2020届二轮复习求解曲线的离心率的值或范围问题学案（全国通用）

2020届二轮复习求解曲线的离心率的值或范围问题学案（全国通用）

专题 01 求解曲线的离心率的值或范围问题 一．方法综述 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况： ①根据题意求出 的值，再由离心率的定义 直接求解； ②由题意列出含有 的方程(或不等式)，借助于 消去 b，构造 的齐次式，求出 ； ③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解； ④根据圆锥曲线的统一定义求解． 解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标 等． 二．解题策略 类型一 直接求出 或求出 与 的比值，以求解 【例 1】【2018 黑龙江省佳木斯一中五调】在等腰梯形 中， ， ， ， ，以 、 为焦点的椭圆经过 、 两点，则此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【指点迷津】本题主要考查椭圆的离心率，通过建立直角坐标系，将条件转化为坐标系中的问题，在等腰 梯形 中，结合条件求出点 的坐标，利用椭圆定义，求解椭圆的 和 ，求解椭圆的离心率. , ,a b c 2 2 2 2 2 2 2e = = =1 ( )c a b b a a a − − , ,a b c 2 2 2b a c＝ － ,a c e 0a x a− ≤ ≤ ca, a b e ABCD / /AB CD tan 2ABC∠ = 6AB = 2CD = A B C D 2 2 5− 2 2 1 2 6 2 ABCD C a c 【举一反三】【2018 广东中山上期期末复习】已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 和 ，若 是 、 的等比中项， 是 与 的等差中项，则 椭圆的离心率是________. 【答案】 类型二 构造 的齐次式，解出 【例 2】【2017 届山东省济宁市高三 3 月模拟】已知双曲线 的左右焦点分别为 ，焦距为 ，抛物线 的准线交双曲线左支于 两点，且 为坐标 原点），则该双曲线的离心率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得，当 ，则 ，又因为 ， 则 .* 【指点迷津】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用抛物线和双曲线的定义，以及及联立方程求交点 的方法，考查化简整理的运算能力，其中对 的齐次式处理很关键， a c， e 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 2 2 1x y m n − = ( 0, 0)m n> > ( ),0c− ( ),0c c a m 2n 22m 2c 1 2 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 2,F F 2 ( 0)c c > 2 2y cx= ,A B 0120 (AOB O∠ = 3 1+ 2 2 1+ 5 1+ ( )2 2 2 2 2 4 2 4 c a bcx y a − = − ⇒ = ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 , , ,2 4 2 4 c a b c a bc cA Ba a    − −   − − −        120AOB∠ = ° ( )2 2 2 4 22 4 2 2 4 4 2 4 4 tan 3 8 4 0 8 4 03 2 c a b c ca c a c ac a a π − = = ⇒ − + = ⇒ − + = 4 2 2 28 4 0 4 2 3(4 2 3 1, ) 4+2 3 3 1e e e e e∴ − + = ⇒ = ± − < ⇒ = ⇒ = +舍去 4 2 4 2 2 4 4 28 4 0 8 4 0c cc a c a a a − + = ⇒ − + = 对待此类型的方程常见的方法就是方程左右两边同除一个参数的最高次项即可转化成一个一元二次方程， 化简整理的运算能力是解决此题的关键. 【举一反三】已知椭圆和双曲线有共同焦点 ， 是它们的一个交点，且 ，记椭圆和双 曲线的离心率分别为 ，则 的最大值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【指点迷津】本题综合性较强，难度较大，运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出 与 、 的数量关系，然后再利用余弦定理求出与 的数量关系，最后利用基本不等式求得范围. 1 2,F F P 1 2 3F PF π∠ = 1 2,e e 1 2 1 e e 2 3 3 4 3 3 1 2a a、 1PF 2PF c 类型三 寻找特殊图形中的不等关系或解三角形 【例 3】【四川成都石室中 2017-2018 年度 10 月月考】设椭圆 的左、右焦点分别 为 ，其焦距为 ，点 在椭圆的外部，点 是椭圆 上的动点，且 恒 成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 所以椭圆离心率的取值范围是 .选 D. * 【指点迷津】（1）解决圆锥曲线问题时要注意常见结论的运用，如在本题中用到了椭圆的通径（过椭圆的 焦点且垂直于长轴的弦）长的结论. （2）注意平面几何知识的运用，对于本题中的恒成立问题，只需要 的最大值小于 即可， ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 1 2F F、 2c , 2 aQ c     P C 1 1 2 5 3PF PQ F F+ < 30, 4      2 3,2 4       2 ,12       3 ,14      3 ,14      1PF PQ+ 1 2 5 3 F F 在求 得最大值时可用平面几何的有关知识解决. 【举一反三】【山东省日照市 2017 届高三下期二模】已知双曲线 C： 的左、右焦 点分别为 ，左、右顶点分别为 A、B，虚轴的上、下端点分别为 C、D，若线段 BC 与双曲线的渐近线 的交点为 E，且 ，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 【答案】C 【指点迷津】本题考查是双曲线离心率求解．解决本题要利用双曲线中的几何特征，寻找 、 的等量关 系．用 、 、 分别表示出点的坐标 ， ，则直线 方程： ，联立渐近 线 ，求出 ，进而 是线段 的中点，再根据 ，得到 是等腰三 角形，则 ，即可建立 、 的等量关系，即可求出离心率 ． 类型四 利用圆锥曲线性质 【例 4】【湖南省长郡中 2018 届高三月考（五）】已知 ， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一 个公共点，且 ，设椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，则 ， 的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 1PF PQ+ 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 2,F F 1 1BF E CF E∠ = ∠ 1+ 6 1+ 5 1+ 3 1+ 2 a c a b c ( )0,C b ( ),0B a BC by x ba = − + by xa = ,2 2 a bE      E BC 1 1BF E CF E∠ = ∠ 1F BC∆ 1 1FC F B= a c e 1F 2F P 1 2 3F PF π∠ = 1e 2e 1e 2e 1 2 1 3e e= 2 2 1 2 1 43e e+ = 2 2 1 1 1 3 4e e + = 2 2 1 13 4e e+ = 【指点迷津】本题考查了椭圆与双曲线基本量的关系，考查二级结论焦点三角形的面积公式，及离心率的 计算，属于中档题. 【举一反三】已知椭圆 E： 的短轴的两个端点分别为 A，B，点 C 为椭圆上异于 A， B 的一点，直线 AC 与直线 BC 的斜率之积为 ，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设 C(x0，y0)，A(0，b)，B(0，－b)，则 .故 又 kAC·kBC＝ ，故 a2＝4b2，c2＝a2－b2＝3b2， 因此 e＝ ，故选 A. 【指点迷津】研究解几问题，一是注重几何性，利用对称性减少参数；二是巧记一些结论，简约思 维、简化运算，如本题利用 关于原点对称， 为椭圆上三点). 类型五 利用平面几何性质 【例 5】【湖北省重点高中联考协作体 2017-2018 期中考试】设点 为双曲线 （ ， ） 上一点， 分别是左右焦点， 是 的内心，若 ， ， 的面积 满足 ，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. 4 D. ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 1 4 − 3 2 3 4 1 2 2 4 2 2 0 0 2 2 1x y a b + = ( )2 2 2 2 0 02 ax b yb = − 2 2 0 2 0 1 4 y b x − = − 3 2 2 2 ,( ,PA PB bk k A Ba ⋅ = − , ,A B P P 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > 1 2,F F I 1 2PF F∆ 1IPF∆ 2IPF∆ 1 2IF F∆ 1 2 3, ,S S S ( )1 2 32 S S S− = 3 2 【答案】A 其中 r 是 的内切圆的半径. ∵ ， ∴ − = ， 两边约去 r 得： ， 根据双曲线定义，得 ， ∴ 离心率为 . 故选：A. 【指点迷津】本题主要考查双曲线的简单性质，求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既 使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时， 要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.本题是利用点到直线的距离等于圆半径，中位线定理， 及双曲线的定义列式求解即可. 1 2IF F∆ ( )1 2 32 S S S− = 1PF r 2PF r 1 2 1 2 F F r 1 2 1 2 1 2PF PF F F− = 1 2 1 22 , 2PF PF a F F c− = = 2a c= ⇒ 2ce a = = 【举一反三】【2017 届湖南省郴州市高三第四次质量检测】已知椭圆 的右焦点为 为 坐标原点， 为轴上一点，点 是直线 与椭圆 的一个交点，且 ，则椭圆 的离心率 为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【指点迷津】对于求离心率的题，重要的是根据几何关系，或代数关系建立关于 或 的等式，再进一 步求出离心率. 常构建等式的方法有：（1）利用圆锥曲线定义（2）利用几何关系（3）利用点在曲线上. 类型六 利用数形结合 【例 6】【2017 届炎德英才大联考长郡中一模】已知 是双曲线 上的三个点， 经过原点 ， 经过右焦点 ，若 且 ，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B , ,A B C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > AB O AC F BF AC⊥ 2 BF CF= 5 3 29 3 29 2 9 4 【指点迷津】根据题意画出草图，分析出 为矩形时解题关键，然后根据垂直和已知边长关系及双曲 线定义写出每条线段长度，最后借助勾股定理形成等式求解离心率即可. 【 举 一 反 三 】【 2017 届 山 西 省 临 汾 一 中 、 忻 州 一 中 、 长 治 二 中 等 五 校 联 考 】 双 曲 线 的右焦点和虚轴上的一个端点分别为 ，点 为双曲线 左支上一点，若 周长的最小值为 ，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设双曲线的右焦点为 ， 的周长为 ， 而 ，所以三角形周长的最小值是 ，解得： ， ，解得： ，故选 B. 【指点迷津】解析几何中的最值问题，包括几何法和代数法，如几何法经常涉及圆锥曲线的定义和比较明 显的平面几何的定理和性质，所以做题时要充分考虑这些定义来进行转化，比如椭圆和双曲线定义涉及两 条焦半径，所以给出 ，就联想 ，抛物线有 ，就联想到准线的距离. 'AFBF 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > ,F A P C APF∆ 6b C 56 8 85 7 85 6 10 3 'F AFP∆ ' 2AF AP PF AF AP PF a+ + = + + + ' 'AP PF AF+ ≥ ' 2AF AF a+ + = 2 22 2 6b c a b+ + = 7 6b a= ( ) 2 2 2 2 2 2 2 8549 36 49 36 49 cb a c a a a = ⇔ − = ⇔ = 85 7 ce a = = 1PF 2PF PF