江苏省南通市2020届高三下学期阶段性模拟考试 数学

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江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试 数 学 试 题 ‎ 2020.05‎ ‎(总分160分，考试时间120分钟)‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1．已知集合，，则 ▲ ．‎ ‎2．设复数（为虚数单位），则的共轭复数为 ▲ ．‎ ‎3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线2x﹣y﹣1＝0上方的概率为　 　．‎ 开始 输出n 输入p 结束 n←1, S←0‎ S < p n←n + 1‎ S←S + 2n N Y ‎（第5题）‎ ‎4．在平面直角坐标系中，若抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ．‎ ‎5．执行右边的程序框图，若p＝14，则输出的n的值 为 ▲ ．‎ ‎6．函数的值域为 ▲ ．‎ ‎7．等差数列中，若， 则 ▲ ．‎ ‎8．现用一半径为10 cm，面积为80p cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm3．‎ ‎9．已知，且，，则的值为 ▲ ．‎ ‎10．已知实数满足，则的取值范围是 ▲ ．‎ ‎11．若函数是偶函数，则实数a的值为 ▲ ．‎ ‎12．在△ABC中，，，则的值为 ▲ ．‎ ‎13．已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数m的取值范围是 ▲ ．‎ ‎14．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 ▲ ．‎ 二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）‎ ‎15．(本小题满分14分)‎ 已知，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设函数，，求函数的单调增区间． ‎ ‎16．(本小题满分14分)‎ 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，， 交 于，锐角所在平面⊥底面，，点在侧棱上，且．‎ ‎(第16题图)‎ O ‎ （1）求证：平面；‎ ‎ （2）求证：．‎ ‎17．(本小题满分14分)‎ 在平面直角坐标系xOy中，圆O：，直线l：．为 圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P．‎ ‎（1）若MN∥l，求△PMN的面积． ‎ ‎（2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明．‎ ‎18．(本小题满分16分)‎ 如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。问：如何剪裁，才能使得铁皮圆柱的体积最大？‎ ‎19．(本小题满分16分)‎ 设数列的前项和，对任意，都有（为 常数）．‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）当时，‎ ‎ （ⅰ）求证：数列是等差数列；‎ ‎（ⅱ）若对任意，必存在使得，已知，‎ 且，求数列的通项公式．‎ ‎20．(本小题满分16分)‎ ‎ 若实数满足，则称为函数的不动点．‎ ‎（1）求函数的不动点；‎ ‎（2）设函数，其中为实数．‎ ‎① 若时，存在一个实数，使得既是的不动点，又是 的不动点（是函数的导函数），求实数的取值范围；‎ ‎② 令，若存在实数，使，，， 成各项都为正数的等比数列，求证：函数存在不动点．‎ 江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试 数学附加题 ‎ 2020.05‎ ‎（本部分满分40分，考试时间30分钟）‎ ‎21．[选做题]（本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎ A.（选修4-2：矩阵与变换）（本小题满分10分）‎ 已知矩阵M＝，对应的変换把点(2,1)变成点(7、－1).‎ ‎(1) 求a,b的特征值.‎ ‎ (2) 求矩阵M的特征值.‎ B.（选修4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分）‎ 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中 取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方 程是ρ＝4cos θ，求直线l被圆C截得的弦长．‎ C．(选修4-5：不等式选讲）（本小题满分10分）‎ 对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎ [必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 已知(1＋x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n．‎ ‎（1）求a1＋a2＋a3＋…＋a2n的值；‎ ‎ （2）求－＋－＋…＋－的值．‎ ‎ ‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢．此时，‎ 两人正在游戏，且知甲再赢m（常数m1）次就获胜，而乙要再赢n（常数nm）‎ 次才获胜，其中一人获胜游戏就结束．设再进行次抛币，游戏结束．‎ ‎（1）若m，n，求概率；‎ ‎（2）若，求概率（…）的最大值（用m表示）．‎ ‎ ‎ 江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试 数学参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.‎ ‎1. 2. 3. 4. 5. 4 6. ‎ ‎7. 40 8. 9. 10. [1,7] 11. 12. 1 13. 14. ‎ 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.‎ ‎15．(本小题满分14分)‎ 解：（1）由，得，‎ 即，所以． ‎ 因为，所以，所以，即． ‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以 ‎ ‎． ‎ 令， ‎ 得，所以函数的单调增区间是，．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 证明：（1）如图，连接， ‎ 因为，，‎ 所， ………2分 又，‎ 所以， …………4分 又平面， 平面，‎ 所以平面. ……… 6分 ‎（2）在平面内过作于，‎ 因为侧面底面，平面平面，‎ 平面，所以平面， …………………8分 又平面，所以， …………………10分 因为是锐角三角形，所以与不重合，‎ 即和是平面内的两条相交直线，‎ 又，所以平面， …………………12分 又平面，所以． …………………14分 ‎17．（本小题满分14分）‎ 解：（1）因为MN∥l，设直线MN的方程为， ‎ 由条件得，，解得，即直线MN的方程为． ‎ 因为，，所以，即，‎ 所以． ‎ 又因为直线与直线间的距离，即点到直线的距离为3，‎ 所以△PMN的面积为． ‎ ‎（2）直线PM与圆O相切，证明如下： ‎ 设，则直线的斜率，‎ 因为，所以直线的斜率为，‎ 所以直线的方程为． ‎ 联立方程组解得点的坐标为，‎ 所以，‎ 由于，，‎ 所以 ‎， ‎ 所以，即，所以直线PM与圆O相切，得证． ‎ ‎18. 设正三角形长为，如图，设，则，……………3分 若以为底、为高，则圆柱底面半径 ‎，……………… 6分 当时，；当时，；‎ 所以……………………………………………………………8分 若以为底、为高，则圆柱底面半径………………………11分 ‎，‎ ‎，令，得、‎ 当时，；当时，；‎ 所以 ………………………………………………………14分 因为，‎ 所以以为底、为高，且时，体积最大。……………… 16分 ‎19．解：（1）当，，时，．①‎ 当时，，所以．‎ 当时，．②‎ ‎①－②得：．因为，所以，所以，‎ 所以是以1为首项，3为公比的等比数列，‎ 所以．‎ ‎（2）（ⅰ）当，，时，．③‎ 当时，．④‎ ‎③－④得：，⑤‎ 所以．⑥‎ ‎⑤－⑥得：．‎ 因为，所以即，‎ 所以是等差数列．‎ ‎（ⅱ）因为，所以．‎ 因为，所以，所以．‎ 因为，所以．又因为，‎ 所以，所以或．‎ 当时，，，，‎ 所以 不符合题意．‎ 当时，，，‎ 所以满足题意．‎ 所以．‎ ‎20.解：（1）由题意可知，．‎ 令，．故．…………………………2分 列表：‎ x ‎1‎ ‎0‎ 极大值 所以，方程有唯一解．‎ 所以函数的不动点为．………………………………………………4分 ‎（2）① 由题意可知………………………………………………6分 消去，得，，所以．…………………………8分 ‎② ．‎ 由题意知，，，成各项都为正数的等比数列，‎ 故可设公比为，则 故方程有三个根，，．………………………………11分 又因为，所以为二次函数，‎ 故方程为二次方程，最多有两个不等的根．则，，中至少有两个值相等．……………………………………………………………………13分 当时，方程有实数根，也即函数存在不动点，符合题意；‎ 当时，则，，故，又因为各项均为正数，则，也即，同上，函数存在不动点，符合题意；‎ 当时，则，，同上，函数存在不动点，符合题意；‎ 综上所述，函数存在不动点．…………………………………………………16分 附加题参考答案 ‎21A. ‎ B．解：直线l的参数方程 (t为参数)化为直角坐标方程是y＝x－3，…… 2分 圆C的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x2＋y2－4x＝0． …… 5分 圆C的圆心(2，0)到直线x－y－3＝0的距离为d＝＝． …… 7分 又圆C的半径r＝2，‎ 所以直线l被圆C截得的弦长为2＝． …… 10分 C. 解：设，即 ‎ 所以的最小值为，所以． ‎ ‎ 当时，不等式即为，解得，矛盾；‎ ‎ 当时，不等式即为，解得，所以；‎ ‎ 当时，不等式即为，解得，所以．‎ ‎ 综上，实数的取值范围是．‎ ‎22. ‎ ‎（1）令x＝0得，a0＝1；令x＝1得，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n．‎ 于是a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n－1． ‎ ‎（2）ak＝C，k＝1，2，3，…，2n，‎ 首先考虑＋＝＋＝ ‎＝＝，‎ 则＝(＋)，‎ 因此－＝(－)． ‎ 故－＋－＋…＋－ ‎＝(－＋－＋…＋－)‎ ‎＝(－)＝(－1)＝－． ‎ ‎23．(本小题满分10分)‎ 解：（1）依题意， ． ‎ ‎（2）依题意，（…）．‎ 设 ‎ ‎ ‎ 则．‎ 而 （＊）‎ ‎．（＃）‎ 因为的判别式 ‎（显然在时恒成立）， ‎ 所以．‎ 又因为，所以（＃）恒成立，从而（＊）成立．‎ 所以，即(当且仅当时，取“=”)，‎ 所以的最大值为，‎ 即的最大值为． ‎