新疆喀什市第二中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

新疆喀什市第二中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

数学试卷（文科）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知全集，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据补集和并集的定义，即可求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.‎ ‎2.已知为虚数单位，复数的虚部是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，‎ 则其虚部为，‎ 本题选择A选项.‎ ‎3.已知向量， ，若，则实数的值为（ ）‎ A. 6 B. ﹣‎6 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量平行的充要条件：坐标交叉相乘其积相等，列出方程，可求出的值.‎ ‎【详解】向量，‎ ‎， 解得，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量共线的坐标表示,属于基础题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.‎ ‎4.在等差数列中，如果，那么（ ）‎ A. 95 B. ‎100 ‎C. 135 D. 80‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列性质可知：，，构成新的等差数列，然后求出结果 ‎【详解】由等差数列的性质可知：，，构成新的等差数列，‎ 故选 ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用，等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和依然成等差，即可计算出结果．‎ ‎5.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，其一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的方程为，根据已知可得，根据关系，即可求解.‎ ‎【详解】双曲线的中心在原点，焦点在轴上，‎ 设双曲线的方程为，‎ 其一条渐近线方程为，‎ 离心率.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.‎ ‎6. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）‎ A. －8 B. －‎2 ‎C. －1 D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，程序框图循环如下：先赋值①；②成立，；③成立；‎ ‎④成立 不成立，输出的值.‎ ‎【易错点睛】解决算法问题的关键是读懂程序框图，明晰顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义，本题巧妙而自然地将算法、函数赋值交汇在一起，用循环结构来进行考查.‎ 这类问题可能出现的错误：①读不懂程序框图；②循环出错；③弄不清什么时候结束；④输出的内容出错；⑤计算出错.‎ 考点：程序框图的应用.‎ ‎7.已知命题存在，曲线为椭圆；命题的解集是.给出下列结论中正确的有（ ）‎ ‎①命题“且”是真命题； ②命题“且”是真命题；‎ ‎③命题“或”为真命题； ④命题“或”是真命题.‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的标准方程可判断命题为真，根据分式不等式的求解，可判断命题为假，根据复合命题的真假关系，逐个判断，即可求出结论.‎ ‎【详解】当时，曲线为椭圆，‎ 所以命题为真，‎ 解集是，所以命题为假，‎ 命题“且”为假命题，所以①错误；‎ 命题“且”是真命题，所以②正确；‎ 命题“或”为假命题；所以③错误；‎ 命题“或”是真命题，所以④正确.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查复合命题真假的判定，判定简单命题真假是解题的关键，考查椭圆标准方程以及分式不等式的解法，属于基础题.‎ ‎8.已知，且，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 平方求出，进而求出，将所求的式子分子用二倍角公式化简，分母用两角和余弦公式展开，即可求解.‎ ‎【详解】平方得，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数求值问题，涉及到同角间的三角函数关系、三角恒等变换的应用，熟记公式是解题的关键，属于中档题.‎ ‎9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案．‎ ‎【详解】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，‎ 四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，‎ 故体积为：，‎ 三棱柱底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，‎ 故体积为：，‎ 故组合体的体积，故选D．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键，属于中档题.‎ ‎10.已知是偶函数，且，则=（ ）‎ A. 4 B. ‎2 ‎C. ﹣3 D. ﹣4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求出，根据是偶函数，求出，进而求出.‎ ‎【详解】，‎ 是偶函数，，‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数的函数值，应用偶函数的对称性是解题的关键，属于基础题.‎ ‎11.已知抛物线的焦点和点，为抛物线上一点，则周长的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求周长的最小值，即求最小值，由抛物线的定义，转化为点到准线的距离，即可求出最小值.‎ ‎【详解】抛物线的焦点，准线方程为，‎ 过做于，则，‎ ‎，‎ 当且仅当三点共线时，等号成立，‎ ‎，‎ 周长的最小值为为. 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查应用抛物线的定义解决最小值问题，意在考查直观想象能力，属于中档题.‎ ‎12.已知函数满足，且分别是R上的偶函数和奇函数，若使得不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分别是R上的偶函数和奇函数，可得，求出，代入，分离参数，构造新函数，利用基本不等式求出新函数的最值，即可求解.‎ ‎【详解】，① ，‎ 分别是R上的偶函数和奇函数，‎ ‎， ② ①+②得 ‎，‎ 使得不等式恒成立，‎ 即，‎ 令在是增函数，，‎ 恒成立，‎ 只需，‎ ‎，当且仅当时，等号成立，‎ ‎.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查方程思想求解析式、不等式恒成立求参数，换元、分离参数是解题的关键，利用基本不等式求最值，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.一个总体分为A，B两层，用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B 层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样每个个体抽到的概率相等，即可求出结论.‎ ‎【详解】B层中每个个体被抽到的概率都为，‎ 所以总体的每个个体抽到的概率都是，‎ 抽取一个容量为10的样本，‎ 所以总体中的个体数为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查分层抽样，明确分层抽样本抽取依据是解题的关键，属于基础题.‎ ‎14.若满足约束条件，则的最小值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 做出满足条件的可行域，根据图形即可求出的最小值.‎ ‎【详解】做出满足的可行域，如下图所示（阴影部分），‎ 当目标函数过时，取得最小值为. 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.‎ ‎15.已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长为2，侧面积为，则其外接球的体积为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由侧棱长为2，侧面积为可得底面边长为，所以棱锥的高为1，设外接球半径为 考点：棱锥与其外切球 ‎16.在中角的对边分别是，且，，若，则c的最小值为 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知及正弦定理和余弦定理可得，求出，进而求出，再由余弦定理，建立关于二次函数关系，即可求解.‎ ‎【详解】，由正弦定理可得 ‎，‎ ‎，‎ 由余弦定理得 时，取得最小值，‎ 的最小值为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、二次函数的图像和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题.‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.等差数列中，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列公差为，由，求出公差，即可求出通项；‎ ‎（2）根据通项公式，用裂项相消法，可求的前项和.‎ ‎【详解】（1）设等差数列公差为，‎ 由，‎ ‎；‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项的基本量的运算、裂项相消法求和，考查计算求解能力，属于基础题.‎ ‎18.已知函数 ‎（1）求函数的周期；‎ ‎（2）在中，角所对的边分别为，，且向量与向量共线，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）应用降幂公式和辅助角公式，将化为余弦型函数，即可求解；‎ ‎（2）由，求出角，共线，求出关系，得出关系，再结合余弦定理求出，即可求出结论.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，‎ 周期为；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ 与向量共线，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查运用三角恒等变换求三角函数性质，考查了应用平面向量共线关系、正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.‎ ‎19.‎ 甲、乙两家快餐店对某日7个时段的光顾的客人人数进行统计并绘制茎叶图如下图所示(下面简称甲数据、乙数据)，且乙数据的众数为17，甲数据的平均数比乙数据平均数少2.‎ ‎(Ⅰ)求a，b的值，并计算乙数据的方差；‎ ‎(Ⅱ)现从乙数据中不大于16的数据中随机抽取两个，求至少有一个数据小于10的概率．‎ ‎【答案】(1)a＝7，b＝2，(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由众数的定义得出a的值，再根据平均数的定义求出甲、乙的平均数与方差；‎ ‎（2）利用列举法计算所求的基本事件数与对应的概率值．‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ)由众数定义可知a＝7，甲数据的平均数为＝12，故乙数据的平均数为14，故8＋9＋10＋15＋17＋17＋20＋b＝98，解得b＝2.‎ 故乙数据的方差s2＝(36＋25＋16＋1＋9＋9＋64)＝.‎ ‎(Ⅱ)‎ 乙数据中不大于16的数据有8,9,10,15，则从这四个数据中随机抽取两个，所有的情况为(8,9)，(8,10)，(8,15)，(9,10)，(9,15)，(10,15)，则至少有一个数据小于10的为(8,9)，(8,10)，(8,15)，(9,10)，(9,15)，故所求概率P＝.‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎20.如图，在直角梯形中，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）分别为的中点，‎ 又，平面平面，又平面，‎ 平面.‎ ‎（2）.‎ ‎【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.‎ ‎21.设是圆上任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的标准方程；‎ ‎（2）设经过点的直线与曲线交于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设点，由，将用表示，代入圆方程，即可求出曲线方程；‎ ‎（2）以为直径的圆过点，则，若直线斜率为0，求出，验证是否满足条件，若直线斜率不为0，设其方程为，与曲线方程联立，消去，得到关于的方程，设，由根与系数关系得到与关系，结合，建立关于的方程，求解即可.‎ ‎【详解】（1）设点，‎ ‎，‎ 点在圆上，，‎ 曲线的标准方程为；‎ ‎（2）若直线斜率为，不妨设，‎ ‎ 不满足条件，‎ 直线斜率不为0，设直线方程为，‎ 联立消去得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 设，‎ ‎ ，‎ 以为直径的圆过点，，‎ 整理得，解得或，‎ 直线方程为或.‎ ‎【点睛】本题考查轨迹方程、直线与曲线的位置关系，要熟练掌握根与系数关系设而不求的方法求相交弦问题，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.‎ ‎22.已知常数，函数 ‎（1）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求；‎ ‎（2）令，若函数在区间上是单调减函数，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，求出切线的点斜式方程，原点坐标代入，得到关于 的方程，求解即可；（2）设，由在是减函数，，通过研究的正负可判断的单调性，进而可得函数的单调性，可求参数的取值范围.‎ ‎【详解】（1），‎ 所以切线的斜率为，‎ 切线方程为。‎ 将代入得，‎ 即，显然是方程的解，‎ 又在上是增函数，‎ 方程只有唯一解，故；‎ ‎（2）‎ 设，‎ 在上减函数，‎ ‎，‎ 当时，即时，，‎ 在是增函数，又，‎ 在恒成立，即在恒成立，‎ 在上单调递减函数，所以，满足题意，‎ 当时，即，，‎ 函数有唯一的零点，设为，则在上单调递增，‎ 在单调递减，又，‎ 又在内唯一零点，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 从而在单调递减，在单调递增，‎ 不合题意，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到导数的几何意义、单调性、零点，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.‎