数学卷·2019届辽宁省沈阳铁路实验中学高二上学期期中考试（2017-11）

数学卷·2019届辽宁省沈阳铁路实验中学高二上学期期中考试（2017-11）

沈阳铁路实验中学2017——2018学年度上学期期中考试试题 高二数学 分数：150分；考试时间：120分钟；命题人：裴晓航 ; 校对人：殷裕民 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．如果且，那么以下不等式正确的个数是 ( )‎ ‎①；②；③；④‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎2．在中，已知角 ， ， ．则的面积为（ ）‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎3．的内角的对边分别为．若成等比数列，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．已知是椭圆的两个焦点，焦距为4.过点的直线与椭圆相交于两点，的周长为32，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．曲线与曲线的（ ）‎ A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 ‎6．下列关于正弦定理的叙述中错误的是（　　）【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A. 在△ABC中，a：b：c=sinA：sinB：sinC ‎ B. 在△ABC中，若sin2A=sin2B，则A=B C. 在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B；若A＞B，则sinA＞sinB ‎ D. 在△ABC中， =‎ ‎7．下列命题错误的是（ ）‎ A. 对于命题＜0，则 均有 B. 命题“若，则”的逆否命题为“若， 则”‎ C. 若为假命题，则均为假命题 D. “x＞2”是“＞0”的充分不必要条件.‎ ‎8．下列各函数中，最小值为2的是（ ）‎ A. B. ， ‎ C. D. ， ‎ ‎9．等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别为Sn与Ｔn，对一切自然数n，都有，则等于( ) A. B. C. D. ‎ ‎10．设为数列的前项和， ， ，则数列的前20项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．在等腰梯形中， ，且，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎12．过双曲线的左焦点作直线与双曲线交于，两点，使得，若这样的直线有且仅有两条，则离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题）‎ 注意事项：‎ 1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．‎ 2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．‎ 3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a1=﹣3，S5=S10，则当Sn取到最小值时n的值为________‎ ‎14.若满足约束条件错误！未找到引用源。则错误！未找到引用源。的最大值为 .‎ ‎15. 若直线始终平分圆的圆周，‎ 则的最小值为 ．‎ ‎16. 不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是______．‎ 三．解答题：本大题共６小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 给定两个命题, ：对任意实数都有恒成立；：.如果∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎18．（本题12分）已知椭圆经过点，左焦点为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若是椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，求的面积.‎ ‎19．（本小题满分12分）在中，分别是的对边，且.‎ ‎（Ⅰ）若，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求面积的最大值．‎ ‎20、(本小题共12分)‎ 已知数列中, , , ‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）记，求数列的前项和.‎ ‎21、(本小题共12分)‎ 解关于 的不等式：‎ ‎22.（本题12分）已知椭圆C：的离心率为，且经过点．‎ ‎(1) 求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2) 设斜率为1的直线l与椭圆C相交于，两点，连接MA，MB 并延长交直线于P，Q两点，设，分别为点P，Q的纵坐标，且 ‎ ‎．求△ABM的面积 参考答案 ‎1．C ‎【解析】由题意可得： ，‎ 据此有： ，①正确；‎ ‎，②正确；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎，③错误；‎ ‎,④正确；‎ 综上可得不等式正确的个数是3个。‎ 本题选择C选项.‎ ‎2．A ‎【解析】因为三角形是等腰三角形，所以，所以，由三角形面积公式， ，选A.‎ ‎3．C ‎【解析】因为成等比数列，所以有，且，由余弦定理推论得，故正确答案是C.‎ ‎4．A ‎【解析】焦距为4即错误！未找到引用源。 ；错误！未找到引用源。的周长为32，即 错误！未找到引用源。 ‎ 所以椭圆错误！未找到引用源。的离心率错误！未找到引用源。为错误！未找到引用源。 ‎ 故选A ‎5．C ‎【解析】曲线可得： ，曲线可得： 由此可得只有其离心率时相等的 ‎6．B ‎【解析】对于A，在中，由正弦定理可得， ， ，所以，故正确；对于，若，则或，可得或，故错误；对于，若，根据正弦定理， ，得，再根据大边对大角可得，故正确；对于，由，再根据比例式的性质可得，故 正确.‎ ‎7．C ‎【解析】特称命题的否定是换量词否结论，不变条件的；故A选项为正确的。‎ 逆否命题是条件和结论互换，并且既否条件又否结论。故B选项正确。‎ C．若为假命题，则两者有一个为假即可。‎ D． ＞0 或 ，根据小范围推大范围，x＞2”是“＞0”的充分不必要条件，是正确的。‎ 故答案为C。‎ ‎8．D【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎【解析】对于A：不能保证 对于B：不能保证 ， 对于C：不能保证 对于D： 当且仅当即时等号成立 故选D ‎9．B ‎【解析】 ,选B.‎ 点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.‎ ‎10．D ‎【解析】， 相减得 由得出 ‎ ‎ ， = ‎ ‎ = ‎ 故选D 点睛：已知数列的与的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注意n的范围，有的时候要检验n=1的时候，本题就是检验n=1,不符合，通项是分段的.‎ ‎11．B ‎12．D ‎【解析】双曲线的实轴长为错误！未找到引用源。，要使这样的直线有两条，第一种情况是：当直线与左右两支相交于两点时，只需错误！未找到引用源。，此时直线若和左支相交，必有两条直线符合，即错误！未找到引用源。.当错误！未找到引用源。时，直线与两支都相交时，存在两条直线符合题意，此时需要当直线仅与左支相交时，最短的弦长大于错误！未找到引用源。，即，错误！未找到引用源。.综上，选错误！未找到引用源。.‎ ‎13．7或8‎ ‎14. 2；‎ ‎15. ‎ ‎16．(－1,3)‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 解：命题：恒成立 当时，不等式恒成立，满足题意 -------------------------2分 当时，，解得 -------------------------4分 ‎∴ -------------------------6分 命题：解得 -------------------------8分 ‎∵∨为真命题，∧为假命题 ‎∴，有且只有一个为真， -------------------------10分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎-10‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ 如图可得或 -------------------------12分 ‎18．(Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆的定义求出的值，由求出，代入，得到椭圆的方程；（Ⅱ）由点斜式求出直线的方程，设 ，联立直线与椭圆方程，求出的值，再算出的面积。‎ 试题解析（Ⅰ）由椭圆的定义得： ‎ 又，故，‎ ‎∴椭圆的方程为： .‎ ‎（Ⅱ）过的直线方程为， ，‎ 联立 ，‎ 设，则，‎ ‎∴的面积.‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎19.解：（1）将两边平方，得， ……………1分 即：．解得：， ……………3分 ‎，∴ …………4分 可以变形得＝．即，∴．…… 6分 ‎（2），∴，(当且仅当时取等号)‎ 即 …………8分 故．∴△ABC面积的最大值为 …………12分 ‎20、解：（1）因为：，则 ‎ ………2分 ‎， ………3分 又 ‎ 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列。 ………5分 ‎（2）由（1）可知 所以 ………7分 ‎（3）由（2）可知: ………8分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ………10分 ‎ ………12分 ‎21、解：原不等式可等价转化为： …………1分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（1）原不等式化为 …………3分 ‎（2）原不等式化为，解得：…………5分 ‎（3），原不等式化为 …………6分 ‎，解得： …………7分 ‎，解得： …………8分 ‎，解得：； …………9分 综上可知：不等式的解集如下：‎ ‎，解集为； ‎ ‎，解集为： ； ‎ ‎ ，解集为 ‎ ‎，解集为：‎ ‎ ，解集为 …………12分 ‎ ‎22. 解：（1）依题意，，所以． ‎ 因为， 所以． ‎ 椭圆方程为． ……………………3´‎ ‎（2）因为直线l的斜率为1，可设l：， ‎ 则，消y得 ， ‎ ‎，得． ‎ 因为，，‎ 所以 ，． ……………………6´‎ 设直线MA：，则；同理．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 因为 ，‎ 所以 ， 即． ‎ 所以 ，‎ 所以 ，‎ ‎， ‎ ‎，‎ 所以 ， 所以 ． ……………………10´‎ 所以 ，． ‎ 设△ABM的面积为S，直线l与x轴交点记为N，‎ 所以．‎ 所以 △ABM的面积为． ……… …………12´‎