2020年高中数学第二讲讲明不等式的基本方法三反证法与放缩法优化练习新人教A版选修4-5
三 反证法与放缩法
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( )
A．两个都是偶数
B．一个是奇数，一个是偶数
C．至少一个是偶数
D．恰有一个是偶数
解析：假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数．
答案：C
2．设x>0，y>0，A＝，B＝＋，则A与B的大小关系为( )
A．A≥B B．A≤B
C．A>B D．A
1 D．M与1大小关系不定
解析：M是210项求和，M＝＋＋＋…＋<＋＋＋…＋＝1，故选B.
答案：B
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5．若f(x)＝x，a，b都为正数，A＝f，G＝f()， H＝f，则( )
A．A≤G≤H B．A≤H≤G
C．G≤H≤A D．H≤G≤A
解析：∵a，b为正数，∴≥＝≥＝，
又∵f(x)＝x为单调减函数，
∴f≤f()≤f，
∴A≤G≤H.
答案：A
6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求证：
|f(x1)－f(x2)|<.那么它的假设应该是________．
答案：|f(x1)－f(x2)|≥
7．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是________．
解析：m＝≤＝1，
n＝≥＝1.
答案：m≤n
8．设a>0，b>0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系是________．
解析：∵a>0，b>0，
∴N＝＋>＋＝＝M.
∴M1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
证明：假设a，b，c，d都是非负数．
由a＋b＝c＋d＝1知：a，b，c，d∈[0,1]．
从而ac≤≤，bd≤≤.
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∴ac＋bd≤＝1.即ac＋bd≤1.与已知ac＋bd>1矛盾，∴a，b，c，d中至少有一个是负数．
10．求证：1＋＋＋＋…＋<3(n∈N＋)．
证明：由<＝(k是大于2的自然数)，
得1＋＋＋＋…＋<1＋1＋＋＋＋…＋＝
1＋＝3－<3.
∴原不等式成立．
[B组 能力提升]
1．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)．试证：数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn＋1.当此题用反证法否定结论时，应为( )
A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1
B．存在正整数n，使xn＝xn＋1
C．存在正整数n，使xn≥xn－1且xn≥xn＋1
D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0
解析：“xnxn＋1”的对立面是“xn＝xn＋1”，“任意一个”的反面是“存在某一个”．
答案：B
2．若α∈，M＝|sin α|，N＝|cos α|，P＝|sin α＋cos α|，
Q＝ ，则它们之间的大小关系为( )
A．M>N>P>Q B．M>P>N>Q
C．M>P>Q>N D．N>P>Q>M
解析：∵α∈(π，π)，∴0>sin α>cos α.
∴|sin α|<|cos α|，
∴P＝|sin α＋cos α|＝(|sin α|＋|cos α|)
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>(|sin α|＋|sin α|)＝|sin α|＝M.
P＝|sin α|＋|cos α|
< (|cos α|＋|cos α|)＝|cos α|＝N.
∴N>P>M.
对于Q＝ ＝ <＝P.
而Q＝> ＝|sin α|＝M.
∴N>P>Q>M.
答案：D
3．用反证法证明“已知平面上有n(n≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d，距离为d的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n条”时，假设的内容为________．
解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n＋1条”．
答案：直径的数目至少为n＋1条
4．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少有一个值c，使f(c)>0, 则实数p的取值范围是________．
解析：假设在 [－1,1]内没有值满足f(c)>0，
则所以
所以p≤－3或p≥，取补集为p∈.
故实数p的取值范围是.
答案：
5．已知01且y(2－z)>1且z(2－x)>1均成立，
则三式相乘有：xyz(2－x)(2－y)(2－z)>1.
①
由于01且y(2－z)>1且z(2－x)>1.
∴＋＋>3.
③
又＋＋≤＋＋＝3④
④与③矛盾，故假设不成立．
∴原题设结论成立．
6．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝22·an(n∈N＋)，
(1)求a2，a3并求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn<.
解析：(1)∵a1＝2，an＋1＝2(1＋)2·an(n∈N＋)，
∴a2＝2(1＋)2·a1＝16，a3＝2(1＋)2·a2＝72.
又∵＝2·，n∈N＋，
∴{}为等比数列．
∴＝·2n－1＝2n，
∴an＝n2·2n.
(2)证明：cn＝＝，
∴c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝＋＋＋…＋<＋＋＋·(＋＋…＋)
＝＋·<＋·＝＋
＝＝<＝，所以结论成立．
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