数学卷·2019届甘肃省兰州一中高二12月月考（2017-12）
兰州一中 2017-2018-1 学期 12 月月考试题
数 学
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，
考试时间 120 分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.设命题
A. B.
C. D.
2.椭圆 的焦点坐标是
A. B. C. D.
3.设 a，b 为实数，命题甲：a＜b＜0，命题乙：ab＞b2，则命题甲是命题乙的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.双曲线 的离心率为 2，则它的渐近线方程是
A．y=±3x B． C． D．
5.已知椭圆过点（0，3）且与双曲线 有相同的焦点，则椭圆的标准方程为
A． B．
C． D．
nnNn 2, 2 >∈∀ nnNn 2, 2 ≤∈∃
nnNn 2, 2 ≤∈∀ nnNn 2, 2 =∈∃
2 22 6x y+ =
为则 p,2,: 2 ¬>∈∃ nnNnp
(0, 3)± ( 3,0)± ( 3,0)± (0, 3)±
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
3
2y x= ± 3y x= ± 3
2y x= ±
2 2
19 7
x y− =
2 2
17 9
x y+ =
2 2
19 7
x y+ =
2 2
116 7
x y+ =
2 2
125 9
x y+ =
6.动圆 M 与圆 外切，与圆 内切，则动圆圆心
M 的轨迹方程是
A. B. C. D.
7.已知双曲线 的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离
心率 为
A． 2 B． 3 C． D．
8.设 F1、F2 是椭圆 的两个焦点，点 P 在椭圆上，当△F1PF2 的面积为 2 时，
=
A． B．0 C．1 D．
9.设函数 f(x)＝|log2x|，则 f (x)在区间(m，2m＋1) (m>0)内不是单调函数的充要条件是
A. 0
1
10.设双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)，离心率 e＝ 2，右焦点 F(c，0)．方程 ax2－bx－c＝0
的两个实数根分别为 x1，x2，则点 P(x1，x2)与圆 x2＋y2＝8 的位置关系是
A．点 P 在圆外 B．点 P 在圆上
C．点 P 在圆内 D．不确定
11.已知 F1、F2 为双曲线： 的左、右焦点，过 F2 的直线交双曲线于 A，B 两点，
则△F1AB 周长的最小值为
A．8 B．16 C．20 D．36
12．已知两定点 和 ，动点 在直线 上移动，椭圆 以
为
焦点且经过点 ，则椭圆 的离心率的最大值为
3: += xyl
( )2 2
1 : 1 1C x y+ + = ( )2 2
2 : 1 25C x y− + =
2 2
18 9
x y+ =
2 2
19 8
x y+ =
2
2 19
x y+ =
2
2 19
yx + =
)0,0(12
22
>>=− bab
y
a
x
e
5
3
5
4
2 2
15 2
x y+ =
1 2PF PF⋅
2 6
3
− 3
3
2 2
116 20
x y− =
( 2,0)A − (2,0)B ( , )P x y c ,A B
p c
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.命题“若 a2＋b2＝0(a，b∈R)，则 a＝b＝0”的逆否命题是__ ______.
14 .点 P(8，1)平分双曲线 x2－4y2＝4 的一条弦，则这条弦所在直线的方程是__________.
15.下列命题中，正确命题的序号是 ．（把所有正确命题的序号都写上）
①已知集合 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件；[KS5UKS5UKS5U]
②如果命题“¬p”与命题“p∨q”都是真命题，那么命题 q 一定是真命题；
③∀x∈R，cos 2x＋4sin x－3＜0；
④若逆命题是假命题则否命题一定是假命题.
16.已知 ， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 ，
椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率 ，则 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本题满分 10 分)已知椭圆的中心在原点，两焦点 F1，F2 在 x 轴上，且过点 A(－4，3).
若 F1 A⊥F2 A，求椭圆的标准方程.
18. (本题满分 12 分)设 F(1，0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且 , ，
当点 P 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方程.
19. (本题满分 12 分)已知命题 是 的必要而不充分条件；:p x m> 2 5 0x − >
26
13
2 26
13
2 13
13
4 13
13
{ } { }1, , 1,2,3A a B= = 3=a BA ⊆
1F 2F P 321
π=∠ PFF
1e 2e =+
2
2
2
1
31
ee
2MN MP= PM PF⊥
命题 实数 满足方程 表示双曲线.
若“ ”为假命题，“ ”为真命题，求实数 的取值范围.
20. (本题满分 12 分)已知直线 y＝－1
2 x＋2 和椭圆 相交于 A，B 两点，
且 a＝2b，若|AB|＝2 5，求椭圆的方程.
21.(本题满分 12 分)已知双曲线 的一条渐近线方程为 x＋y＝0，且顶
点到渐近线的距离为 .
(1)求此双曲线的方程；
(2)设 P 为双曲线上一点，A，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，
若AP→
＝PB→
，求△AOB 的面积．
22. (本题满分 12 分)已知椭圆 的离心率为 ，椭圆的短轴端点与双曲
线 的焦点重合，过点 且不垂直于 轴的直线 与椭圆 相交于 两点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)求 的取值范围.
[KS5UKS5U]
:q m
2 2
11 2
x y
m m
+ =− −
p q∧ p q∨ m
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2 2
2 2 1( 0, 0)y x a ba b
− = > >
3 2
2
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1
2
2
2 12
y x− = (4,0)P x l C ,A B
C
OA OB⋅
兰州一中 2017-2018-1 学期高二年级 12 月月考试试题
数 学 答 案
第 I 卷（选择题）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3
4[KS5UKS5UKS5U
]
5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A A C D B D B B C D B
第 II 卷（非选择题）
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13． 若 a≠0 或 b≠0 ，则 a2＋b2≠0 ; 14． 2x－y－15＝0 ;
15. ② ④ ; 16． 4 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分 10 分)已知椭圆的中心在原点，两焦点 F1，F2 在 x 轴上，且过点 A(－4，3).
若 F1 A⊥F2 A，求椭圆的标准方程.
解：设所求椭圆的标准方程为x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0),焦点 F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0).
∵F1A⊥F2A， ∴F1A
→
·F2A
→
＝0，
而F1A
→
＝(－4＋c，3)，F2A
→
＝(－4－c，3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0， ∴c2＝25，即 c＝5.
∴F1(－5，0)，F2 (5，0).
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝ (－4＋5)2＋32＋ (－4－5)2＋32＝ 10＋ 90＝4 10.
即:a＝2 10，
∴椭圆的标准方程为
[KS5UKS5UKS5U]
[KS5UKS5U]
15b =
2 2
140 15
x y+ =
18. (本题满分 12 分)设 F(1，0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且 , ，
当点 P 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方程.
解： 设 M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，
∵PM→
⊥PF→
，PM→
＝(x0，－y0)，PF→
＝(1，－y0)，
∴(x0，－y0)·(1, －y0)＝0，
∴x0＋y20＝0.
由MN
→
＝2 MP→
得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
∴{x－x0＝－2x0，
y＝2y0， 即{x0＝－x，
y0＝1
2y，
∴－x＋
y2
4 ＝0，即 y2＝4x.
故所求的点 N 的轨迹方程是 y2＝4x.
19. (本题满分 12 分)已知命题 是 的必要而不充分条件；
命题 实数 满足方程 表示双曲线.
若“ ”为假命题，“ ”为真命题，求实数 的取值范围.
解：由 ，得
命题 真时，则 ，得 ∴命题 假时， ，
命题 真时，得 ，解得 或 ，命题 假时，
∵ 为假， 为真，∴ 一真一假.
当 真 假时，则 ，所以 ；
当 假 真时，则 ，所以 .
综上可知，实数 的取值范围为： .
:p x m> 2 5 0x − >
:q m
2 2
11 2
x y
m m
+ =− −
p q∧ p q∨ m
2 5 0x − > 5
2x >
p ( )5 , ,2 m +∞ ⊂ +∞
5
2m ≤ p 5
2m >
q ( )( )1 2 0m m− − < 1m < 2m > q 1 2m≤ ≤
p q∧ p q∨ p q、
p q 1 2m≤ ≤
p q 5
2m >
m
2MN MP= PM PF⊥
5
2
1 2
m
m
<
≤ ≤
5
2
1 2
m
m m
≥
< >
或
[ ] 51, 2 ( , )2m ∈ + ∞
20. (本题满分 12 分)已知直线 y＝－1
2 x＋2 和椭圆 相交于 A，B 两点，
且 a＝2b，若|AB|＝2 5，求椭圆的方程.
解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由Error!消去 y 并整理得 x2－4x＋8－2b2＝0.
则由根与系数的关系得 x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2.
∵|AB|＝2 5，∴ 1＋1
4· (x1＋x2)2－4x1x2＝2 5，
即 5
2 · 16－4(8－2b2)＝2 5，解得 b2＝4，故 a2＝4b2＝16.
∴所求椭圆的方程为x2
16＋y2
4＝1.
21.(本题满分 12 分)已知双曲线 的一条渐近线方程为 x＋y＝0，且顶
点到渐近线的距离为 .
(1)求此双曲线的方程；
(2)设 P 为双曲线上一点，A，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，
若AP→
＝PB→
，求△AOB 的面积．
解: (1)依题意得: 解得
故双曲线的方程为
(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为 y＝±x，设 A(m，m)，B(－n，n)，其中 m＞0，n＞0，
由AP→
＝PB→
得点 P 的坐标为 .
将点 P 的坐标代入 ，整理得 mn＝9.
，且 ,
∴S△AOB＝1
2|OA||OB|＝mn＝9.
22. (本题满分 12 分)已知椭圆 的离心率为 ，椭圆的短轴端点与双曲
线 的焦点重合，过点 且不垂直于 轴的直线 与椭圆 相交于 两点.
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2 2
2 2 1( 0, 0)y x a ba b
− = > >
3 2
2
3 2
22
a b
a
=
=
3a b= =
2 2 9y x− =
( , )2 2
m n m n− +
2 2 9y x− =
0 2A B
π∠ = 2OA m= 2OB n=
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1
2
2
2 12
y x− = (4,0)P x l C ,A B
(1)求椭圆 的方程；
(2)求 的取值范围.
解：（1）由题意知 ， .
又∵双曲线的焦点坐标为 ， ，
椭圆的方程为 .
（2）若直线 的倾斜角为 ，则 ，
当直线 的倾斜角不为 时，直线 可设为 ，
，由
设 ，
，
，
综上所述：范围为
C
OA OB⋅
2 2 2
2
2 2
1 1,2 4
c c a be ea a a
−= = ∴ = = = 2 24
3a b=
(0, 3), 3b± = 2 24, 3a b∴ = =
∴
2 2
14 3
x y+ =
l 0 ( 2,0), (2,0), 4A B OA OB− ⋅ = −
l 0 l 4x my= +
2 2
2 2
4 (3 4) 24 36 0
3 4 12
x my m y my
x y
= + ⇒ + + + = + =
2 2 20 (24 ) 4 (3 4) 36 0 4m m m∆ > ⇒ − × + × > ⇒ >
1 1 2 2( 4, ), ( 4, )A my y B my y+ +
1 2 1 22 2
24 36,3 4 3 4
my y y ym m
+ = − =+ +
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 4)( 4) 4 16OA OB my my y y m y y my y y y⋅ = + + + = + + +
2
116 43 4m
= −+
2 134, ( 4, )4m OA OB> ∴ ⋅ ∈ −
13[ 4, )4
−
