高一数学（人教A版）必修4能力提升：2-2-3 向量数乘运算及其几何意义

高一数学（人教A版）必修4能力提升：2-2-3 向量数乘运算及其几何意义

能 力 提 升 一、选择题 ‎1．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则＝(　　)‎ A．λ(＋)　λ∈(0,1)‎ B．λ(＋)　λ∈(0，)‎ C．λ(－)　λ∈(0,1)‎ D．λ(－)　λ∈(0，)‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　设P是对角线AC上的一点(不含A、C)，过P分别作BC、AB的平分线，设＝λ，则λ∈(0,1)，于是＝λ(＋)，λ∈(0,1)．‎ ‎2．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)‎ A. B. ‎ C．－ D．－ ‎[答案]　A ‎[分析]　将、都用从C点出发的向量表示．‎ ‎[解析]　(方法一)：由＝2，‎ 可得－＝2(－)⇒＝＋，‎ 所以λ＝.故选A.‎ ‎(方法二)：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝，故选A.‎ ‎3．点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)‎ A．△ABC内部 B．AC边所在的直线上 C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上 ‎[答案]　B ‎[解析]　∵＝λ＋，∴－＝λ.‎ ‎∴＝λ.‎ ‎∴P、A、C三点共线．‎ ‎∴点P一定在AC边所在的直线上．‎ ‎4．已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，其对角线交点为O，则等于(　　)‎ A.a＋b B．a＋b C.(a＋b) D．a＋b ‎[答案]　C ‎[解析]　＋＝＋＝＝2，‎ 所以＝(a＋b)，故选C.‎ ‎5．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－‎5a＋6b，＝‎7a－2b，则一定共线的三点是(　　)‎ A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D ‎[答案]　A ‎[解析]　＝＋＝(－‎5a＋6b)＋(‎7a－2b)＝‎2a＋4b＝2，所以，A、B、D三点共线．‎ ‎6．如图所示，向量、、的终点A、B、C在一条直线上，且＝－3.设＝p，＝q，＝r，则以下等式中成立的是(　　)‎ A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q C．r＝p－q D．r＝－q＋2p ‎[答案]　A ‎[解析]　∵＝＋，＝－3＝3，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴＝＋＝＋(－)．‎ ‎∴r＝q＋(r－p)．‎ ‎∴r＝－p＋q.‎ 二、填空题 ‎7．若2(x－a)－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量x＝________.‎ ‎[答案]　a－b＋c ‎[解析]　∵2x－a－b－c＋x＋b＝0，‎ ‎∴x＝a－b＋c.‎ ‎∴x＝a－b＋c ‎8．如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝____________.(用a、b表示)．‎ ‎[答案]　(b－a)‎ ‎[解析]　＝＋＋ ‎＝－＋＋ ‎＝－－＋(＋)‎ ‎＝－b－a＋(a＋b)‎ ‎＝b－a＝(b－a)．‎ ‎9．(2013·四川理)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　本题考查向量加法的几何意义．‎ ＋＝＝2，∴λ＝2.‎ 三、解答题 ‎10．已知e、f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋‎2f，＝－4e－f，＝－5e－‎3f.‎ ‎(1)将用e，f表示；‎ ‎(2)证明四边形ABCD为梯形．‎ ‎[解析]　(1)＝＋＋＝(e＋‎2f)＋(－4e－f)＋(－5e－‎3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－‎2f.‎ ‎(2)因为＝－8e－‎2f＝2(－4e－f)＝2，‎ 即＝2，‎ 所以根据数乘向量的定义，与同方向，且长度为的长度的2倍，‎ 所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．‎ ‎11．设两个不共线的向量e1、e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与向量c共线？‎ ‎[解析]　∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，要使d与c共线，则存在实数k使d＝k·c，‎ 即：(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2‎ ‎＝2ke2－9ke2.由，‎ 得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ和μ，‎ 只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．‎ ‎12．如图，平行四边形ABCD中，＝b，＝a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线．‎ ‎[解析]　在△ABD中，＝－，因为＝a，＝b，所以＝b－a.‎ ‎∵N点是BD的三等分点，∴＝＝(b－a)．‎ ‎∵＝b，∴＝－＝(b－a)－b＝－a－b.　①‎ ‎∵M为AB中点，∴＝a，‎ ‎∴＝－＝－(＋)＝－＝－a－b.　②‎ 由①②可得：＝.‎ 由共线向量定理知：∥，又∵与有公共点C，∴C、M、N三点共线．‎