【数学】2020届一轮复习人教A版　直线与圆的方程学案

【数学】2020届一轮复习人教A版　直线与圆的方程学案

考查角度 1　直线与圆的方程 　　分类透析一　圆的方程及其应用 例 1 已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点(1,0)且被 x 轴分成两段弧 长比为 1∶2,则圆 C 的方程为(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(푥 ± 3 3 )2 +y2=4 3 B.(푥 ± 3 3 )2 +y2=1 3 C.x2+(푦 ± 3 3 )2 =4 3 D.x2+(푦 ± 3 3 )2 =1 3 解析 由题意知圆心在 y 轴上,且被 x 轴所分的劣弧所对的圆心 角为2π 3 .设圆心为(0,a),半径为 r,则 rsinπ 3=1,rcosπ 3=|a|,解得 r=2 3 3 ,即 r2=4 3,|a|= 3 3 ,则 a=± 3 3 ,故圆 C 的方程为 x2+(푦 ± 3 3 )2 =4 3,选 C. 答案 C 方法技巧 关于确定圆的标准方程问题,可以利用待定系数法、 几何法等知识进行处理,而确定圆心和半径是解题的关键,可以借助 圆的几何性质求圆心坐标和半径. 　　分类透析二　直线与圆的位置关系的判定与应用 例 2 直线 2tx-y-2-2t=0(t∈R)与圆 x2+y2-2x+4y-4=0 的位置关 系为(　　). A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能 解析 可将圆的方程化为(x-1)2+(y+2)2=9, ∴圆心为(1,-2),半径 r=3. 又圆心在直线 2tx-y-2-2t=0 上, ∴直线与圆相交,选 C. 答案 C 方法技巧 判定直线与圆的位置关系,可以利用代数法和几何法 进行判定,代数法就是利用方程的根的个数进行判定,几何法就是利 用圆心到直线的距离和其半径大小进行比较,从而确定其位置关系. 例 3 已知直线 l:y=- 3(x-1)与圆 O:x2+y2=1 在第一象限内交于 点 M,且 l 与 y 轴交于点 A,则△MOA 的面积等于　　　　. 解析 依题意可得,直线 l:y=- 3(x-1)与 y 轴的交点 A 的坐标为 (0, 3). 由{푥2 + 푦2 = 1, 푦 = - 3(x - 1),得点 M 的横坐标 xM=1 2或 xM=1(不合题意). 所以△MOA 的面积为 S=1 2|OA|·xM=1 2× 3×1 2= 3 4 . 答案 3 4 方法技巧 根据直线与圆的位置不同,构造出的一些平面图形问 题,解题时要注意平面图形问题的处理思路和方法,涉及面积时,可以 借助一些圆的性质进行计算. 　　分类透析三　圆的切线和弦长问题 例 4 过点(1,1)的直线与圆(x-2)2+(y-3)2=9 相交于 A,B 两点, 则|AB|的最小值为(　　). A.2 3 B.4 C.2 5 D.5 解析 由圆的几何性质可知,当点(1,1)为弦 AB 的中点时,|AB|的 值最小.又因为点(1,1)与圆心(2,3)的距离 d= 5,所以|AB|=2 푟2 - 푑2=2 9 - 5=4. 答案 B 方法技巧 先判断已知点和圆的位置关系,若已知点在圆外,则此 时最小值为 0;若已知点在圆内,则该点为弦 AB 的中点时,|AB|的值 最小,此时的最大值为已知圆的直径. 例 5 已知点 M(3,1)及圆(x-1)2+(y-2)2=4,则过点 M 的圆的切线 方程为　　　　　　　　. 解析 结合已知条件,得圆心 C(1,2),半径 r=2,当直线的斜率不 存在时,方程为 x=3. 由圆心 C(1,2)到直线 x=3 的距离 d=3-1=2=r 知,此时直线与圆 相切. 当直线的斜率存在时,设方程为 y-1=k(x-3), 即 kx-y+1-3k=0,由题意知|푘 - 2 + 1 - 3푘| 푘2 + 1 =2,解得 k=3 4,故方程为 y- 1=3 4(x-3),即 3x-4y-5=0. 综上,过点 M 的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y-5=0. 答案 x=3 或 3x-4y-5=0 方法技巧 解决圆的切线问题,关键是确定切线的斜率,可以根据 直线与圆相切的条件进行处理,尤其需要注意直线的斜率是否存在. 1.(2018 年全国Ⅲ卷,文 6 改编)已知圆 C:(x-2)2+y2=2 和直线 x+y+2=0,点 P 在直线上,则过点 P 作圆 C 的切线,切点为 Q,则|PQ|的 最小值为　　　　. 解析 连接 CQ,PC(图略),则|PQ|2=|PC|2-r2(其中 r 为已知圆 C 的半径),当|PC|最小时,|PQ|有最小值,即先求点 C 到直线的距离 |PC|的最小值,故此时点 C(2,0)到直线 x+y+2=0 的距离为 2 2,|PQ |min= (2 2)2 - ( 2)2= 6. 答案 6 2.(2016 年全国Ⅱ卷,文 6 改编)圆 x2+y2-2ax-8y+13=0 的圆心到直线 x+y-1=0 的距离为 2,则 a=(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-1 B.-5 C. 3 D.-1 或-5 解析 圆 x2+y2-2ax-8y+13=0 化为标准方程为(x-a)2+(y- 4)2=3+a2, 故圆心坐标为(a,4),则圆心到直线 x+y-1=0 的距离 d=|푎 + 4 - 1| 12 + 12 = 2, 解得 a=-1 或 a=-5,故选 D. 答案 D 3.(2016 年全国Ⅲ卷,文 15 改编)已知直线 l:x+y-1=0 与圆 x2+y2=25 交于 A,B 两点(设点 A 位于第四象限),过 A 作 l 的垂线与 x 轴交于 C 点,则△ABC 的面积为　　　　. 解析 联立方程组{푥 + 푦 - 1 = 0, 푥2 + 푦2 = 25, 得{푥 = -3, 푦 = 4 或{푥 = 4, 푦 = -3,故点 A(4,-3),点 B(-3,4),所以直线 AC 的方程为 y=x-7,得 C(7,0),所以 可得|AB|=7 2,|AC|=3 2.又因为 AB⊥AC,所以 S△ABC=1 2|AB|·|AC|=1 2 ×7 2×3 2=21. 答案 21 4.(2018 年江苏卷,12 改编)在平面直角坐标系 xOy 中,A 为直线 l:y=2x 上在第一象限内的点,B(5,0),过点 B 作直线 l 的垂线,垂足 为 A,则以 AB 为直径的圆的圆心 C 的横坐标为(　　). A.1 B.2 C.3 D.4 解析 由题意得直线 AB 的方程为 y-0=-1 2(x-5),联立方程组 {푦 - 0 = - 1 2(x - 5), 푦 = 2푥, 解得{푥 = 1, 푦 = 2,所以 A(1,2),所以线段 AB 的中点 坐标为 C(3,1),则点 C 的横坐标为 3,故选 C. 答案 C 1.(2018 年陕西省高三教学质量检测试题(二))已知☉C:x2+y2-4x- 6y-3=0,点 M(-2,0)是☉C 外一点,则过点 M 的圆的切线的方程是 (　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.x+2=0,7x-24y+14=0 B.y+2=0,7x+24y+14=0 C.x+2=0,7x+24y+14=0 D.y+2=0,7x-24y+14=0 解析 ☉C:x2+y2-4x-6y-3=0,即(x-2)2+(y-3)2=16,故圆心为 (2,3),半径为 4.点 M(-2,0)是☉C 外一点,显然 x+2=0 是过点 M 的圆 的一条切线, 设另一条切线为 y=k(x+2),则|2푘 - 3 + 2푘| 1 + 푘2 =4,解得 k=- 7 24,所以切 线方程为 7x+24y+14=0. 故选 C. 答案 C 2.(云南省保山市 2018 届普通高中高三毕业生第二次市级)若 x,y 满 足约束条件(x-1)2+(y-1)2≤1,则 푥2 + 푦2的最小值为(　　). A. 2-1 B.3-2 2 C. 2+1 D.3+2 2 解析 (x-1)2+(y-1)2≤1 表示的是以(1,1)为圆心,1 为半径的圆 上及其圆内部的点,而 푥2 + 푦2= (푥 - 0)2 + (y - 0)2的几何意义是 点(x,y)到原点的距离,所以 푥2 + 푦2的最小值为 2-1,故选 A. 答案 A 3.(山西省 2018 届高三第一次模拟考试)若点 P 为圆 x2+y2=1 上的一 个动点,点 A(-1,0),B(1,0)为两个定点,则|PA|+|PB|的最大值为 (　　). A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 解析 ∵∠APB=90°,∴|PA|2+|PB|2=4, 由不等式可得(|푃퐴| + |푃퐵| 2 )2 ≤|푃퐴|2 + |PB|2 2 =2, ∴|PA|+|PB|≤2 2,当且仅当|PA|=|PB|= 2时,“=”成立,所以 |PA|+|PB|的最大值为 2 2.故选 B. 答案 B 4.(安徽省淮南市 2018 届高三第二次模拟考试)过抛物线 y2=4x 的焦 点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,分别过 A,B 作准线的垂线,垂足分 别为 A1,B1 两点,以 A1B1 为直径的圆 C 过点 M(-2,3),则圆 C 的方程为 (　　). A.(x+1)2+(y-2)2=2 B.(x+1)2+(y+1)2=17 C.(x+1)2+(y-1)2=5 D.(x+1)2+(y+2)2=26 解析 由题意知抛物线的准线方程为 x=-1,焦点 F(1,0). 当直线 AB 的斜率不存在时,得圆 C 的方程为(x+1)2+y2=4,不符合 题意,当直线 AB 的斜率存在时,设 AB 的方程为 y=k(x-1)(k≠0),联 立方程组{푦2 = 4x, 푦 = 푘(푥 - 1),∴y2-4 푘y-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4 푘,y1y2=-4. ∴|y1-y2|= (푦1 + 푦2)2 - 4푦1푦2=4 1 푘2 + 1. ∴以 A1B1 为直径的圆 C 的圆心为( -1,2 푘),半径为 2 1 푘2 + 1. ∴圆 C 的方程为(x+1)2+(푦 - 2 푘)2 =4( 1 푘2 + 1). 把(-2,3)代入圆 C 的方程得 1+(3 - 2 푘)2 =4( 1 푘2 + 1),解得 k=2. ∴圆 C 的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.故选 C. 答案 C 5.(河南安阳 2018 届高三第二次模拟考试)已知圆 C1:x2+y2-kx+2y=0 与圆 C2:x2+y2+ky-4=0 的公共弦所在直线恒过定点 P(a,b),且点 P 在 直线 mx-ny-2=0 上,则 mn 的取值范围是(　　). A.(0,1 4) B.(0,1 4] C.( -∞,1 4) D.( -∞,1 4] 解析 将 x2+y2-kx+2y=0 与 x2+y2+ky-4=0 相减,得公共弦所在的 直线方程为 kx+(k-2)y-4=0,即 k(x+y)-(2y+4)=0.由{2푦 + 4 = 0, 푥 + 푦 = 0 得 {푥 = 2, 푦 = -2, 所以定点为 P(2,-2),因此 2m+2n-2=0, 所以 m+n=1,mn≤(푚 + 푛 2 )2 =1 4,选 D. 答案 D 6.(江西上饶市 2018 届高三上学期第一次模拟考试)已知点 A 是抛物 线 y2=2px(p>0)上的一点,以其焦点 F 为圆心,|FA|为半径的圆交抛物 线的准线于 B,C 两点,若∠BFC=θ 且满足 2sin2θ+sin θ-sin 2θ=3cos θ,当△ABC 的面积为32 3 时,则实数 p 的值为(　　). A.4 B.4 2 C.8 D.8 2 解析 如图所示, 由 2sin2θ+sin θ-sin 2θ=3cos θ, 移项得 sin θ-sin 2θ=3cos θ-2sin2θ, 化简为 sin θ-2sin θcos θ=3cos θ-2+2cos2θ, 即 sin θ(1-2cos θ)=(cos θ+2)(2cos θ-1), 可得(2cos θ-1)(sin θ+cos θ+2)=0, 又 sin θ+cos θ+2>0, 故 cos θ=1 2,θ=π 3. 又由图知|EF|=p,则在△EFB 中,|BC|=2|BE|=2ptan휃 2. 设点 A 到 BC 的距离为 d,则 d=|AF|=|BF|,|BF|= 푝 cos휃 2 ,S△ABC=1 2 |BC|·d=1 2·2ptan휃 2· 푝 cos휃 2 =2 3p2=32 3 ,解得 p=4,故选 A. 答案 A 7.(四川省德阳市 2018 届高三二诊考试)已知双曲线푥2 푎2-푦2 푏2 =1(a>0,b>0)的离心率为 2,其一条渐近线被圆(x-m)2+y2=4(m>0)截 得的线段长为 2 2,则实数 m 的值为(　　). A.3 B.1 C. 2 D.2 解析 双曲线푥2 푎2-푦2 푏2=1(a>0,b>0)的离心率为 2, 则푐 푎= 2,∴c2=2a2,∴a2+b2=2a2,∴a=b. 不妨设其一条渐近线为 x-y=0, 圆(x-m)2+y2=4(m>0)的圆心为(m,0),半径为 2, 双曲线푥2 푎2-푦2 푏2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-m)2+y2=4(m>0)截 得的线段长为 2 2, ∴圆心到渐近线的距离为 4 - ( 2)2=|푚| 2 , ∴m=2,故选 D. 答案 D 8.(浙江省金华十校 2018 年 4 月高考模拟考试)已知椭圆푥2 푎2+푦2 푏2 =1(a>b>0)经过圆 x2+y2-4x-2y=0 的圆心,则 ab 的取值范围是(　　). A.[1 4, + ∞) B.[4,+∞) C.(0,1 4] D.(0,4] 解析 将 x2+y2-4x-2y=0 化为(x-2)2+(y-1)2=5,可知圆心坐标为 (2,1),代入椭圆方程,得 4 푎2+ 1 푏2=1. ∵ 4 푎2+ 1 푏2=1≥2 4 푎2 × 1 푏2= 4 푎푏, ∴ab≥4,当且仅当 b2=2,a2=8 时等号成立, ∴ab 的取值范围是[4,+∞),故选 B. 答案 B 9.(山东省实验中学 2015 级第二次模拟考试)已知双曲线푥2 푎2-푦2 푏2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,e 为双曲线的离心率,P 是 双曲线右支上的点,△PF1F2 的内切圆的圆心为 I,过 F2 作直线 PI 的 垂线,垂足为 B,则 OB=(　　). A.a B.b C.ea D.eb 解析 如图所示,延长 F2B 将 PF1 于点 C,由题意知,F1(- c,0),F2(c,0), ∵P,I,B 三点共线,F2C⊥PB,∠CPB=∠F2PB,∴△PCF2 是一个等腰 三角形,∴PC=PF2,∴点 B 为 F2C 的中点.又点 O 为 F1F2 的中点,|PF1|- |PF2|=2a, ∴在△F1CF2 中,OB=1 2CF1=1 2(PF1-PC)=1 2(PF1-PF2)=1 2×2a=a.故选 A. 答案 A 10.(河北省石家庄市 2018 届高三第一次模拟考试试题)已知 F1、F2 分别为双曲线푥2 푎2-푦2 푏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与双曲 线的右支交于 A,B 两点,△AF1F2 的内切圆半径为 r1,△BF1F2 的内切 圆半径为 r2,若 r1=2r2,则直线 l 的斜率为(　　). A.1 B. 2 C.2 D.2 2 解析 设△AF1F2 的内切圆圆心为 I1,△BF1F2 的内切圆圆心为 I2, 边 AF1,AF2,F1F2 上的切点分别为 M,N,E,易知 I1,E 的横坐标相等,则 |AM|=|AN|,|F1M|=|F1E|,|F2N|=|F2E|. 由|AF1|-|AF2|=2a,即|AM|+|MF1|-(|AN|+|NF2|)=2a,得|MF1|- |NF2|=2a,即|F1E|-|F2E|=2a,记 I1 的横坐标为 x0,则 E(x0,0),于是 x0+c-(c-x0)=2a,得 x0=a. 同理,内心 I2 的横坐标也为 a,则有 I1I2⊥x 轴, 设直线 l 的倾斜角为 θ,则∠OF2I2=휃 2,∠I1F2O=90°-휃 2, 则 tan휃 2= 푟2 퐹2E,tan∠I1F2O=tan(90° - 휃 2)= 1 tan휃 2 = 푟1 퐹2E.∵r1=2r2,∴tan2 휃 2=1 2,tan휃 2= 2 2 . ∴tan θ= 2tan휃 2 1 - tan2휃 2 =2 2. 故选 D. 答案 D 11.(河北省衡水中学 2018 届高三数学三轮复习系列七)过抛物线 y= 푥2 4 的焦点引圆 x2+y2-6x+8=0 的两条切线所形成的角的正切值 为　　　　. 解析 如图所示,抛物线的焦点为 A(0,1),圆心为 B(3,0),半径为 1, 设两条切线所成的角∠CAD=2∠CAB=2θ,而 tan θ=퐵퐶 퐴퐶=1 3,所以 tan 2θ= 2tan휃 1 - tan2θ = 2 3 1 - (1 3)2=3 4. 答案 3 4 12.(山东省枣庄市 2018 届高三第二次模拟考试)已知圆 M 与直线 x- y=0 及 x-y+4=0 都相切,且圆心在直线 y=-x+2 上,则圆 M 的标准方程 为　　　　　　　. 解析 由题意可知圆心在直线 y=-x+2 上,设圆心为(a,2-a), 因为圆 M 与直线 x-y=0 及 x-y+4=0 都相切, 所以圆心到两条直线的距离相等,即|2푎 - 2| 2 =|2푎 + 2| 2 ,解得 a=0,即 圆心为(0,2). 又 r=| - 2| 2 = 2,所以圆 M 的标准方程为 x2+(y-2)2=2. 答案 x2+(y-2)2=2 13.在圆 x2+y2=4 上任取一点,则该点到直线 x+y-2 2=0 的距离 d∈[0,1]的概率为　　　　. 解析 由题意知圆心(0,0)到直线 x+y-2 2=0 的距离为| - 2 2| 1 + 1 =2, 则直线 x+y-2 2=0 与圆 x2+y2=4 相切. 设直线 x+y+m=0 与直线 x+y-2 2=0 的距离为 1,则|푚 + 2 2| 2 =1,∴m=- 2或 m=-3 2(舍去). 如图所示, 设直线 x+y- 2=0 与圆交于 A,B 两点,作 OD⊥AB 由题意可得 sin∠OAD=푂퐷 푂퐴=1 2,故∠OAD=30°, 则∠AOB=180°-30°×2=120°, 由题意可知在劣弧퐴퐵上的点均为满足要求的点. 由角度型几何概型公式可得满足题意的概率为120° 360°=1 3. 答案 1 3 14.(河南省南阳市第一中学 2018 届高三第十二次考试)已知 AB 为圆 C:x2+y2-2y=0 的直径,点 P 为直线 y=x-1 上任意一点,则|푃퐴|2+|푃퐵 |2 的最小值为　　　　. 解析 圆 C 的方程可化为 x2+(y-1)2=1,可知圆的半径为 1,|퐶퐴 |=|퐶퐵|=1.又圆心(0,1)到直线 y=x-1 的距离 d= 2 2= 2,|푃퐶|的最小 值为 2,所以|푃퐴|2+|푃퐵|2=(푃퐴+푃퐵)2-2푃퐴·푃퐵=4푃퐶2-2(푃퐶 +퐶퐴)·(푃퐶+퐶퐵)=4푃퐶2-2(푃퐶+퐶퐴)·(푃퐶-퐶퐴)=2푃퐶2+2퐶퐴2=2푃퐶2 +2≥2×2+2=6,所以|푃퐴|2+|푃퐵|2 的最小值为 6. 答案 6 15.(山西省榆社中学 2018 届高三诊断性模拟考试)设 m>0,双曲线 M: 푥2 4 -y2=1 与圆 N:x2+(y-m)2=5 相切,A(- 5,0),B( 5,0),若圆 N 上存在 一点 P 满足|PA|-|PB|=4,则点 P 到 x 轴的距离为　　　　. 解析 由题意知,a=2,c= 5,点 A,B 分别为双曲线的左,右焦点. 因为点 P 满足|PA|-|PB|=4=2a,所以点 P 是双曲线与圆的切点,且在 双曲线的右支上.由圆的方程可知其圆心为 C(0,m),半径为 5.联立 {푥2 4 - 푦2 = 1, 푥2 + (y - m)2 = 5, 消去 x 得 5y2-2my+m2-1=0.由 Δ=(-2m)2- 4×5×(m2-1)=0,且 m>0,解得 m= 5 2 ,则 5y2-2× 5 2 y+( 5 2 )2 -1=0,解得 y= 5 10,即所求距离为 5 10. 答案 5 10