2018届二轮复习专题5第3讲用空间向量的方法解立体几何问题(理)课件（74张）（全国通用）

2018届二轮复习专题5第3讲用空间向量的方法解立体几何问题(理)课件（74张）（全国通用）

第一部分 专题强化突破 专题五　立体几何 第三讲 　 用空间向量的方法解立体几何问题 ( 理 ) 1 高考考点聚焦 2 核心知识整合 3 高考真题体验 4 命题热点突破 5 课后强化训练 高考考点聚焦 高考考点 考点解读 利用空间向量证明平行与垂直关系 1. 建立空间直角坐标系，利用向量的知识证明平行与垂直 2 ．考查向量的数量积与向量垂直的关系以及建立空间直角坐标系的方法 利用空间向量求线线角、线面角、面面角 以具体几何体为命题背景，直接求角或已知角求相关量 利用空间向量解决探索性问题或其他问题 1. 常借助空间直角坐标系，设点的坐标探求点的存在问题 2 ．常利用空间向量的关系，设某一个参数，利用向量运算探究平行、垂直问题 备考策略 本部分内容在备考时应注意以下几个方面： (1) 加强对空间向量概念及空间向量运算律的理解，掌握空间向量的加、减法，数乘、数量积运算等． (2) 掌握各种角与向量之间的关系，并会应用． (3) 掌握利用向量法求线线角、线面角、二面角的方法． 预测 2018 年命题热点为： (1) 二面角的求法． (2) 已知二面角的大小，证明线线、线面平行或垂直． (3) 给出线面的位置关系，探究满足条件的某点是否存在． 核心知识整合 (3) 二面角 ① 如图 ( ⅰ ) ， AB ， CD 是二面角 α － l － β 的两个半平面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ ＝ ________________ ． ② 如图 ( ⅱ )( ⅲ ) ， n 1 ， n 2 分别是二面角 α － l － β 的两个半平面 α ， β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足 cos θ ＝ ______________________________ ． cos 〈 n 1 ， n 2 〉 或－ cos 〈 n 1 ， n 2 〉 　 2 ． 利用向量方法证明平行与垂直 设直线 l ， m 的方向向量分别为 a ＝ ( a 1 ， b 1 ， c 1 ) ， b ＝ ( a 2 ， b 2 ， c 2 ) ．平面 α ， β 的法向量分别为 μ ＝ ( a 3 ， b 3 ， c 3 ) ， v ＝ ( a 4 ， b 4 ， c 4 ) ． (1) 线线平行 l ∥ m ⇔ a ∥ b ⇔ a ＝ k b ⇔ _________________________ ． (2) 线线垂直 l ⊥ m ⇔ a ⊥ b ⇔ a · b ＝ _______ ⇔ ________________________ ． a 1 ＝ k a 2 ， b 1 ＝ k b 2 ， c 1 ＝ k c 2 　 0 　 a 1 a 2 ＋ b 1 b 2 ＋ c 1 c 2 ＝ 0 　 (3) 线面平行 l ∥ α ⇔ a ⊥ μ ⇔ a · μ ＝ _______ ⇔ ______________________ ． (4) 线面垂直 l ⊥ α ⇔ a ∥ μ ⇔ a ＝ k μ ⇔ ______________________________ ． (5) 面面平行 α ∥ β ⇔ μ ∥ v ⇔ μ ＝ k v ⇔ ______________________________ ． (6) 面面垂直 α ⊥ β ⇔ μ ⊥ v ⇔ μ · v ＝ ________ ⇔ ______________________ ． 0 　 a 1 a 3 ＋ b 1 b 3 ＋ c 1 c 3 ＝ 0 　 a 1 ＝ k a 3 ， b 1 ＝ k b 3 ， c ＝ k c 3 　 a 3 ＝ k a 4 ， b 3 ＝ k b 4 ， c 3 ＝ k c 4 　 0 　 a 3 a 4 ＋ b 3 b 4 ＋ c 3 c 4 ＝ 0 　 1 ． 在建立空间直角坐标系时，易忽略说明或证明建系的条件． 2 ． 忽略异面直线的夹角与方向向量夹角的区别：两条异面直线所成的角是锐角或直角，与它们的方向向量的夹角不一定相等． 3 ． 不能区分二面角与两法向量的夹角：求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析． 高考真题体验 [ 解析 ] 　 (1) 证明：设 AC ， BD 交于点 E ，连接 ME ， 因为 PD ∥ 平面 MAC ，平面 MAC ∩ 平面 PDB ＝ ME ， 所以 PD ∥ ME ． 因为四边形 ABCD 是正方形， 所以 E 为 BD 的中点， 所以 M 为 PB 的中点． [ 解析 ] 　 (1) 因为 AP ⊥ BE ， AB ⊥ BE ， AB ， AP ⊂ 平面 ABP ， AB ∩ AP ＝ A ， 所以 BE ⊥ 平面 ABP ． 又 BP ⊂ 平面 ABP ，所以 BE ⊥ BP ． 又 ∠ EBC ＝ 120° ，所以 ∠ CBP ＝ 30° ． [ 解析 ] 　 (1) 由已知可得 AF ⊥ DF ， AF ⊥ FE ， 所以 AF ⊥ 平面 EFDC ． 又 AF ⊂ 平面 ABEF ，故平面 ABEF ⊥ 平面 EFDC ． 命题热点突破 命题方向 1 　利用空间向量证明平行与垂直关系 『 规律总结 』 利用空间向量证明平行与垂直的方法与步骤 (1) 坐标运算法：一般步骤： ① 建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系； ② 建立空间图形与空间向量之间的关系，用向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素； ③ 通过空间向量的运算研究平行、垂直关系； ④ 根据运算结果解释相关问题． (2) 基向量运算法：一般步骤： ① 选基向量，要尽量选用三个不共面的且夹角最好为 90°( 其次为 60° 或 120°) 、模长或其关系已知的向理为基向量； ② 将相关向量用基向量表示； ③ 将证明问题转化为向量的运算； ④ 根据运算结果得结论 ． 命题方向 2 　利用空间求量求空间中的角 『 规律总结 』 1 ． 利用空间向量求空间角的一般步骤 (1) 建立恰当的空间直角坐标系． (2) 求出相关点的坐标，写出相关向量的坐标． (3) 结合公式进行论证、计算． (4) 转化为几何结论． 2 ． 利用空间向量求线线角、线面角的思路 (1) 异面直线所成的角 θ ，可以通过两直线的方向向量的夹角 φ 求得，即 cos θ ＝ | cos φ | ． (2) 直线与平面所成的角 θ 主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角 φ 求得，即 sin θ ＝ | cos φ | ． [ 解析 ] 　 (1) 因为 BC ＝ BD ， E 为 CD 中点， 所以 BE ⊥ CD ． 因为 AB ∥ CD ， CD ＝ 2 AB ， 所以 AB ∥ DE ，且 AB ＝ DE ，所以四边形 ABED 是矩形． 所以 BE ∥ AD ， BE ＝ AD ， AB ⊥ AD ， 因为 AB ⊥ PA ，又 PA ∩ AD ＝ A ， 所以 AB ⊥ 平面 PAD ，所以 CD ⊥ 平面 PAD ， 所以 CD ⊥ PD ，且 CD ⊥ AD ， 又因为在平面 PCD 中， EF ∥ PD ， 所以 CD ⊥ EF ． 因为 EF ∩ BE ＝ E ， EF ⊂ 平面 BEF ， BE ⊂ 平面 BEF ， 又 CD ⊥ BE ，所以 CD ⊥ 平面 BEF ， 因为 CD ⊂ 平面 PCD ，所以平面 BEF ⊥ 平面 PCD ． 命题方向 3 　利用向量解决探索性问题 解法二：依题意，以 D 为坐标原点， DA 、 DC 、 DD 1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，因为 AB ＝ 2 AD ＝ 2 ，则 D (0,0,0) ， C (0,2,0) ， D 1 (0,0,1) ， A 1 (1,0,1) ， 『 规律总结 』 利用空间向量巧解探索性问题 (1) 空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推，只需通过坐标运算进行判断． (2) 解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把 “ 是否存在 ” 问题转化为 “ 点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解 ” 等问题，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题． [ 解析 ] 　 (1) 因为平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，交线为 AD ， AB ⊂ 平面 ABCD ， AB ⊥ AD ， 所以 AB ⊥ 平面 PAD ． 因为 PD ⊂ 平面 PAD ，所以 AB ⊥ PD ． 又因为 PA ⊥ PD ， PA ∩ AB ＝ A ， PA ， AB ⊂ 平面 PAB ， 所以 PD ⊥ 平面 PAB ． (2) 取 AD 中点 O ，连接 OP ， OC ． 因为 PA ＝ PD ，所以 OP ⊥ AD ． 又因为平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，交线为 AD ， OP ⊂ 平面 PAD ， 所以 OP ⊥ 平面 ABCD ． 又因为 AC ＝ CD ，所以 OC ⊥ AD ． 因为 AB ⊥ AD ，所以 OC ∥ AB 且 OC ＝ 2 AB ． 课后强化训练