2b，b)，
因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°，
所以MP＝＝＝4，解得b＝0或b＝，
所以P(0,0)或P.
(2)设P(2b，b)，因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，
其方程为：(x－b)2＋2＝，
即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0，
由
解得或
所以圆过定点(0,4)，.
(3)因为圆N方程为(x－b)2＋2＝，
即x2＋y2－2bx－(b＋4)y＋4b＝0.
圆M：x2＋(y－4)2＝4，即x2＋y2－8y＋12＝0.
②－①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为
2bx＋(b－4)y＋12－4b＝0，
点M到直线AB的距离d＝.
相交弦长即：AB＝2＝4＝4，b＝时，AB有最小值.
[第3步▕ 高考易错明辨析]
1．忽视直线斜率不存在的情况
已知圆C的方程为x2＋y2＝4，直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点．若|AB|＝2，求直线l的方程．
[错解] 方程可设为y－2＝k(x－1)，又设圆心到直线l的距离为d.
由d2＝r2－2，得k＝，
代入y－2＝k(x－1)，得y－2＝(x－1)，
即3x－4y＋5＝0.所以直线l的方程为3x－4y＋5＝0.
[错解分析] 在利用直线的点斜式与斜截式解题时，要防止由于“无斜率”而漏解，本题就是忽略斜率不存在导致圆的切线方程只有一条．
[正解] (1)当直线l的斜率不存在时，画出图象可知，直线x＝1也符合题意．
(2)当直线l的斜率k存在时，其方程可设为y－2＝k(x－1)，又设圆心到直线l的距离为d.
由d2＝r2－2，得k＝，代入y－2＝k(x－1)，得y－2＝(x－1)，
即3x－4y＋5＝0.所以直线l的方程为3x－4y＋5＝0和x＝1.
2．忽略对直线与圆锥曲线位置关系的判断的情况
已知双曲线x2－＝1，问过点A(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l
的方程，若不存在，说明理由．
[错解] 设符合题意的直线l存在，并设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，
则
①－②得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，③
因为A(1,1)为线段PQ的中点，所以
将④⑤代入③得x1－x2＝(y1－y2)，若x1≠x2，则直线l的斜率k＝＝2，
所以符合题设条件的直线l存在，其方程为2x－y－1＝0.
[错解分析] 由于点A(1,1)在双曲线外，过点A(1,1)的直线，不一定都与双曲线相交，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的．
[正解] 设符合题意的直线l存在，并设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则
①－②得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，③
因为A(1,1)为线段PQ的中点，所以
将④⑤代入③得x1－x2＝(y1－y2)，
若x1≠x2，则直线l的斜率k＝＝2，
再由得2x2－4x＋3＝0，
根据Δ＝－8＜0，说明所求直线不存在．
3．忽略对定义的理解的情况
已知圆O1：x2＋y2＝1，圆O2：x2＋y2－10x＋9＝0都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程．
[错解] 圆O2：x2＋y2－10x＋9＝0，即为(x－5)2＋y2＝16，
所以圆O2的圆心为O2(5,0)，半径r2＝4，而圆O1：x2＋y2＝1的圆心为O1(0,0)，半径r1＝1，
设所求动圆圆心M的坐标为(x，y)，半径为r，则r＝|O1M|＋1且r＝|O2M
|＋4，所以|O1M|－|O2M|＝3，
即－＝3，化简得16x2－80x－9y2＋64＝0，
即－＝1为所求动圆圆心的轨迹方程．
[错解分析] 上述解法将|O1M|－|O2M|＝3看成||O1M|－|O2M||＝3，误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致．
[正解] 圆O2：x2＋y2－10x＋9＝0，即为(x－5)2＋y2＝16，
所以圆O2的圆心为O2(5,0)，半径r2＝4，而圆O1：x2＋y2＝1的圆心为O1(0,0)，半径r1＝1，
设所求动圆圆心M的坐标为(x，y)，半径为r，则r＝|O1M|＋1且r＝|O2M|＋4，所以|O1M|－|O2M|＝3，即－＝3，化简得16x2－80x－9y2＋64＝0，又因为|O1M|－|O2M|＝3，表示动点M到定点O1及O2的距离差为常数3.
且|O1O2|＝5＞3，点M的轨迹为双曲线右支，方程为－＝1(x≥4)．
4．忽略直线与双曲线的渐进线平行只有一个交点
过点(0,3)作直线l，如果它与双曲线－＝1只有一个公共点，则直线l的条数是________．
[错解] 2
[错解分析] 在探讨直线与双曲线的位置关系时，可以考虑直线方程与双曲线方程的解的情况，但容易忽视直线与渐进线平行的特殊情况，这时构成的方程是一次的．
直线与双曲线的位置关系分为：相交、相离、相切三种．其判定方法有两种：一是将直线方程与双曲线的方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.
若a≠0，Δ＞0，直线与双曲线相交，有两个交点；若a
＝0，直线与渐进线平行，有一个交点．
若a≠0，Δ＝0，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点．
若a≠0，Δ＜0，直线与双曲线相离，没有公共点．
二是可以利用数形结合的思想．
[正解] 用数形结合的方法：过点(0,3)与双曲线只有一个公共点的直线分两类．一类是平行于渐进线的，有两条；一类是与双曲线相切的有两条．如图所示：
故填4.
———————专家预测·巩固提升———————
(对应 生用书第53页)
1．(改编题)已知抛物线y2＝4x与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F，点A，B是两曲线的交点，若(＋)·＝0，则双曲线的离心率为________．
＋1 [因为抛物线y2＝4x与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F，点A，B是两曲线的交点，且(＋)·＝0，由二次曲线对称性可得，AF⊥x轴，所以F(1,0)，AF＝2，A(1,2)，则
解得a＝－1，所以e＝＝＝＋1.]
2．(改编题)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为6，则该抛物线的准线方程为________．
x＝－2 [因为直线倾斜角为135°，故它的斜率为－1，又∵焦点为，
∴设直线为y＝－，
∵直线交抛物线于A，B两点，∴∴消参得4x2－12px＋p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝3p，
∵线段AB的中点的横坐标为6，
∴＝6，∴p＝4，
∴抛物线的准线方程为x＝－2.]
3．(改编题)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点是(1,0)，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图10－12，动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l.求四边形F1MNF2面积S的最大值．
【导 号：56394075】
图10－12
[解] (1)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点是(1,0)，所以半焦距c＝1，又因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，所以＝，解得a＝2，b＝，所以椭圆C的标准方程为＋＝1； 4分
(2)将直线l的方程y＝kx＋m代入椭圆C的方程3x2＋4y2＝12中，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，
Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得：m2＝4k2＋3. 6分
设d1＝|F1M|＝，d2＝|F2N|＝，
法一：当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1－d2|＝|MN|×|tan θ|，
∴|MN|＝，S＝(d1＋d2)＝＝＝＝，
8分
∵m2＝4k2＋3，∴当k≠0时，|m|＞，|m|＋＞＋＝，S＜2.
当k＝0时，四边形F1MNF2是矩形，S＝2.
所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2. 12分
法二：∵d＋d＝2＋2＝＝，
d1d2＝·＝＝＝3.
∴|MN|＝
＝＝. 8分
四边形F1MNF2的面积
S＝|MN|(d1＋d2)＝(d1＋d2)，
S2＝(d＋d＋2d1d2)＝＝16－42≤12.
当且仅当k＝0时，S2＝12，S＝2，故Smax＝2.
所以四边形F1MNF2的面积S的最大值为2. 12分
4．(改编题)设定圆M：(x＋)2＋y2＝16，动圆N过点F(，0)且与圆M相切，记动圆N圆心N的轨迹为N.过曲线N上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且|QP|＝|PC|.
(1)求动圆N圆心N的轨迹N与动点C的轨迹E的方程；
(2)设椭圆的左右顶点分别为A，B，直线AC(C点不同于A，B)与直线x＝2交于点R，D为线段RB的中点．试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论．
[解] (1)∵点F(，0)在圆M：(x＋)2＋y2＝16内，∴圆N内切于圆M，
∴|NM|＋|NF|＝4＞|FM|，
∴点N的轨迹N的方程为＋y2＝1.
设C(x，y)，P(x0，y0)，由题意得
即又＋y＝1，
代入得＋2＝1，
即x2＋y2＝4.
即动点C的轨迹E的方程为x2＋y2＝4.6分
(2)设C(m，n)，点R的坐标为(2，t)，
∵A，C，R三点共线，∴∥，而＝(m＋2，n)，＝(4，t)，则4n＝t(m＋2)，∴t＝，8分
∴点R的坐标为，点D的坐标为，
∴直线CD的斜率为k＝＝＝，而m2＋n2＝4，
∴m2－4＝－n2，∴k＝＝－，10分
∴直线CD的方程为y－n＝－(x－m)，化简得mx＋ny－4＝0，
∴圆心O到直线CD的距离d＝＝＝2＝r，所以直线CD与圆O相切.
12分
