浙江省临海市白云高级中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题

浙江省临海市白云高级中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题

白云高级中学 2018 学年第二学期期中试题高二数学 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知全集  1,2,3,4,5,6U  ，集合  2,3,5A  ，集合  1,3,4,6B  ，则集合 UA B （ ）ð （ ） A.  3 B.  2,5 C.  1,4,6 D.  2,3,5 【答案】B 【解析】  2,3,5A  ,  2,5U B ð ,则  2,5UA B （ ）ð ,故选 B. 考点：本题主要考查集合的交集与补集运算. 2.已知函数 2 , 0( ) { , 0 x xf x x x    ，则 ( ( 2))f f   （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据分段函数的解析式，先求得 ( 2) 2f   ，进而可求得 [ ( 2)]f f  的值，得到答案． 【详解】由题意，函数 2, 0( ) , 0 x xf x x x     ，可得 ( 2) 2f   ， 所以   2[ ( 2)] 2 2 4f f f    ，故答案为 4 ． 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中合理应用分段函数的解析式，准 确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3.函数 2( ) 2f x x x  的单调增区间是（ ） A. ( ,1] B. [1, ) C. R D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】 求出二次函数的对称轴即得函数的增区间. 【详解】由题得 2( ) 1) 1f x x  （ ， 所以函数的增区间为 1 +（， ）， 故选：B 【点睛】本题主要考查二次函数的单调性，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推 理能力. 4.若函数 ( ) (3 1) 5f x k x   在 R 上是增函数，则 k 的范围是( ) A. 1( , )3   B. 1( , )3   C. 1( , )3  D. 1( , )3  【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用一次函数的单调性求解. 【详解】因为函数 ( ) (3 1) 5f x k x   在 R 上是增函数， 所以 13 1 0, 3k k    . 故选：C 【点睛】本题主要考查一次函数的单调性，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推 理能力. 5.下列函数求导运算正确的个数为( ) ① 3(3 ) 3 logx x e  ；② 2 1(log ) ln 2x x   ③ ( )x xe e  ；④ 1( )ln xx   ；⑤ ( ) 3 1x xx e    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 ( )x xa a lna  ， 1(log )x a xlna   ， 1( )lnx x   即可作出判断． 【详解】① (3 ) 3 3x x ln  ，故错误； ② 2 1(log ) 2x x ln    ，故正确； ③ ( )x xe e  ，故正确； ④ 2 1 1( )lnx x ln x     ，故错误； ⑤ ( )x x xx e e x e    ，故错误． 故选： B ． 【点睛】此题考查了求导的运算．要求学生掌握求导法则，锻炼了学生的计算能力，是一道 基础题． 6.下列四个函数中，在 (0, ) 上为增函数的是( ) A. ( ) 3f x x  B. 2( ) 3f x x x  C. ( ) 1f x x   D. ( )f x x 【答案】D 【解析】 【分析】 利用函数的图像判断每一个选项得解. 【详解】A. ( ) 3f x x  ,在 (0, ) 上为减函数； B. 2( ) 3f x x x  ，在 (0, ) 上不是单调函数； C. ( ) 1f x x   ，在 (0, ) 上为减函数； D. ( )f x x ，在 (0, ) 上为增函数. 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的图像和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分 析推理能力. 7.设曲线 1 1 xy x   在点 (3 2)， 处的切线与直线 1 0ax y   垂直，则 a （ ） A. 2 B. 1 2 C. 1 2  D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】 32 2 2 1 ( 1) 2 2 1, |( 1) ( 1) (3 1) 2x x xy yx x               ,直线 1 0ax y   的斜率 为-a.所以 a=-2, 故选 D 8.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A. 3y x B. 2y x= C. xy xe D. 2y x x   【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数的图像和奇函数的判定方法，极值的判定方法分析每一个选项得解. 【详解】A. 3y x ，由函数的图像得函数是奇函数，但是不存在极值，故该选项错误； B. 2y x= ，由函数的图像得函数是偶函数，故该选项错误； C. xy xe ， ( ) ( ) ( )xf x x e f x     ，所以该函数不是奇函数，故该选项错误； D. 2y x x   , 2 2( ) ( ) ( )f x x x f xx x          ，所以该函数是奇函数，由函数图像得函 数在 2),( 2, ) （- ,- 上是增函数，在 2 0),(0 2)（- ， ， 上是减函数，所以函数存在极值. 故该选项是正确的. 故选：D 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断和极值的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌 握水平和分析推理能力. 9.已知函数 3 2( ) ( 6) 1f x x x a x     有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是( ) A. ( 1,2) B. ( , 3) (6, )   C. ( 3,6) D. ( , 1) (2, )   【答案】B 【解析】 2( ) 3 2 6f ' x ax ax    根据题意可得： 24 12( 6) ( 3)( 6) 0a a a a        ，解得 6a  或 3a   ，故选 C. 点睛：由函数的极值点的定义知，首先满足函数在该点处的导数值为 0，其次需要导函数在该 点处左右两侧的导数值异号，我们称之为导函数的“变号零点”，则为函数的极值点，所以 研究函数的极值点只需研究导函数的图像能“穿过” x 轴即可. 10.已知 ( ) lnf x x ， 21 7( ) ( 0)2 2g x x mx m    ，直线l 与函数 ( )f x ， ( )g x 的图象都相切， 且与 ( )f x 图象的切点为 (1, (1))f ，则 m 的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用导数求切线斜率,再根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得结果. 【详解】 1( )f x x   ， 直线 l 是函数 ( )f x lnx 的图象在点 (1,0) 处的切线， 其斜率为 k f （1） 1 ， 直线 l 的方程为 1y x  ． 又因为直线l 与 ( )g x 的图象相切，  2 1 1 7 2 2 y x y x mx      ，消去 y ，可得 21 9( 1) 02 2x m x    ， 得△ 2( 1) 9 0 2( 4m m m        不合题意，舍去）， 故选：A 【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义,考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这 些知识 的理解掌握水平和分析推理能力. 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 11.设集合 {1, }A m ， {2,3}B  ，若 {3}A B  ，则 m  ________； A B  _________. 【答案】 (1). 3 (2). {1,2,3} 【解析】 【分析】 由 {3}A B  求出 m 的值，再求 A B . 【详解】因为 {3}A B  ，所以 m=3. 所以 ={1 2,3}A B ， . 故答案为：3，{1,2,3} 【点睛】本题主要考查集合交集并集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分 析推理能力. 12.曲线 lny x 在点 ( ,1)M e 处的切线的斜率是__________ ；切线方程为_________． 【答案】 (1). 1 e (2). 0x ey  【解析】 【分析】 利用导数的几何意义求切线的斜率，再求切线的方程. 【详解】由题得 1 1( ) ,f x kx e     ， 所以切线的斜率为 1 e ， 所以切线的方程为 11 ( ), 0y x e x eye       故答案为： 1 0x eye  ； 【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解 掌握水平和分析推理能力. 13.若函数 3 21( ) 3f x x x  在[ 1,1] ，则函数的最小值是 _______ ；最大值是_________. 【答案】 (1). 4 3  (2). 0 【解析】 【分析】 先求出函数的导数 2( )= 2f x x x  ，再令 2( )= 2 =0f x x x  得 x=2（舍去）或 0，再比较端点 和极值点的函数值的大小，即得函数的最值. 【详解】由题得 2( )= 2f x x x  ， 令 2( )= 2 =0f x x x  得 x=2（舍去）或 0， 因为 4 2( 1) , (0) 0,f(1)3 3f f      ， 所以函数的最小值是 4 3  ，最大值为 0. 故答案为： 4 ;0.3  【点睛】本题主要考查利用导数求函数在闭区间上的最值，意在考查学生对这些知识的理解 掌握水平和分析推理能力. 14.已知函数 3 21( ) (1) 2 53f x x f x x    ，则 (1)f   ______ ； (2)f   _________. 【答案】 (1). 1 (2). 2 【解析】 【分析】 由题得 2( ) 2 (1) 2f x x f x    ，再依次求出 (1), (2)f f  . 【详解】由题得 2( ) 2 (1) 2f x x f x    ， 所以 (1) 1 2 (1) 2 (1)=1f f f     ， 所以 2( ) 2 2f x x x    ， 所以 (2) 4 4 2=2f     . 故答案为：1；2 【点睛】本题主要考查求导，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 15.已知 21( ) ln( 2)2f x x b x    在 ( 1, )  单调递减，则b 的取值是________. 【答案】 ( ， 1] . 【解析】 【分析】 由函数在 ( 1, )  上是减函数，得 ( ) 0f x „ ，求导后分离参数b 得答案. 【详解】由题意可知 ( ) 02 bf x x x      „ 在 ( 1, )x   上恒成立， 即 ( 2)b x x „ 在 ( 1, )x   上恒成立， 令 2( ) ( 2) 2f x x x x x    ， ( 1, )x   ， ( ) 1f x   ， 要使 ( 2)b x x „ ，需 1b „ ， 故b 的取值范围为 ( ， 1] . 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水 平和分析推理能力. 16.已知函数 3 2( ) 1( 0, 0)3 2 x bf x x ax a b      ，则函数 '( )( ) ln f xg x a x a   在点 ( , ( ))b g b 处切线的斜率的最小值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】 根据已知条件得到 ( )( ) f xg x alnx a   的导函数，根据限制性条件 0a  ， 0b  和基本不等式 进行解答． 【详解】因为 ( )( ) f xg x alnx a   ， 所以 2( ) a x bg x x a    ． 又因为 0a  ， 0b  ， 所以 g（b） 2 2a b b a a b a b b     … ， 所以斜率的最小值是 2． 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值，根据导数的几何意义求出切线斜率 是解决本 题的关键． 17.若函数 ( )f x 同时满足：(1)对于定义域上的任意 x ，恒有 ( ) ( ) 0f x f x   ；(2)对于定义 域上的任意 1x ， 2x ，当 1 2x x 时，恒有， 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x   则称函数 ( )f x 为“理想函数”．给 出下列四个函数中：① 1( )f x x  ； ② 2( )f x x ； ③ 2 1( ) 2 1 xf x x   ；④ 2 2 , 0( ) , 0 x xf x x x     ， 则被称为“理想数”的有________(填相应的序号)． 【答案】（4） 【解析】 【分析】 由“理想函数”的定义可知：若 ( )f x 是“理想函数”，则 ( )f x 为定义域上的单调递减的奇函 数，将四个函数一一判断即可． 【详解】若 ( )f x 是“理想函数”，则满足以下两条： ①对于定义域上的任意 x ，恒有 ( ) ( ) 0f x f x   ，即 ( ) ( )f x f x   ，则函数 ( )f x 是奇函 数； ②对于定义域上的任意 1x ， 2x ，当 1 2x x 时，恒有 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x   ， 1 2 1 2( )[ ( ) ( )] 0x x f x f x   ， 1 2x x  时， 1 2( ) ( )f x f x ，即函数 ( )f x 是单调递减函数． 故 ( )f x 为定义域上的单调递减的奇函数． （1） 1( )f x x  在定义域 R 上既是奇函数，但不是减函数，所以不是“理想函数”； （2） 2( )f x x 在定义域上是偶函数，所以不是“理想函数”； （3） 2 1( ) 2 1 xf x x   不是奇函数，所以不是“理想函数”； （4） 2 2 0( ) 0 x xf x x x    … ，在定义域 R 上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”． 故答案为：（4） 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，主要考查函数的奇偶性和单调性，注意运用定义法 是解题的 关键，属于中档题 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.设全集U  R ，集合  2 6A x x    ，  1 2B x x   . (1)求集合 UC B ； (2)求集合 UA C B ． 【答案】(1){ | 1 2}x x x 或 ;(2){-2

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