2018-2019学年河南省信阳高级中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年河南省信阳高级中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年河南省信阳高级中学高二上学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由交集的定义求出，再进行补集的运算即可.‎ ‎【详解】‎ 因为集合，，‎ 所以，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足不属于集合且不属于集合的元素的集合.‎ ‎2．设，，则是成立的 A． 必要不充分条件 B． 充分不必要条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 直接解不等式可得或，根据充分条件，必要条件的定义可以判断。‎ ‎【详解】‎ 由得，，解得或，‎ 所以是成立的必要不充分条件.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 若p，则q是真命题，则称p是q的充分条件，同时q是p的必要条件，若q，则p 是真命题，则称q是p的充分条件，同时p是q的必要条件，若以上两点同时成立，则称p是q的充要条件。这是解决此类问题的主要依据。‎ ‎3．已知向量等于 A． 3 B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 先由可求得，再根据两角差的正切公式求解可得所求．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两向量平行的等价条件及两角差的正切公式，解题的关键是根据题意求得的值，另外，运用公式时出现符号的错误也是常出现的问题．‎ ‎4．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数m,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数n,则向量=(m,n)与向量=(1,-1)垂直的概率为(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据分步计数乘法原理求得所有的)共有12个，满足两个向量垂直的共有2个，利用古典概型公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数,有4种方法；‎ 从集合{1,3,5}中随机抽取一个数，有3种方法，‎ 所以，所有的共有个，‎ 由向量与向量垂直,可得，即,‎ 故满足向量与向量垂直的共有2个：，‎ 所以向量与向量垂直的概率为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分步计数乘法原理的应用、向量垂直的性质以及古典概型概率公式的应用，属于中档题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由三视图可知，该几何体的直观图是三棱锥与圆柱的的组合体，由三视图中数据分别求出三棱锥与圆柱的体积,即可求出几何体的体积.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，几何体的直观图是三棱锥与圆柱的的组合体，‎ 三棱锥的底面是直角边长为2的等腰三角形，高为2，‎ 圆柱的底面半径是1 ,高为2 ,‎ 所以体积为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.‎ ‎6．甲、乙两名同学次数学测验成绩如茎叶图所示，分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的平均数，分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的标准差，则有 A． ， B． ，‎ C． ， D． ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据茎叶图中的数据，计算出甲、乙同学测试成绩的平均数与方差、标准差，即可得出结论 ‎【详解】‎ 由茎叶图可知，甲的成绩分别为：78，79，84，85，85，86，91，92.‎ 乙的成绩分别为：77，78，83，85，85，87，92，93.‎ ‎∴，；‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了茎叶图、平均数与方差的应用问题，是基础题.众数即出现次数最多的数据，中位数即最中间的数据，平均数即将所有数据加到一起，除以数据个数，方差是用来体现数据的离散程度的.‎ ‎7．观察式子：，…，则可归纳出式子为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】右边分子，则分子为，而分母为，则 选A ‎8．设椭圆的焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，可求出．得到.‎ ‎【详解】‎ 抛物线的焦点为（0，2）， ∴椭圆的焦点在y轴上， ‎ ‎∴c=2， 由离心率 e=，可得a=4，∴b2=a2-c2=，‎ 故.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的几何性质，注意分析双曲线焦点的位置．‎ ‎9．把函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则 A． 在上单调递增 B． 在上单调递减 C． 图象关于点对称 D． 图象关于直线对称 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 先根据配角公式化简，再根据图象变换得，最后根据正弦函数性质确定选项.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以,‎ 因此 在上单调递增，图象不关于点对称，也不关于直线对称，选A.‎ ‎【点睛】‎ 三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.‎ ‎10．设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，则 A． 6 B． 9 C． 3 D． 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意首先设出点的坐标，然后利用平面向量的坐标运算法则和向量模的坐标运算法则整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】‎ 设，且，‎ 则，，，‎ ‎，‎ 而，‎ 同理有：，，‎ ‎ .‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线方程及其应用，平面向量的坐标运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎11．已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 关于的方程有两个不相等的实根，等价于函数和的图象有两个不同的交点，作出函数和的图象，利用数形结合可得结果.‎ ‎【详解】‎ 关于的方程有两个不相等的实根，‎ 等价于函数和的图象有两个不同的交点，‎ 作出函数和的图象，如图所示，‎ 由图可知，，即时，‎ 函数和的图象有两个不同的交点，‎ 所以关于的方程有两个不相等的实根，‎ 的取值范围是 ，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.‎ ‎12．点在双曲线的右支上，其左，右焦点分别为，直线与以坐标原点为圆心，为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：先根据线段的垂直平分线恰好过点得，再根据双曲线定义得 ‎，根据OA=a得=4得a,b,c关系，解得离心率.‎ 详解：因为线段的垂直平分线恰好过点，所以=2c,‎ 所以,‎ 因为直线与以坐标原点为圆心，为半径的圆相切于点，所以OA=a，因此，‎ 因为=4，所以 选D.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 二、填空题 ‎13．命题“”的否定是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据特称命题的否定是全称命题这一结论即可.‎ ‎【详解】‎ 命题“”的否定是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了命题的否定的书写，特称命题的否定是全称命题，符合换量词，否结论，不变条件这一结论.‎ ‎14．已知实数，满足约束条件，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.‎ ‎【详解】‎ 画出表示的可行域，如图，‎ 由可得，可得 将变形为，‎ 平移直线，‎ 由图可知当直经过点时，‎ 直线在轴上的截距最大，‎ 取得最小值， ‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎15．已知平面向量满足，则的夹角为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 对两边平方结合题设条件得到，故可得两向量夹角的大小．‎ ‎【详解】‎ 由可以得到，‎ 所以，所以，故，因，故．填．‎ ‎【点睛】‎ 向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.‎ ‎16．以下三个关于圆锥曲线的命题中：‎ ‎①设为两个定点，为非零常数，若,则动点的轨迹是双曲线；‎ ‎②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；‎ ‎③双曲线与椭圆有相同的焦点；‎ ‎④已知抛物线，以过焦点的一条弦为直径作圆，则此圆与准线相切，其中真命题为__________．（写出所有真命题的序号）‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】‎ A、B为两个定点，K为非零常数，若|PA|﹣|PB|=K，当K=|AB|时，动点P的轨迹是两条射线，故①错误；‎ 方程2x2﹣5x+2=0的两根为和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故②正确；‎ 双曲线﹣=1的焦点坐标为（±，0），椭圆﹣y2=1的焦点坐标为（±，0），故③正确；‎ 设AB为过抛物线焦点F的弦，P为AB中点，A、B、P在准线l上射影分别为M、N、Q，‎ ‎∵AP+BP=AM+BN ‎∴PQ=AB，‎ ‎∴以AB为直径作圆则此圆与准线l相切，故④正确 故正确的命题有：②③④‎ 故答案为：②③④‎ 三、解答题 ‎17．设函数.‎ ‎(1)求不等式的解集；‎ ‎(2)若存在使不等式成立，求实数的取值范围 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 本题需要分类讨论，对去绝对值的两种情况分类讨论。‎ 可以先令，在对进行分类讨论求出最小值，最后得出的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由得，‎ ‎∴‎ ‎∴不等式的解集为 ‎ ‎(2)令 则，∴ ‎ ‎∵存在x使不等式成立，∴‎ ‎【点睛】‎ 在遇到含有绝对值的不等式的时候，一定要根据函数解析式去绝对值的几种情况进行分类讨论。‎ ‎18．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点.‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）若点的极坐标为，，求的值.‎ ‎【答案】（1）曲线的直角坐标方程为：， 直线的普通方程为. ‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线的普通方程，极坐标方程两边同乘以利用 即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为，‎ 即， 直线的普通方程为. ‎ ‎(2)将直线的参数方程代入并化简、整理，‎ 得. 因为直线与曲线交于，两点。‎ 所以，解得.‎ 由根与系数的关系，得，. ‎ 因为点的直角坐标为，在直线上.所以， ‎ 解得，此时满足.且，故.．‎ ‎【点睛】‎ 参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．‎ ‎19．已知函数 ‎（1）求函数的最小值以及取得最小值时x的取值集合 ‎（2）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，且．求△ABC的面积 ‎【答案】（1）函数的最小值为−1，此时的取值集合为；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）将函数化为，然后可得最小值及其对应的x的取值的集合；（2）由可得，然后运用余弦定理可得，进而得到三角形的面积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得 ‎， ‎ ‎∴当，，‎ 即，时，取得最小值−1，‎ ‎∴函数的最小值为−1，此时的取值集合为．‎ ‎（2）由题意得及（1）得 ，‎ ‎∵ A为的内角，‎ ‎∴． ‎ 由余弦定理得，‎ 即，‎ 又，，‎ ‎∴，‎ ‎∴， ‎ ‎∴ 的面积．‎ ‎【点睛】‎ 解三角形的问题常与三角函数的知识结合在一起考查，以体现在知识点的交汇处命题的思想．在余弦定理的应用中要注意对公式的变形，如，然后便可与三角形的面积结合在一起，这是常考的题型之一．‎ ‎20．已知命题恒成立；命题方程表示双曲线.‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(2) ;(2) ，或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）当命题P为真命题时，转化为求在上的最小值，继而求出m的范围；（2）先求出当命题q为真命题时m 的范围，再由已知条件得出p,q一个为真命题，一个为假命题，再分两种情况分别求出m的范围，最后取并集即可求出m的范围。‎ 试题解析：（1），∵，∴，故命题为真命题时， ．‎ ‎（2）若命题为真命题，则，所以，‎ 因为命题为真命题，则至少有一个真命题， 为假命题，‎ 则至少有一个假命题，所以一个为真命题，一个为假命题.‎ 当命题为真命题，命题为假命题时， ，则，或；‎ 当命题为假命题，命题为真命题时， ， 舍去．‎ 综上， ，或.‎ ‎21．已知是等差数列，是等比数列，其中，，.‎ ‎（Ⅰ）求数列与的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(Ⅰ)， .(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ)由题意结合数列的性质可得等差数列的公差为2，等比数列的公比为2，据此计算可得的通项公式，的通项公式.‎ ‎(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)中求得的通项公式可得.错位相减结合等差数列前n项和公式可得 .‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设数列的公差为，数列的公比为，‎ 由，得，，‎ 由，，得，，‎ ‎∴.‎ ‎∴的通项公式，的通项公式.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，‎ 故.‎ 则.‎ 令，①‎ 则，②‎ 由②-①，得 .‎ ‎∴ .‎ 点睛：一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．‎ ‎22．已知是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在椭圆上，且，是以为直径的圆，直线与相切，并且与椭圆交于不同的两点.‎ ‎（1） 求椭圆的标准方程；‎ ‎（2） 当，且满足时，求弦长的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）根据点在椭圆上，且，可建立方程，从而可求椭圆M的方程；  （2）利用直线l：y=kx+m与⊙O：x2+y2=1相切，可得m2=k2+1，进而将直线与椭圆方程联立，可表示弦长，利，，可确定其范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得，可得，将点代入椭圆方程得，又因为，联立解得，故椭圆方程为．‎ ‎（2）直线与⊙O相切，则。‎ 由得 因为直线与椭圆交于不同的两点．设 ‎∴，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 设，则，‎ 在上单调递增 ，∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题以椭圆为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与圆，与椭圆的位置关系，考查弦长的求解，有较强的综合性．‎