四川省成都市蓉城名校联盟2019-2020学年高二上学期期末联考共性化练习数学（文）试题

四川省成都市蓉城名校联盟2019-2020学年高二上学期期末联考共性化练习数学（文）试题

蓉城名校联盟 2019～2020 学年度上期高中 2018 级期中联考 数学学科共性化巩固练习卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A、 B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 【答案】A 【解析】 设 ， 直 线 的 方 程 为 ， 联 立 方 程 ，得 ，∴ ，同理直线 与 抛 物 线 的 交 点 满 足 ， 由 抛 物 线 定 义 可 知 ，当且仅当 （或 ） 时，取等号. 点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上， 另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查 最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角 表示，设直线的倾斜角为 ，则 ，则 ，所 以 . 2.如图， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与 1 1 2 2 3 3 4 4( , ), ( , ), ( , ), ( , )A x y B x y D x y E x y 1l 1( 1)y k x= − 2 1 4 ( 1) y x y k x  =  = − 2 2 2 2 1 1 12 4 0k x k x x k− − + = 2 1 1 2 2 1 2 4kx x k − −+ = − 2 1 2 1 2 4k k += 2l 2 2 3 4 2 2 2 4kx x k ++ = 1 2 3 4 2AB DE x x x x p+ = + + + + = 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 2 4 4 4 164 8 2 8 16k k k k k k k k + ++ + = + + ≥ + = 1 2 1k k= − = 1− α 2 2| | sin pAB α= 2 2 2 2| | π cossin ( + )2 p pDE αα = = 2 2 2 2 2 1| | | | 4(cos sin cos p pAB DE α α α+ = + = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 sin cos) 4( )(cos sin ) 4(2 ) 4 (2 2) 16sin cos sin cos sin α αα αα α α α α= + + = + + ≥ × + = 1 2F F、 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 1F l C 的左、右两 支分别交于点 ．若 为等边三角形，则双曲线 的离心率为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 为等边三角形，不妨设 为双曲线上一点， 双曲线上一点, 由 在 中运用余弦定理得： , 故答案选 点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角 ，再利用余弦定理计算出 离心率． 3.设 ， 是离心率为 5 的双曲线 的两个焦点， 是双曲线上的一点，且 ，则 的面积等于 A. B. C. 24 D. 48 为 A B、 2ABF∆ C 7 2 3 3 3 2ABF 2 2AB BF AF m= = = A 1 2 1 1 2F A F A F A AB F B a− = − = = B 2 1 2 1 22 , 4 , 2BF BF a BF a F F c− = = = 2 1 260 , 120ABF F BF∠ = ° ∴∠ = ° 1 2F BF 2 2 24 4 16 2 2 4 cos120c a a a a= + − × × × ° 2 27c a= 2 7e = 7e∴ = B 120° 1F 2F 2 2 2 124 x y a − = P 1 23 4PF PF= 1 2PF F△ 4 2 8 3 【答案】C 【解析】 【分析】 先由双曲线的离心率求出 与 ，可得 ，再由 ，结合双曲线的定义 求出 ，由此能求出 的面积. 【详解】∵ ， 是离心率为 5 的双曲线 的两个焦点， ， 解得 ， ， ， ， 且由双曲线的性质知 , , , 的面积 .故选 C. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义与双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关 的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦 点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的 内在联系. 二、填空题。 4.把二进制数 1111（2）化为十进制数是______． 【答案】 . 【解析】 【分析】 由二进制数 定义可将 化为十进制数. 【详解】由二进制数的定义可得 ，故答案为 . 【点睛】本题考查二进制数化十进制数，考查二进制数的定义，考查计算能力，属于基础题. 5.若曲线 与直线 始终有交点，则 的取值范围是_______． 的 a c 1 2 10F F = 1 23 4PF PF= 1 28, 6PF PF= = 1 2PF F∆ 1F 2F 2 2 2 124 x y a − = ∴ 2 241 5ce a a = = + = 2 1a = 5c∴ = ∴ 1 2 2 10F F c= =  1 23 4PF PF= 1 2 2 2 2 4 1 23 3PF PF PF PF PF− = − = = ∴ 1 28, 6PF PF= = 1 2 90F PF °∴∠ = ∴ 1 2PF F 1 6 8 242 = × × = 15 ( )21111 ( ) 3 2 1 0 21111 1 2 1 2 1 2 1 2 15= × + × + × + × = 15 21y x= − y x b= + b 【答案】 【解析】 由题设可知 有解，即 有解，令借 ，则 ， 所 以 ， 由 于 ， 故 ， 结 合 正 弦 函 数 的 图 像 可 知 ， 则 ，应填答案 ． 点睛：解答本题的思路是依据题设条件将其转化为方程 有解，进而分离参数 ，然后通过三角换元将其转化为求函数 的值 域问题，最后借助正弦函数的图像求出其值域使得问题获解． 6.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|＝12，P 为 C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为______. 【答案】36 【解析】 【分析】 首先设抛物线的解析式 ，写出抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通 径 ，求出 ， 的面积是 与 乘积的一半. 【详解】设抛物线的解析式 ， 则焦点 ，对称轴为 轴，准线为 ， 直线 经过抛物线的焦点，A，B 是 与 的交点， 又 轴， ， ， 又 点 在准线上， ， 为 [ 1, 2]− 21x b x+ = − 21b x x= − − cos , [0, ]x θ θ π= ∈ 21 sinx θ− = sin cos 2 sin( )4b πθ θ θ= − = − 0 θ π≤ ≤ 3 4 4 4 π π πθ− ≤ − ≤ 2 sin( ) 12 4 πθ− ≤ − ≤ 2 sin( ) [ 1, 2]4b πθ= − ∈ − [ 1, 2]− 21x b x+ = − 21b x x= − − sin cos 2 sin( )4b πθ θ θ= − = − ( )2 2 0y px p= > 2AB p= p ABP∆ | |AB DP ( )2 2 0y px p= > ,02 pF      x 2 px = −  l l C AB x⊥ | | 2 12AB p∴ = = 6p∴ =  P 62 2 p pDP p∴ = + − = = . 故答案为 36. 【点睛】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点，关于直线和圆锥曲线 的关系问题一般采取数形结合法. 三、解答题。 7.已知圆 的圆心在直线 上，且与直线 相切于点 ． （1）求圆 方程； （2）是否存在过点 的直线 与圆 交于 两点，且 的面积为 （ 为 坐标原点），若存在，求出直线 的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) ；(2)答案见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据题意设出圆的方程，由直线和圆相切列出方程，进而解得未知 量；（2）根据题意得到原题等价于研究方程 是否有解的问题， 化简得到无解即可. 解析： （1）设圆心坐标为 ，则圆的方程为： ， 又与 相切，则有 ，解得： ， ， 所以圆的方程为： ； 1 1 6 12 362 2ABPS DP AB∆∴ = ⋅ ⋅ = × × = C 4 0x y+ = 1y x= − + ( )3, 2P − C (1,0)A l C M N、 OMN∆ 2 2 O l ( ) ( )2 21 4 8x y− + + = （2）由题意得：当 存在时，设直线 ，设圆心到直线的距离为 ， 则有 ，化简得： ，无解； 当 不存在时， ，则圆心到直线的距离 ，那么 ， ，满足题意，所以直线 方程为： . 点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结 合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心 到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或 者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理. 8.已知抛物线 C； 过点 ． 求抛物线 C 的方程； 过点 的直线与抛物线 C 交于 M，N 两个不同的点 均与点 A 不重合 ，设直线 AM， AN 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值． 【答案】（1） ．（2）见解析． 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程； （2）设过点 P（3，﹣1）的直线 MN 的方程为 ，代入 y2=x 利用韦达定理，结 合斜率公式，化简，即可求 k1•k2 的值． 【详解】（1）由题意得 ，所以抛物线方程为 ． （2）设 ， ，直线 MN 的方程为 ， 的 23 1 0k + = | | 4 2MN = 1S 1 4 2 2 22OMN∆ = × × = 2 2y px= ( )1,1A ( )1 ( )2 ( )3, 1P − ( ) 1k 2k 1 2k k⋅ 2y x= ( )1 3x t y= + + 2 1p = 2y x= ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y ( )1 3x t y= + + 代入抛物线方程得 ． 所以 ， ， ． 所以 , 所以 ， 是定值． 【点睛】求定值问题常见的方法 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． ②直接推理、计算，并在计算推理 过程中消去变量，从而得到定值． 9.已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 . （1）求椭圆 的方程； （2）设过点 的直线 交椭园 于 ， 两点，若 （ 为坐标原点）的面积为 ， 求直线 的方程. 【答案】(1) .(2) 或 . 【解析】 【分析】 （1）根据题意，得到 ，进而求出 ，即可得到椭圆方程； （2）先由题意设直线 的方程为 ，联立直线与椭圆方程，设 ， ， 由韦达定理，根据 的面积 ，求出 ，即可得出结果. 【详解】（1）由题意可知 ， 离心率 ，所以 所以 所以椭圆 的方程为 ， 的 2 3 0y ty t− − − = ( )22 8 0t∆ = + + > 1 2y y t+ = 1 2 3y y t= − − ( )( )1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 y y y yk k x x y y y y y y y y t t − − − −⋅ = ⋅ = ⋅ = = = = −− − − − + + + + + − − + + 1k 2k 2 2 2 2: 1x yC a b + = ( 0)a b> > (1,0)F 2 2 C F l C M N OMN O 2 3 l 2 2 12 x y+ = 1 0x y+ − = 1 0x y− − = ,c a 2b l 1x my= + ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y OMN∆ 2 1 1 1 2 2S OF y y= − =‖ m 1c = 2 2 c a = 2a = 2 2 2 1b a c= − = C 2 2 12 x y+ = （2）由题意可以设直线 的方程为 ， 由 得 ， 设 ， 所以， ， . 所以 的面积 创 因为 的面积为 ，所以 . 解得 . 所以直线 的方程为 或 . 【点睛】本题主要考查椭圆方程，以及椭圆中的直线问题，熟记椭圆的标准方程以及椭圆的 简单性质即可，属于常考题型. l 1x my= + 2 2 12 1 x y x my  + =  = + ( )2 22 2 1 0m y my+ + − = ( ) ( )2 2 24 4 2 8 1 0m m m∆ = + + = + > ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2 2 2 2 my y m + = − + 1 2 2 1 2y y m = − + OMN∆ 2 1 1 1 2 2S OF y y= − =‖ ( )2 2 1 2 14y y y y+ − 2 2 2 2 2 1 2 4 2 1 2 2 2 2 m m m m m + = − + = + + +  OMN∆ 2 3 2 2 1 2 2 3 m m + =+ 1m = ± l 1 0x y+ − = 1 0x y− − =