贵州省遵义市求是中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

贵州省遵义市求是中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

湄潭县求是高级中学2020届高二下数学（理科）试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知i是虚数单位,若复数z满足,则=‎ A. -2i B. 2i C. -2 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由得,即,所以,故选A.‎ ‎【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i,＝－i.‎ ‎2.设，，则“”是“”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.‎ ‎3.如果直线与直线平行，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为直线与直线平行，所以，故选B．‎ 考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎4.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，垂直于同一平面，则与平行 B. 若，平行于同一平面，则与平行 C. 若，不平行，则在内不存在与平行的直线 D. 若，不平行，则与不可能垂直于同一平面 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由，若，垂直于同一平面，则，可以相交、平行，故不正确；由，若，平行于同一平面，则，可以平行、重合、相交、异面，故不正确；由，若，不平行，但平面内会存在平行于的直线，如平面中平行于，交线的直线；由项，其逆否命题为“若与垂直于同一平面，则，平行”是真命题，故项正确.所以选D.‎ 考点：1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.‎ ‎5.若圆关于直线：对称，则直线在轴上的截距为（ ）‎ A. -l B. l C. 3 D. -3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 圆关于直线：对称,等价于圆心在直线：上,由此可解出.然后令 ,得,即所求.‎ ‎【详解】因为圆关于直线：对称,‎ 所以圆心在直线：上,即 ,解得.‎ 所以直线,令 ,得.‎ 故直线在轴上的截距为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了圆关于直线对称,属基础题.‎ ‎6.如图所示的流程图中，输出的含义是（ ）‎ A. 点到直线的距离 B. 点到直线的距离的平方 C. 点到直线距离的倒数 D. 两条平行线间的距离 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入 中,结合点到直线的距离公式可得.‎ ‎【详解】因为,,‎ 所以,故的含义是表示点到直线的距离.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图以及点到直线的距离公式,属基础题.‎ ‎7.观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数 满足，记为的导函数，则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D。‎ ‎8.10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有（ ）‎ A. 77种 B. 144种 C. 35种 D. 72种 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所选3名队员中包含老队员的人数分成两类:(1) 只选一名老队员;(2) 没有选老队员,分类计数再相加可得.‎ ‎【详解】按照老队员的人数分两类:‎ ‎(1)只选一名老队员,则新队员选2名(不含甲)有42;‎ ‎(2)没有选老队员,则选3名新队员(不含甲)有,‎ 所以老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有:种.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了分类计数原理,属基础题.‎ ‎9.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得.‎ ‎【详解】依题意正四棱柱的体对角线是其外接球的直径, 的中点是球心,‎ 如图: ‎ 依题意设 ,则正四棱柱的体积为:,解得,‎ 所以外接球的直径,‎ 所以外接球的半径,则这个球的表面积是.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题.‎ ‎10.已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得导函数解析式，根据导函数的奇偶性可排除，再根据，可排除，从而得到结果.‎ ‎【详解】由题意得：‎ ‎ 为奇函数，图象关于原点对称 可排除 又当时，，可排除 本题正确选项：‎ ‎【点睛】此题考查函数图象的识别，考查对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，关键是能够利用奇偶性和特殊位置的符号来排除错误选项，属于中档题．‎ ‎11.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为 ‎（、、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎3a+2b+0c=2即3a+2b=2,所以，因此。‎ ‎12.已知函数，若存在，使得有解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将化为,再令,则问题转化为:,然后通过导数求得 的最大值代入可得.‎ ‎【详解】若存在，使得有解,即存在,使得,‎ 令,则问题转化为:,‎ 因为,‎ 当 时, ;当 时, ,‎ 所以函数 在 上递增,在 上递减,‎ 所以 ‎ 所以.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式能成立问题,属中档题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13._________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,则,然后根据定积分公式计算可得.‎ ‎【详解】设,则,‎ 所以===.‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查了定积分的计算,属基础题.‎ ‎14.已知，且，则，中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为_______．‎ ‎【答案】，均不大于1（或者且）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 假设原命题不成立，即找，中至少有一个大于1的否定即可.‎ ‎【详解】∵x，y中至少有一个大于1，‎ ‎∴其否定为x，y均不大于1，即x≤1且y≤1，‎ 故答案为：x≤1且y≤1．‎ ‎【点睛】本题考查反证法，考查命题的否定，属于基础题．‎ ‎15.如图所示，在圆锥中，为底面圆的两条直径，，且,，为的中点，则异面直线与所成角的正切值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于与是异面直线，所以需要平移为相交直线才能找到异面直线与所成角，由此连接OP再利用中位线性质得到异面直线与所成角为 ,并求出其正切值。‎ ‎【详解】连接，则，‎ 即为异面直线与所成的角，‎ 又，，，‎ 平面，‎ ‎，‎ 即，‎ 为直角三角形，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了异面直线所成角的计算，关键是利用三角形中位线的性质使异面直线平移为相交直线。‎ ‎16.周长为的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设矩形的一边长为 ,则另一边长为 ,,再利用圆柱的体积公式求得体积的解析式,然后利用基本不等式可求得最大值.‎ ‎【详解】设矩形的一边长为 ,则另一边长为 ,,‎ 则圆柱的体积==,‎ 当且仅当,即时等号成立.‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查了圆柱的体积公式和基本不等式,属中档题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.已知曲线 y = x3 + x－2 在点 P0 处的切线平行于直线 ‎4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限,‎ ‎⑴求P0的坐标;‎ ‎⑵若直线, 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 本试题主要是考查了导数的几何意义，两条直线的位置关系，平行和垂直的运用。以及直线方程的求解的综合运用。‎ 首先根据已知条件，利用导数定义，得到点P0的坐标，然后利用，设出方程为x+4y+c=0,根据直线过点P0得到结论。‎ 解：（1）由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，‎ 由已知得3x2+1=4，解之得x=±1．‎ 当x=1时，y=0；‎ 当x=-1时，y=-4．‎ 又∵点P0在第三象限，‎ ‎∴切点P0的坐标为（-1，-4）；‎ ‎（2）∵直线 l⊥l1，l1的斜率为4，‎ ‎∴直线l的斜率为-1/ 4 ，‎ ‎∵l过切点P0，点P0的坐标为（-1，-4）‎ ‎∴直线l的方程为y+4="-1" /4 （x+1）即x+4y+17=0．‎ ‎18.在直角坐标系中，以坐标原点为圆心的圆与直线相切。‎ 求圆的方程；‎ 若圆上有两点关于直线对称，且，求直线的方程；‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用点到直线 的距离公式求出半径，即可得出答案。‎ ‎（2）设出直线，求出圆心到直线的距离，利用半弦长直角三角形解出即可。‎ ‎【详解】解（1） ，所以圆的方程为 ‎（2）由题意，可设直线的方程为 则圆心到直线的距离则，即 所以直线的方程为或 ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题。‎ ‎19.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：‎ 附：的观测值 ‎（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；‎ ‎（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下是否可认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？‎ ‎（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)用需要志愿者提供帮助的人数除以老年人总数可得;‎ ‎(2)利用观测值公式以及列联表可计算观测值,再结合临界值表可得;‎ ‎(3)根据需要志愿者提供帮助的男女人数存在显著差异,可得采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好.‎ ‎【详解】（1）调查的500位老人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为.‎ ‎（2）随机变量的观测值.由于，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.‎ ‎（3）由（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据中能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层，并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好.‎ ‎【点睛】本题考查了分层抽样,独立性检验,属中档题.‎ ‎20.如图，在棱长为1的正方体中，点在上移动，点在上移动，，连接.‎ ‎（1）证明：对任意，总有∥平面；‎ ‎（2）当的长度最小时，求二面角的平面角的余弦值。‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作∥，交于点，作∥，交于点，连接.通过证明四边形为平行四边形,可得∥,再根据直线与平面平行的判断定理可证.‎ ‎(2)根据题意计算得 ,再配方可得取最小值时 分别为的中点,再取 为 , 连接，，,‎ 可得是二面角的平面角,再计算可得.‎ ‎【详解】（1）证明：如图，作∥，交于点，‎ 作∥，交于点，连接.‎ 由题意得∥，且，则四边形为平行四边形.‎ ‎∴∥.‎ 又∵，，‎ ‎∴∥.‎ ‎（2）由（1）知四边形为平行四边形，∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∵，∴，.‎ 即，‎ 故当时，的长度有最小值。‎ 分别取，的中点、，连接，，。‎ 易知，，故是二面角的平面角 在中，。所以.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理,以及二面角,属中档题.‎ ‎21.已知过抛物线 的焦点，斜率为的直线交抛物线于 两点，且 .‎ ‎（1）求抛物线方程;‎ ‎（2）O为坐位原点，C为抛物线上一点，若 ，求的值.‎ ‎【答案】（1）y2＝8x.（2）λ＝0，或λ＝2.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：第一问求抛物线的焦点弦长问题可直接利用焦半径公式，先写出直线的方程，再与抛物线的方程联立方程组，设而不求，利用根与系数关系得出，然后利用焦半径公式得出焦点弦长公式，求出弦长，第二问根据联立方程组解出的A、B两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C的坐标，由于点C在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.‎ 试题解析：‎ ‎ (1)直线AB的方程是y＝2（x-2），与y2＝8x联立，消去y得x2－5x＋4＝0，‎ 由根与系数的关系得x1＋x2＝5.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9， ‎ ‎(2)由x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)．‎ 设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)， ‎ 又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，‎ 解得λ＝0或λ＝2.‎ ‎【点睛】求弦长问题，一般采用设而不求联立方程组，借助根与系数关系，利用弦长公式去求；但是遇到抛物线的焦点弦长问题时，可直接利用焦半径公式，使用焦点弦长公式，求出弦长.遇到与向量有关的问题，一般采用坐标法去解决，根据联立方程组解出的A、B两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C的坐标，由于点C在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.‎ ‎22.设函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）求使对恒成立的的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求导后得,再对分三种情况讨论可得;‎ ‎(2)先由,解得,从而由(1)可得 在 上为增函数,再将恒成立转化为可解得.‎ ‎【详解】（1）因为，其中，所以.‎ 所以，时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ 时，所以的单调递减区间为；‎ 时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ ‎（2）由题意得，即.由（1）知在内单调递增，要使对恒成立.‎ 只要解得.故的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间,用导数研究不等式恒成立问题,属中档题.‎ ‎ ‎