甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高一下学期4月月考数学试题

甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高一下学期4月月考数学试题

兰州一中2019-2020学年度第二学期四月阶段检测 高一数学 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）‎ ‎1．下列各个角中与终边相同的是 　　‎ A． B． C． D．‎ ‎2．用秦九韶算法计算多项式在时的值时，的为 　　‎ A．2 B．‎19 ‎C．14 D．33‎ ‎3．下列程序执行后输出的结果是 　　‎ ‎ ‎ A．1 B．‎0 ‎C．2 D．‎ ‎4．下列各进制中，最大的值是 　　‎ A． B． C． D．‎ 5． 从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除 ‎ ‎4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率为 　　‎ A．不全相等 B．均不相等 ‎ C．都相等，且为 D．都相等，且为 ‎6．一钟表的秒针长，经过，秒针的端点所走的路线长 　　‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 如果数据，，，的平均数是，方差是，则，，，的平均数和方 差分别是 　　‎ A．和 B．和 ‎ C．和 D．和 ‎8．已知，则角的终边在 　　‎ A．第二象限 B．第三象限 ‎ C．第二象限或第四象限 D．第四象限 ‎9．利用随机数表法对一个容量为500编号为000，001，002，，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第5列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第11行至第15行），根据下图，读出的第3个数是 　　‎ A．841 B．‎114 ‎C．014 D．146‎ ‎10．如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是 　　 ‎ A． ‎？ B．？ C．？ D．？‎ ‎11．考虑一元二次方程，其中，的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，则方程有实根的概率为 　　‎ A． B． C． D．‎ 12． ‎《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积（弦乘矢矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称（弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差．现有一弧田，其弦长等于，其弧所在圆为圆，若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为，则 ‎　　‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）‎ ‎13. 在空间直角坐标系中，设点是点，，关于坐标平面的对称点， 点，2， ‎ 关于轴对称点，则线段的长度等于　 　．‎ 14． 甲、乙、丙三人进行传球练习，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的概率是　　．‎ ‎15．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《四江月》： “平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地”某教师根据这首词的思想设计如图形，已知，，，， ， ， ，则在扇形中随机取一点求此点取自阴影部分的概率　 ．‎ ‎ ‎ ‎16．设函数，则的定义域为　 ．‎ 三、解答题（本大题共6 小题，共70分）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：‎ 甲：82，81，79，78，95，88，93，84； 乙：92，95，80，75，83，80，90，85‎ (1) 用茎叶图表示这两组数据，并计算平均数与方差；‎ ‎(2) 现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 随着我国经济的发展，居民收入逐年增长．某地区2015年至201‎ ‎9年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如表：‎ 年份 ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 年份代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 人均纯收入 ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ (1) 求关于的线性回归方程；‎ (2) 利用(1)中的回归方程，分析2015年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入 ‎ 的变化情况，并预测2020年该地区农村居民家庭人均纯收入为多少？‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 某班同学利用国庆节进行社会实践，对，岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：‎ 组数 分组 低碳组的人数 占本组的频率 第一组 ‎，‎ ‎120‎ ‎0.6‎ 第二组 ‎，‎ ‎195‎ 第三组 ‎，‎ ‎100‎ ‎0.5‎ 第四组 ‎，‎ ‎0.4‎ 第五组 ‎，‎ ‎30‎ ‎0.3‎ 第六组 ‎，‎ ‎15‎ ‎0.3‎ (1) 补全频率分布直方图，并求，，的值；‎ (2) 求年龄段人数的中位数和众数；‎ (3) 从，岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取 ‎ 3人作为领队，求选取的3名领队中年龄都在，岁的概率．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎(1) 已知函数，其中，，，1，，求函数的图象恰好经过第一、二、三象限的概率；‎ ‎(2) 某校早上开始上课，假设该校学生小张与小王在早上之间到校，且每人在该时间段内到校时刻是等可能的，求两人到校时刻相差10分钟以上的概率．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数，且．‎ (1) 求的值；‎ (1) 求的值．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知，，为的内角.‎ (1) 求证：；‎ (2) 若，求证：为钝角三角形.‎ 兰州一中2019-2020学年度第二学期四月阶段检测 高一数学 命题人:姚小娟 审题人：杨柳 ‎ 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）‎ ‎1．下列各个角中与终边相同的是 　　‎ A． B． C． D．‎ 答案 A.‎ 2． 用秦九韶算法计算多项式在时的值时，的为 ‎ 　　‎ A．2 B．‎19 ‎C．14 D．33‎ 答案 C．‎ ‎3．下列程序执行后输出的结果是 　　‎ A．1 B．‎0 ‎C．2 D．‎ 答案 A．‎ ‎4．下列各进制中，最大的值是 　　‎ A． B． C． D．‎ 答案 D．‎ ‎5．从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率为 ‎　　‎ A．不全相等 B．均不相等 ‎ C．都相等，且为 D．都相等，且为 答案 C．‎ ‎6．一钟表的秒针长，经过，秒针的端点所走的路线长 　　‎ A． B． C． D．‎ 答案 ．‎ 7． 如果数据，，，的平均数是，方差是，则，，， ‎ 的平均数和方差分别是 　　‎ A．和 B．和 ‎ C．和 D．和 答案 B．‎ ‎8．已知，则角的终边在　　‎ A．第二象限 B．第三象限 ‎ C．第二象限或第四象限 D．第四象限 答案 ．‎ ‎9．利用随机数表法对一个容量为500编号为000，001，002，，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第5列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第11行至第15行），根据下图，读出的第3个数是 　　‎ A．841 B．‎114 ‎C．014 D．146‎ 答案 B．‎ ‎10．如图给出的是计算 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是　　‎ A．？ B．？ C．？ D．？‎ 答案 C．‎ ‎11．考虑一元二次方程，其中，的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，则方程有实根的概率为 　　‎ A． B． C． D．‎ 答案 A．‎ 12． ‎《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘， ‎ 并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积（弦乘矢矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称（弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差．现有一弧田，其弦长等于，其弧所在圆为圆，若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为，则　　‎ A． B． C． D．‎ 答案 ．‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）‎ ‎13．在空间直角坐标系中，设点是点，，关于坐标平面的对称点，点，2，关于轴对称点，则线段的长度等于　 　．‎ 答案 .‎ 14． 甲、乙、丙三人进行传球练习，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的概 率是 　　．‎ 答案 .‎ 15． 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《四江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地”某教师根据这首词的思想设计如图形，已知，，，，，，，则在扇形中随机取一点求此点取自阴影部分的概率　 　．‎ 答案 . ‎ 16． 设函数，则的定义域为　 ．‎ 答案 ‎ ‎ ‎ 三、解答题（本大题共6 小题，共70分）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：‎ 甲：82，81，79，78，95，88，93，84‎ 乙：92，95，80，75，83，80，90，85‎ ‎（1）用茎叶图表示这两组数据，并计算平均数与方差；‎ ‎（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．‎ 解：‎ ‎ ---------------------2分 根据所给的数据得到：，，，‎ ‎---------------------6分 ‎（2）因为甲、乙两位同学的平均数相等，但甲的方差比乙的方差小，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适. ------------------10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 随着我国经济的发展，居民收入逐年增长．某地区2015年至2019年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如表：‎ 年份 ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 年份代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 人均纯收入 ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎（1）求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）利用（1）中的回归方程，分析2015年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测2020年该地区农村居民家庭人均纯收入为多少？‎ 解：（1）由所给数据计算得，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，．‎ 故所求的回归方程为． --------------------6分 ‎（2）由（1）可知，，故2015年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加1.2千元．‎ 当时，．‎ 故预测2020年该地区农村居民家庭人均纯收入为10.8千元． --------------------12分 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．‎ ‎19．（本小题满分12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对，岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：‎ 组数 分组 低碳组的人数 占本组的频率 第一组 ‎，‎ ‎120‎ ‎0.6‎ 第二组 ‎，‎ ‎195‎ 第三组 ‎，‎ ‎100‎ ‎0.5‎ 第四组 ‎，‎ ‎0.4‎ 第五组 ‎，‎ ‎30‎ ‎0.3‎ 第六组 ‎，‎ ‎15‎ ‎0.3‎ ‎（1）补全频率分布直方图，并求，，的值；‎ ‎（2）求年龄段人数的中位数和众数；‎ ‎（3）从，岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，求选取的3名领队中年龄都在，岁的概率．‎ 解：（1）第二组的概率为，‎ 所以高为．频率直方图如右图：‎ 第一组的人数为，频率为，‎ 所以．‎ 由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为，‎ 所以，第四组的频率为，‎ 所以第四组的人数为，所以A=150×0.4=60．---------------------6分 ‎（2）中位数为35，众数为32.5 -------------------10分 ‎（3）因为，岁年龄段的“低碳族”与，岁年龄段的 ‎“低碳族”的比值为，‎ 所以采用分层抽样法抽取6人，，岁中有4人，，岁中有2人．‎ 由于从6人中选取3人作领队的所有可能情况共种，‎ 其中从，岁中的4人中选取3名领队的情况有种，‎ 故选取的3名领队中年龄都在，岁的概率为． ------------------12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎（1）已知函数，其中，，，1，，求函数的图象恰好经过第一、二、三象限的概率；‎ ‎（2）某校早上开始上课，假设该校学生小张与小王在早上之间到校，且每人在该时间段内到校时刻是等可能的，求两人到校时刻相差10分钟以上的概率．‎ 解：（1）若函数的图象恰好经过第一、二、三象限，‎ 则满足，即，即，‎ 当时，，或满足条件．‎ 当时，，满足条件．即函数图象过第一、二、三象限的，有3种组合，‎ ‎，，，1，，‎ ‎，的组合有种组合，对应的概率 -------------------6分 ‎（2）设小张与小王的到校时间分别为后第分钟，第分钟，‎ 则满足，‎ 由题意可画出图形，‎ 则总事件所占的面积为．‎ 两人到校时刻相差10分钟，‎ 则满足 作出对应的区域如图：‎ 由得，即，‎ 由，得，即，‎ 则三角形的面积，‎ 则阴影部分的面积和，‎ 则两人到校时刻相差10分钟以上的概率 ‎ -------------------12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ 解：（1）因为，‎ ‎，‎ ‎， --------------------3分 故. --------------------6分 ‎（2），‎ ‎． --------------------12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知，，为的内角.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求证：为钝角三角形.‎ 解(1)∵在中，， --------------------2分 ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴. --------------------6分 ‎(2)∵，‎ ‎∴即.‎ 又，，，∴，∴，‎ 即，或，，‎ ‎∴为钝角或为钝角，∴为钝角三角形． --------------------12分