甘肃省天水市第一中学2018-2019学年高二下学期第二学段考试数学（理）试题

甘肃省天水市第一中学2018-2019学年高二下学期第二学段考试数学（理）试题

天水一中高二级2018-2019学年度第二学期学段考试试题 数学（理）‎ 一、单选题（每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）‎ ‎1.复数的虚部为　　‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的商的运算进行化简，然后由虚部的概念可得答案.‎ ‎【详解】,‎ 则复数z的虚部为-3，‎ 故选B ‎【点睛】本题考查复数的商的运算及有关概念，需要注意a+bi的虚部为b，不要误写为bi.‎ ‎2.已知集合则为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，先分别求得集合A、B，再求其交集即可.‎ ‎【详解】由题，因集合 集合 所以为 故选C ‎【点睛】本题考查的集合的交集，属于基础题.‎ ‎3.已知，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据间的关系求解可得答案．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴,‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】解答本题时注意灵活运用间的关系，即知道其中的一个可求另外的两个，解题中容易出现的错误是忽视所求值的符号．‎ ‎4.等差数列的前n项和为，若，，则=（ ）.‎ A. 12 B. ‎15 ‎C. 18 D. 21‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求出的值，再利用等差数列的通项求得解.‎ ‎【详解】由题得.‎ 所以.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算，考查等差数列的通项和前n项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5.“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两直线垂直时它们的一般方程的系数间的关系可求的值.‎ ‎【详解】若直线与直线互相垂直，‎ 则，解得.‎ 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，选C.‎ ‎【点睛】如果直线，，‎ ‎（1）若，则；‎ ‎（2）若，则且或；‎ ‎（2）若重合，则，，.‎ ‎6.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积和表面积分别为（　　）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图知该几何体是圆柱在中间挖去一个同底等高的圆锥，结合图中数据，即可求出它的体积和表面积．‎ ‎【详解】解：根据三视图知，该几何体是圆柱，在中间挖去一个同底等高的圆锥，如图所示；‎ 结合图中数据，计算该几何体的体积为：‎ V=π•12•1-π•12•1=π；‎ 表面积为：‎ S=π•12+2π•1•1+π•1•=（3+）π．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了几何体三视图的应用问题，几何体的体积以及表面积的计算，是基础题 ‎7.函数零点个数为（ ）‎ A. 3 B. ‎2 ‎C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，转化为两个函数图像的交点个数来求零点个数.‎ ‎【详解】令得，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有两个交点，也即有两个零点，故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数零点个数的分析方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎8.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件利用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简函数的解析式，再利用y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．‎ ‎【详解】函数＝sin（2x）＝sin2（x），‎ 故把函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查二倍角公式和两角和的正弦公式，y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，熟记变换原则是关键，属于基础题．‎ ‎9.某产品在某零售摊位上的零售价x(元)与每天的销售量y(个)统计如下表：‎ x ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ y ‎50‎ ‎34‎ ‎41‎ ‎31‎ 据上表可得回归直线方程中的=－4，据此模型预计零售价定为16元时，销售量为(　　)‎ A. 48 B. ‎45 ‎C. 50 D. 51‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算平均数，利用=-4，可求的值，即可求得回归直线方程，从而可预报单价为16元时 的销量.‎ ‎【详解】由题得，‎ ‎∵=-4，‎ 回归直线方程为 时，件.‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查回归直线方程的性质，考查利用回归方程进行预测，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎10.设，若直线与线段相交，则的取值范围是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线经过定点，又由直线与线段相交，可得或，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，直线，即，所以直线经过定点，‎ 又由斜率公式，可得，．‎ ‎∵直线与线段相交，‎ ‎∴或，则的取值范围是．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查了斜率计算公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎11.在中，若，，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用同角三角函数基本关系式可求，由正弦定理可得，结合范围，可求，利用三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式即可计算得解的值．‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴可得：，‎ ‎∵，‎ ‎∴由正弦定理可得：，可得：，可得：，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎12.若直线与曲线没有公共点，则实数的最大值为（ ）‎ A. -1 B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线与曲线没有公共点，则无解，可化为，设，求导，研究此函数的单调性即可解决 ‎【详解】若直线与曲线没有公共点，则无解，‎ 时，上述方程不成立，，‎ 则可化为，‎ 设，‎ 满足：在上，在上，在上，‎ 满足：在上递增，在上递减，在上递减，‎ ‎，而当时，，‎ 的图象：‎ ‎，，‎ 无解时，，，.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查导数的应用，考查函数的最值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.设向量的模分别为1,2，它们的夹角为，则向量与的夹角为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求解出和，利用向量夹角的计算公式求解得到夹角余弦值，从而得到所求夹角.‎ ‎【详解】‎ 又 向量与夹角为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过向量数量积运算求得公式各个构成部分的值，代入公式求得结果.‎ ‎14.的展开式中，的系数是_______．‎ ‎【答案】28‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以通过二项式定理来得出二项式的展开式的通项以及它的第三项和第四项，然后对进行观察即可得出的展开式中包含的项，最后得出包含的项的系数．‎ ‎【详解】二项式的展开式的通项为，‎ 故第三项为，第四项为，‎ 故的展开式中包含的项有以及，‎ 所以的系数是．‎ ‎【点睛】本题考查二项式的相关性质，主要考查二项式定理的应用，考查二项式的通项，考查项的系数的求法，着重考验了学生的运算与求解能力，是简单题．‎ ‎15.直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系，‎ 由，，，‎ 则 ‎，．‎ 由异面直线所成角的范围知，异面直线与所成角的余弦值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查向量法求解异面直线所成角，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力．‎ ‎16.给出下列五个命题：‎ ‎①直线平行于平面内的一条直线，则；‎ ‎②若是锐角三角形，则；‎ ‎③已知是等差数列的前项和，若，则；‎ ‎④当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为.‎ 其中正确命题的序号为___________．‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由命题的真假定义判断命题的真假，对每项判断即可．‎ ‎【详解】对①，直线平行于平面内的一条直线，则 ‎；由线面平行的判定，缺少条件：直线在平面外，故①错误．‎ 对②，若是锐角三角形，则；因为：是锐角三角形，，，‎ 由余弦函数在上单调递减可知：；故②正确．‎ 对③，已知是等差数列的前项和，若，则设等差数列的首项和公差，‎ 由等差数列求和公式得：，则有；故③正确．‎ 对④，当时，不等式恒成立，设，‎ 当时，不等式恒成立时，有：且，解得：，则实数的取值范围为，．故④错误．‎ 故答案为：②③‎ ‎【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查线面位置关系、数列、解三角形和不等式，难度不大，属于中档题．‎ 三、解答题（本题共5小题，共60分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知在中. 所对的边分别为,若，的面积为.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若,求值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由三角形的面积为得到，由余弦定理以及得到，进而可求出，得到角；‎ ‎(2)由(1)的结果，先求出，根据，即可求出，再由正弦定理可得 ‎，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）由的面积为可得 ，‎ 由及余弦定理可得，‎ 故;‎ ‎(2)∵‎ 又，可得 由正弦定理，,得 ‎【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型.‎ ‎18.某省确定从2021年开始，高考采用“‎3十l+‎2”‎的模式，取消文理分科，即“‎3”‎包括语文、数学、外语，为必考科目，“‎1”‎表示从物理、历史中任选一门；“‎2”‎则是从，生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目．某高中从高一年级2000名学生（其中女生900人）中，采用分层抽样的方法抽取n名学进行讲行调查．‎ ‎（1）已知抽取的n名学生中含男生110人，求n的值及抽取到的女生人数；‎ ‎（2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的以名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目）．下表是根据调查结果得到的2×2列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；‎ 性别 选择物理 选择历史 总计 男生 ‎50‎ 女生 ‎30‎ 总计 ‎（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理’’的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率，‎ 附： ，其中n＝a+b+c+d．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题可根据分层抽样的相关性质列出等式，即可计算出抽取的总人数，再用抽取的总人数减去男生人数即可得出女生人数；‎ ‎(2)首先可以根据题意以及(1)中结果将列联表补充完整，然后通过列联表中的数据计算出，即可得出结果；‎ ‎(3)本题首先可以通过分层抽样的相关性质计算出男生人数以及女生人数，然后写出所有的可能事件以及满足题意“至少有1名女生”的事件，最后通过概率的相关计算公式即可得出结果．‎ ‎【详解】（1）因为，所以，女生人数为.‎ ‎（2）列联表为：‎ 的观测值，‎ 所以有99.5%的把握认为选择科目与性别有关. ‎ ‎（3）从90个选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽6名，‎ 这6名学生中有4名男生，记为、、、；2名女生记为、，‎ 抽取2人所有的情况为、、、、、、、、、、、、、、，共15种，‎ 选取的2人中至少有1名女生情况的有、、、、、、、、，共9种， ‎ 故所求概率为．‎ ‎【点睛】本题考查分层抽样、列联表以及古典概型的相关性质，考查如何用分层抽样的相关性质计算出抽取的人数，考查如何用列联表计算概率，考查古典概型类题目的概率计算公式，考查了计算能力，体现了综合性，是中档题．‎ ‎19.三棱锥中，底面是等腰直角三角形，，且为中点，如图.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明平面，即可证明平面平面（2）证明为二面角的平面角，得进而得为等边三角形，以为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量的线面角公式求解即可 ‎【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，为中点，‎ 平面 平面平面平面 ‎（2）‎ 平面 为二面角的平面角，‎ 为等边三角形，‎ 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则 ‎ ‎ ‎ 设平面的法向量，则即 取 设与平面所成角为，则 故平面所成角的正弦值为. ‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直证明，线面垂直的判定及二面角的定义，考查空间向量的线面角求法，考查空间想象及计算求解能力，是中档题 ‎20.已知椭圆过点，且其中一个焦点的坐标为，‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据焦点为可得，且另一个焦点为，利用椭圆定义，即可求出的值，结合的关系，即可求出，代入方程即可求解．‎ ‎（2）设点，，，联立椭圆和直线的方程，结合韦达定理可得，，代入即可求解．‎ ‎【详解】（1）和是椭圆的两个焦点，且点在椭圆上，‎ 依题意，，又 ‎ ‎ 故.‎ 由得.‎ 故所求椭圆的方程为.‎ ‎（2）假设存在点，使得为定值，‎ 联立，得 设，，则 ‎，，‎ ‎，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 要使上式为定值，即与无关，应有 解得，此时 所以，存在点使得为定值.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，重点掌握韦达定理的应用，需要较强的计算能力，属中档题．‎ ‎21.已知函数，，.‎ ‎（1）求单调区间；‎ ‎（2）若在上恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先求得函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调性即可；‎ ‎(2)构造函数，原问题等价于恒成立，结合(1)的结论分类讨论即可确定的取值范围.‎ ‎【详解】（1），‎ 由得，‎ 由得，‎ 分别在区间上单调递增.在区间上单调递减.‎ ‎（2）令 ，，‎ 则 ，‎ 由（1）知在上单调递增，.‎ ‎①当，即时，.‎ 在上单调递减，，‎ 令，得，‎ ‎②，即时，存在.使，‎ 当时，，当时，，‎ 在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎ ，‎ ‎，，‎ 不能恒成立.‎ 综上：.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的最值，导数研究恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.‎ ‎22.直角坐标系中，曲线参数方程为；以为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；‎ ‎（2）已知直线与曲线和曲线分别交于和两点（均异于点），求线段的长．‎ ‎【答案】（1）的普通方程为，的极坐标方程为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）消去参数可得普通方程，再利用公式化成极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设，的极坐标并分别代入，可得，，再利用可得．‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为曲线的参数方程为（为参数），‎ 所以的普通方程为①，‎ 在极坐标系中，将代入①得，‎ 化简得，的极坐标方程为：②．‎ ‎（Ⅱ）因为直线的极坐标方程为（），‎ 且直线与曲线和和曲线分别交于，，可设，，‎ 将代入②得，‎ 将代入曲线得．‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，熟记参数方程与普通方程的互化方法、以及极坐标与直角坐标的互化公式即可，属于常考题型．‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）设，若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（I）或；（II）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用零点分段讨论可得不等式的解.‎ ‎（II）由题设可得，求出两个函数的值域后可得实数的取值范围.‎ ‎【详解】（I）不等式等价于，‎ ‎①当时，原不等式即为，解得，所以；‎ ‎②当时，原不等式即为，解得，所以；‎ ‎③当时，原不等式即为，解得，所以；‎ 所以不等式的解集为或.‎ ‎（II）对任意，都有，使得成立，则 ‎.‎ 因为，‎ 当且仅当时取等号，又，‎ 所以从而或，所以实数的取值范围.‎ ‎【点睛】解绝对值不等式的基本方法是零点分段讨论，必要时可结合函数的图像或数轴来讨论.等式的有解或恒成立问题，注意转化为函数值域的包含关系来处理.‎