宁夏六盘山高级中学2020届高三上学期期末考试数学（理）试题

宁夏六盘山高级中学2020届高三上学期期末考试数学（理）试题

‎2019-2020学年高三上学期期末数学试卷（理科）（B卷）‎ 一、选择题 ‎1.已知全集U=R， 集合A=， 则{ x|x≤0 }等于 A. A∩B B. A∪B C. ∁U（A∩B） D. ∁U（A∪B）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题,则,故选D 考点：集合的运算 ‎2.若是纯虚数，则的值为（ ）‎ A. ﹣7 B. C. 7 D. ﹣7或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据纯虚数得到，，即，再利用和差公式展开计算得到答案 ‎【详解】是纯虚数，故，‎ 所以，∴，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了纯虚数定义，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎3.已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 记向量与向量的夹角为，‎ 在上的投影为．‎ 在上的投影为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选B．‎ ‎4.下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. 若，则 B. 直线a，b为异面直线的充要条件是直线a，b不相交 C. “是“直线与直线互相垂直”的充要条件 D. 若命题p：””，则命题p的否定为：””‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断每个选项：当时，结论成立，故错误；直线a，b有可能平行，错误；‎ ‎，错误；正确，得到答案.‎ ‎【详解】对于A，只有当时，结论成立；‎ 对于B，直线a，b不相交，直线a，b有可能平行；‎ 对于C，直线与直线互相垂直时，；‎ 对于D，显然成立.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.‎ ‎5.从抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为且，设抛物线的焦点为F，则的面积为（ ）‎ A. 6 B. ‎8 ‎C. 15 D. 10‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设,则由|PM|=5,可知.‎ ‎6.已知函数是奇函数，当时，函数的图象与函数的图象关于对称，则（ ）.‎ A. -7 B. ‎-9 ‎C. -11 D. -13‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由x＞0时，函数f（x）的图象与函数y＝log2x的图象关于y＝x对称可得出，x＞0时，f（x）＝2x，从而得出x＞0时，g（x）＝2x+x2，再根据g（x）是奇函数即可求出g（﹣1）+g（﹣2）的值．‎ ‎【详解】∵x＞0时，f（x）的图象与函数y＝log2x的图象关于y＝x对称；‎ ‎∴x＞0时，f（x）＝2x；‎ ‎∴x＞0时，g（x）＝2x+x2，又g（x）是奇函数；‎ ‎∴g（﹣1）+g（﹣2）＝﹣[g（1）+g（2）]＝﹣（2+1+4+4）＝﹣11．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】考查奇函数的定义，以及互为反函数的两函数图象关于直线y＝x对称，指数函数和对数函数互为反函数的应用，属于中档题．‎ ‎7.将函数的图像向右平移（）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图像关于直线对称，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的平移和伸缩变换，求得变换后的解析式；根据对称轴代入即可求得的表达式，进而求得的最小值．‎ ‎【详解】将函数的图像向右平移（）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的倍后解析式变为 因为图像关于直线对称 所以 代入化简得，k∈Z 所以当k=0时，取得最小值为 所以选D ‎【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换，三角函数对称轴的应用，属于中档题．‎ ‎8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图可知此几何体是两个底面相同高也相同的圆锥的组合体．其中圆锥的底面半径为1,高也为1．所以此几何体的表面积为．故B正确．‎ 考点：三视图．‎ ‎9.若，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎,‎ 则 ‎,当且仅当取等号.‎ 所以选项是正确的.‎ 点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ ‎10.如图，棱长为2的正方体中，点E、F分别为、的中点，则三棱锥的外接球体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，三棱柱外接球的球心为的中点设为点O，利用勾股定理解得半径得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：在正方体中，连接，‎ 三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，‎ 在中，取中点H，连接，则为边的垂直平分线，‎ 所以的外心在上，设为点M，同理可得的外心N，‎ 连接，则三棱柱外接球的球心为的中点设为点O，‎ 由图可得，，又，‎ 可得，所以，解得，‎ 所以.‎ 故选：D. ‎ ‎【点睛】本题考查了三棱锥外接球问题，转化为三棱柱的外接球是解题的关键.‎ ‎11.椭圆与抛物线相交于点M，N，过点的直线与抛物线E相切于M，N点，设椭圆的右顶点为A，若四边形PMAN为平行四边形，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设过点的直线方程为，由直线与抛物线相切，可得，又四边形为平行四边形，所以，从而得到a=3，结合交点在椭圆上，得到c值，从而得到椭圆的离心率.‎ ‎【详解】设过点的直线方程为，‎ 联立方程组，‎ 因为直线与抛物线相切，所以，‎ 所以切线方程分别为或.‎ 此时，或，，即切点或.‎ 又椭圆的右顶点，因为四边形为平行四边形，所以，‎ 即得.又交点在椭圆上，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以离心率为.故选B.‎ ‎【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：‎ ‎（1）求得的值，直接代入公式求解；‎ ‎（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．‎ ‎12.已知函数若成立，则的最小值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 不妨设，，故，令 ‎，，易知在上是增函数，且 ‎，当时，，当时，，即当时，取得极小值同时也是最小值，此时，即的最小值为，故选B.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.当直线被圆截得的弦最短时，的值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得直线过定点，分析可知当直线与CM垂直时，直线被圆截得的弦长最短 ‎，进而利用斜率的关系即可求得m的值．‎ ‎【详解】直线的方程可化为 ‎ 所以直线会经过定点，解得定点坐标为 ，圆C圆心坐标为 ‎ 当直线与CM垂直时，直线被圆截得的弦长最短 ‎ ，‎ 所以，解方程得 ‎【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，根据斜率关系求得参数的值，属于基础题．‎ ‎14.若，，则______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再由结合两角差的正切公式可求.‎ ‎【详解】因为，故即，所以 ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．‎ ‎15.已知双曲线的左右焦点分别为，若上一点满足，且，则双曲线的渐近线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意可得：，‎ 则是以点为直角顶点的直角三角形，‎ 设，由双曲线的定义有：，，‎ 由勾股定理有：，‎ 综上有：，‎ 则双曲线的渐近线方程为：.‎ 点睛：双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.‎ ‎16.如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线 翻转成，构成四棱锥，若为线段的中点，在翻转过程中有如下四个命题：①平面；②存在某个位置，使；③存在某个位置，使；④点在半径为的圆周上运动，其中正确的命题是__________．‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 对于①，取中点,连接,则∥，∥,所以平面平行平面,所以平面，故正确；‎ 对于②，因为在平面中的射影为，与不垂直，所以存在某个位置,使不正确，故不正确；‎ 对于③，由,可得平面平面时,，故正确；‎ 对于④，因为的中点是定点,，所以点是在以为圆心，为半径的圆上，故正确 故答案为 ①③④‎ 三、解答题：解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 ‎17.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，.‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若，求周长的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理得到，化简得到，计算得到答案.‎ ‎（2）根据余弦定理得到，利用均值不等式得到，得到周长范围.‎ ‎【详解】（1）中，，‎ 由正弦定理得，.‎ 所以，‎ 即，‎ 所以；‎ 又，所以，所以，所以，‎ 所以，所以；‎ ‎（2）由余弦定理得，，则，‎ ‎∴，即，‎ 化简得（当且仅当时取等号），则，又，‎ 所以的周长的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生的计算能力.‎ ‎18.已知在等比数列{an}中，＝2，，＝128，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且{}为等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{bn}的前n项和 ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据等比数列的性质得到＝64，＝2，进而求出公比，得到数列{an}的通项，再由等差数列的公式得到结果；（2）根据第一问得到通项，分组求和即可.‎ ‎【详解】（1）设等比数列{an}的公比为q．‎ 由等比数列的性质得a‎4a5＝＝128，又＝2，所以＝64．‎ 所以公比．‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝a2qn－2＝2×2n－2＝2n－1．‎ 设等差数列{}公差为d．‎ 由题意得，公差，‎ 所以等差数列{}的通项公式为．‎ 所以数列{bn}的通项公式为（n＝1，2，…）．‎ ‎（2）设数列{bn}的前n项和为Tn．‎ 由（1）知，（n＝1，2，…）．‎ 记数列{}的前n项和为A，数列{2n－2}的前n项和为B，则 ‎，．‎ 所以数列{bn}的前n项和为．‎ ‎【点睛】这个题目考查了数列的通项公式的求法，以及数列求和的应用，常见的数列求和的方法有：分组求和，错位相减求和，倒序相加等.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E，F分别为，的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）点G是线段上一动点，若与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点H，连结，证明四边形为平行四边形得到证明.‎ ‎（2）连结，证明为与平面所成角的平面角得到，以A为原点，如图建立空间直角坐标系，平面的一个法向量为，平面的法向量，计算夹角得到答案.‎ ‎【详解】（1）取的中点H，连结，‎ ‎∵E，F分别为的中点，∴，，‎ 由题知，，∴，，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴，‎ ‎∵平面，且平面，∴平面.‎ ‎（2）连结，∵四边形为菱形，，‎ ‎∴是等边三角形，E为中点，‎ ‎∴，且，‎ ‎∵平面，平面，∴，，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，∴，‎ ‎∴为与平面所成角的平面角，‎ 在中，∵，‎ ‎∴当最短时，最大，，‎ ‎∵，∴，‎ 在中，，，∴，‎ 以A为原点，如图建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 则，‎ ‎∵，∴平面，‎ ‎∴平面的一个法向量为，‎ 平面的法向量，‎ 则，∴，取，得，‎ 设二面角的平面角为，‎ 则，‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，线面角的定义及二面角的向量求法，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎20.在直角坐标系中，已知圆与直线相切，点A为圆上一动点，轴于点N，且动点满足，设动点M的轨迹为曲线C.‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）设P，Q是曲线C上两动点，线段的中点为T，，的斜率分别为，且，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）设动点，根据相切得到圆，向量关系得到，代入化简得到答案.‎ ‎（2）考虑的斜率不存在和存在两种情况，联立方程利用韦达定理得到，根据得到得到答案.‎ ‎【详解】（1）设动点，由于轴于点N，‎ ‎∴，又圆与直线相切，‎ ‎∴，则圆.‎ 由题意，，得，‎ ‎∴，即，‎ 又点A为圆上的动点，∴，即；‎ ‎（2）当的斜率不存在时，设直线，‎ 不妨取点，则，，∴.‎ 当的斜率存在时，设直线，，‎ 联立，可得.‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴‎ ‎.‎ 化简得：，∴.‎ ‎.‎ 设，则.‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了轨迹方程，线段长度的取值范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎21.设函数，.‎ ‎（1）当时，在上恒成立，求实数取值范围；‎ ‎（2）当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）(]‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由 ，由 在（ 上恒成立，得到 ，即 在（1，+∞）上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可得到实数 的取值范围； （2）当 时，易得函数 的解析式，由方程的根与对应函数零点的关系，易转化为 在上恰有两个相异实根，利用导数分析函数的单调性，然后根据零点存在定理，构造关于 的不等式组，解不等式组即可得到答案．‎ 试题解析：（1）当时，由得，‎ ‎∵，∴，∴有在上恒成立，‎ 令，由得，‎ 当，∴在上为减函数，在上为增函数，‎ ‎∴，∴实数的取值范围为；‎ ‎（2）当时，函数，‎ 在上恰有两个不同的零点，即在上恰有两个不同的零点，‎ 令，则，‎ 当，；当，，‎ ‎∴在上单减，在上单增，，‎ 又，如图所示，所以实数的取值范围为(]‎ ‎【点睛】本题以函数为载体，考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，具有一定的难度，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件．其中（1）的关键是构造函数，将问题转化为函数恒成立问题，（2）的关键是利用导数分析函数的单调性后，进而构造关于 的不等式组．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.‎ ‎22.已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上.‎ ‎（1）若直线与曲线交于,两点，求的值；‎ ‎（2）求曲线的内接矩形周长的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）16．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1) 曲线的直角坐标系方程为: ∴‎ ‎∴直线的参数方程为（为参数）‎ 将代入得：‎ 设两点所对应的参数为，则∴ ‎ ‎(2) 设为内接矩形在第一象限的顶点,，‎ 则矩形的周长 ‎∴当即时周长最大，最大值为16．‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）若不等式的解集，求实数的值.‎ ‎（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由根据绝对值不等式的解法列不等式组，结合不等式的解集，求得的值.‎ ‎（2）利用绝对值不等式，证得的最小值为4，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）∵函数，‎ 故不等式，即，‎ 即，‎ 求得.‎ 再根据不等式的解集为.‎ 可得，‎ ‎∴实数.‎ ‎（2）在（1）的条件下，，‎ ‎∴存在实数使成立，即，‎ 由于，‎ ‎∴的最小值为2，‎ ‎∴，‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据绝对值不等式的解集求参数，考查利用绝对值不等式求解存在性问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎