高考数学专题复习（精选精讲）练习6-不等式的证明方法习题精选精讲

高考数学专题复习（精选精讲）练习6-不等式的证明方法习题精选精讲

不等式的证明 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。‎ 注意的变式应用。常用 (其中)来解决有关根式不等式的问题。‎ ‎1、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。‎ ‎1 已知a,b,c均为正数，求证：‎ ‎ 证明：∵a,b均为正数， ∴‎ ‎ 同理，‎ 三式相加，可得 ‎∴‎ ‎2、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。‎ ‎2 a、b、，，求证：‎ 证：∴‎ ‎3 设、、是互不相等的正数，求证：‎ 证：∵ ∴ ‎ ‎∵ 同理： ‎ ‎ ∴ ‎ ‎4 知a,b,c，求证: ‎ 证明：∵ ‎ 即，两边开平方得 同理可得三式相加，得 ‎5且，证：。‎ 证：‎ ‎6已知 策略:由于 证明：。‎ ‎3、分析法 分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。‎ ‎7已知、、为正数，求证：‎ 证：要证：只需证：‎ 即：∵ 成立∴ 原不等式成立 ‎8且，求证。‎ 证：即：‎ ‎∵ 即∴原命题成立 ‎4、换元法 换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。‎ ‎9，，求证：。‎ 证明：令 ‎ 左 ∴ ‎ ‎10：，求证：‎ 证：由设，∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎11知a>b>c,求证：‎ 证明：∵a－b>0, b－c>0, a－c>0 ∴可设a－b=x, b－c=y (x, y>0) 则a－c= x + y, 原不等式转化为证明即证，即证 ∵∴原不等式成立（当仅x=y当“=”成立）‎ ‎12知1≤x＋y≤2，求证：≤x－xy＋y≤3．‎ 证明：∵1≤x＋y≤2，∴可设x = rcos，y = rsin，其中1≤r≤2，0≤＜．‎ ‎∴x－xy＋y= r－rsin= r(1－sin)，∵≤1－sin≤，∴r≤r(1－sin)≤r，而r≥，r≤3∴ ≤x－xy＋y≤3．‎ ‎13已知x－2xy＋y≤2，求证：| x＋y |≤．‎ 证明：∵x－2xy＋y= (x－y)＋y，∴可设x－y = rcos，y = rsin，其中0≤r≤，0≤＜．‎ ‎∴| x＋y | =| x－y＋2y | = | rcos＋2rsin| = r|sin(＋ractan)|≤≤．‎ ‎14解不等式＞‎ 解：因为=6，故可令 = sin，＝ cos，∈［0，］‎ 则原不等式化为 sin－ cos ＞所以 sin ＞+ cos 由∈［0，］知+ cos＞0，将上式两边平方并整理，得48 cos2+4 cos－23＜0‎ 解得0≤cos＜所以x＝6cos2－1＜，且x≥－1，故原不等式的解集是｛x|-1≤x＜ . ‎ ‎15：－1≤－x≤．‎ 证明：∵1－x≥0，∴－1≤x≤1，故可设x = cos，其中0≤≤．‎ 则－x =－cos= sin－cos=sin(－)，∵－≤－≤，‎ ‎∴－1≤sin(－)≤，即－1≤－x≤．‎ 增量代换法 在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简．‎ ‎16a，bR，且a＋b = 1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥．‎ 证明：∵a，bR，且a＋b = 1，∴设a =＋t，b=－t， (tR)‎ 则(a＋2)＋(b＋2)= (＋t＋2)＋(－t＋2)= (t＋)＋(t－)= 2t＋≥．‎ ‎∴(a＋2)＋(b＋2)≥．‎ 利用“1”的代换型 ‎17策略：做“1”的代换。‎ 证明： .‎ ‎5、反证法 反证法的思路是“假设矛盾肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。‎ ‎18若p＞0，q＞0，p＋q= 2，求证：p＋q≤2．证明：反证法 假设p＋q＞2，则(p＋q)＞8，即p＋q＋3pq (p＋q)＞8，∵p＋q= 2，∴pq (p＋q)＞2．‎ 故pq (p＋q)＞2 = p＋q= (p＋q)( p－pq＋q)，又p＞0，q＞0 p＋q＞0，‎ ‎∴pq＞p－pq＋q，即(p－q) ＜0，矛盾．故假设p＋q＞2不成立，∴p＋q≤2．‎ ‎19已知、、（0，1），求证：，，，不能均大于。‎ 证明：假设，，均大于∵ ，均为正 ∴ ‎ 同理 ∴ ‎ ‎∴ 不正确 ∴ 假设不成立 ∴ 原命题正确 ‎20已知a,b,c∈（0，1），求证：（1－a）b, （1－b）c, （1－c）a 不能同时大于。‎ 证明：假设三式同时大于∵0＜a＜1 ∴1－a＞0 ∴ ‎ ‎21 、、，，，，求证：、、均为正数。‎ 证明：反证法：假设、、不均为正数 又 ∵ 、、两负一正 不妨设，， 又 ∵ ∴ 同乘以 ∴ 即，与已知矛盾 ‎∴ 假设不成立 ∴ 、、均为正数 ‎6、放缩法 放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大（或缩小）3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩 ‎22已知a、b、c、d都是正数，求证：1＜＋＋＋＜2．‎ 证明：∵＜＜，＜＜，‎ ‎＜＜，＜＜，‎ 将上述四个同向不等式两边分别相加，得：1＜＋＋＋＜2．‎ ‎23 ，求证：。‎ 证明：∵ ‎ ‎∴  ‎ ‎ ‎ 判别式法 ‎24A、B、C为的内角，、、为任意实数，求证：。‎ 证明：构造函数，判别式法令 ‎ 为开口向上的抛物线 ‎ ‎ ‎ ‎ 无论、为何值， ∴ ∴ 命题真 构造函数法 构造函数法证明不等式24 设0≤a、b、c≤2，求证：4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．‎ 证明：视a为自变量，构造一次函数= 4a＋b＋c＋abc－2ab－2bc－2ca = (bc－2b－2c＋4)a＋(b＋c－2bc)，由0≤a≤2，知表示一条线段．又= b＋c－2bc = (b－c)≥0，= b＋c－4b－4c＋8 = (b－2)＋(c－2)≥0，‎ 可见上述线段在横轴及其上方，∴≥0，即4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．‎ 构造向量法证明不等式 根据已知条件与欲证不等式结构，将其转化为向量形式，利用向量数量积及不等式关系·≤||·||，就能避免复杂的凑配技巧，使解题过程简化．应用这一方法证明一些具有和积结构的代数不等式，思路清晰，易于掌握．‎ ‎25 设a、b∈R，且a＋b =1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥．‎ 证明：构造向量= (a＋2，b＋2)，= (1，1)．设和的夹角为，其中0≤≤．‎ ‎∵|| =，|| =，∴·= ||·||cos=··cos；‎ y x x＋y = 0‎ ‎2‎ A B D C O 另一方面，·= (a＋2)·1＋(b＋2)·1 = a＋b＋4 = 5，而0≤|cos|≤1，‎ 所以·≥5，从而(a＋2)＋(b＋2)≥． ‎ 构造解析几何模型证明不等式 ‎ ‎ 如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系，则可根据已知式的结构挖掘出它的几何背景，通过构造解析几何模型，化数为形，利用数学模型的直观性，将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决． ‎ ‎26设a＞0，b＞0，a＋b = 1，求证：＋≤2．‎ 证明：所证不等式变形为：≤2．这可认为是点A()到直线 x＋y = 0的距离．‎ 但因()＋()= 4，故点A在圆x＋y= 4 (x＞0，y＞0)上．如图所示，AD⊥BC，半径AO＞AD，即有：≤2，所以＋≤2．‎