2017-2018学年新疆兵团第二师华山中学高二下学期第一次月考数学理 试题（解析版）

2017-2018学年新疆兵团第二师华山中学高二下学期第一次月考数学理 试题（解析版）

‎2017-2018学年新疆兵团第二师华山中学高二下学期第一次月考数学理 试题（解析版）‎ 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) ‎ ‎1. 设集合 ，，则集合=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查集合并集的基本概念，因为集合 ，，所以集合，故选B.‎ ‎2. 已知复数，则的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据复数除法的运算法则可得，，由复数实部与虚部的定义可得，复数的虚部是，故选D.‎ ‎3. 设命题，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由题意得，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题，则为“”，故选C．‎ 考点：全称命题的否定．‎ ‎4. 在中，，若点满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据题意画出图形如图所示，，，，故选A.‎ ‎5. 已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知，三角形的三条边长的和为，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于的地方爬行，则它爬行的区域的长度为，根据几何概型的计算公式可得蚂蚁在离三个顶点的距离都大于的概率为，故选B.‎ ‎6. 设等比数列的公比为，前项和为，且．若，则的取值范围是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎7. 如图，在正方体中，是底面的中心，为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 取的中点，连接，如图所示，为的中点，，故即为异面直线与所成角，设正方体的棱长为，则在中，，故，故选D.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.传统法求异面直线所成的角的角，首先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质或者余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.‎ ‎8. 执行如图所示程序框图，若输出的值为，则条件框内应填写（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】模拟执行程序，可得，满足判断框内的条件，第一次执行循环体，，满足判断框内的条件，第二次执行循环体，，满足判断框内的条件，第三次执行循环体，‎ ‎，满足判断框内的条件，第四次执行循环体，，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的值为，则条件框内应填写，，故选C.‎ ‎9. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面是边长为的正方形，且高为，其外接球等同于棱长为的正方体的外接球，所以外接球半径满足，所以外接球的表面积为，故选B.‎ ‎【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.‎ ‎10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为，直线与双曲线的一个交点满足，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为直线的倾斜角为 ，所以 ，，由双曲线的定义可得，解得，故选A.‎ ‎11. 已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则 (　　)‎ A. 3 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图所示，由抛物线，可得的焦点为，准线方程为，准线与轴相交于点，经过点，作，垂足为，则，，，故选A.‎ ‎12. 已知函数的图象关于轴对称，且函数对任意， ，有，设是函数的零点，若，则的值满足（ ）‎ A. B. C. D. 的符号不确定 ‎【答案】C ‎【解析】因为函数的图象关于轴对称，以上函数的图象关于轴对称，由函数对任意， ，有，可得函数在上递增，所以函数在上递减，因为是函数的零点，所以也是函数的零点，由得,因为，所以，故选C.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查抽象函数的对称性性与单调性的应用，属于难题.将对称性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据对称性判断出函数在对称区间上的单调性(轴对称函数在对称区间上单调性相反，中心函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性求解.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13. 设满足约束条件，则目标函数的最大值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 画出可行域如图，目标函数可化为，得一组斜率为的平行线，直线纵轴截距最大时，取最大值，由图象知，当目标函数图象过点时，截距最大，取最大值，由，的最大值为，故答案为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎14. 若直线经过圆的圆心，则的最小值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线经过圆的圆心，所以可得，即，因此 ，，当且仅当时等号成立，由此可得的最小值为，故答案为.‎ ‎15. 在中，角的对边分别为，且，又，成等差数列，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】中，成等差数列，，由正弦定理可得，又，可得 ‎，，，‎ ‎，故答案为.‎ ‎16. 已知函数为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为函数为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，等价于，在上有解，设，求导得，在有唯一的极值点， 在上单调递增，在上单调递减， ，，的值域为，故方程在上有解等价于， 从而的取值范围是，故答案为.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17. 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 ‎，过点的直线的参数方程为（为参数），与分别交于.‎ ‎（1）写出的平面直角坐标系方程和的普通方程；‎ ‎（2）若成等比数列，求的值.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎，设分别对应参数，从而得到，结合一元二次方程根与系数的关系，建立含有的关系式，求解的取值.‎ 试题解析：（1）曲线的直角坐标方程为； ‎ 直线的普通方程为. ‎ ‎（2）将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，得 ‎ （*）‎ ‎ ，，‎ 设点分别对应参数，恰为上述方程的根.‎ 则，，.‎ 由题设得，即. ‎ ‎ ，得，或.‎ 因为，所以.‎ ‎18. 设函数．‎ ‎（1）若，解不等式；‎ ‎（2）如果，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由函数f（x）=|x-1|+|x-a|，知当a=1时，不等式f（x）≥3等价于|x-1|+|x+1|≥3，根据绝对值的几何意义能求出不等式f（x）≥3的解集．（2）将绝对值不等式分情况去掉绝对值符号分别求解，进而求并集求出a的取值范围 试题解析：（1）当时，，由得：，‎ ‎（法一）由绝对值的几何意义知不等式的解集为．‎ ‎（法二）不等式可化为或或，‎ ‎∴不等式的解集为．‎ ‎（2）若，，不满足题设条件；‎ 若，，的最小值为；‎ 若，，的最小值为．‎ 所以对于，的充要条件是，‎ 从而a的取值范围．‎ 考点：绝对值不等式解法 ‎19. 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为；在实验考核中合格的概率分别为，所有考核是否合格相互之间没有影响.‎ ‎（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；‎ ‎（2）求这三人该课程考核都合格的概率.（结果保留三位小数）‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】解:记“甲理论考核合格”为事件A1，“乙理论考核合格”为事件A2，“丙理论考核合格”为事件A3，记事件i为Ai的对立事件，i＝1,2,3.记“甲实验考核合格”为事件B1，“乙实验考核合格”为事件B2，“丙实验考核合格”为事件B3.‎ ‎(1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，记为事件C的对立事件，‎ P(C)＝P(A1A2A3＋A1A2＋A1A3＋A2A3)‎ ‎＝P(A1A2A3)＋P(A1A2)＋P(A1A3)＋P(A2A3)‎ ‎＝0.9×0.8×0.7＋0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＝0.902.‎ 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902.‎ ‎(2)记“三个人该课程考核都合格”为事件D.‎ P(D)＝P[(A1·B1)·(A2·B2)·(A3·B3)]‎ ‎＝P(A1·B1)·P(A2·B2)·P(A3·B3)‎ ‎＝P(A1)·P(B1)·P(A2)·P(B2)·P(A3)·P(B3)‎ ‎＝0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9≈0.254.‎ 所以，这三个人该课程考核都合格的概率为0.254.‎ ‎20. 如图，在底面是正方形的四棱锥中，，点 在上，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）易证，，从而可证平面；‎ ‎（Ⅱ）以A为坐标原点，直线分别x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，求得平面ACE的法向量为，及平面ACD的法向量，由法向量夹角公式求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)正方形ABCD边长为1,PA=1,，‎ 所以，即，‎ 根据直线和平面垂直的判定定理，有平面.‎ ‎(2)如图，以A为坐标原点，直线分别x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.‎ 则，‎ 由(1)知为平面ACD的法向量,，‎ 设平面ACE的法向量为，‎ 则 令,则,‎ 设二面角的平面角为,则=，‎ 又有图可知，为锐角，‎ 故所求二面角的余弦值为.‎ 点睛：用空间向量求解立体几何问题的注意点 ‎（1）建立坐标系时要确保条件具备，即要证明得到两两垂直的三条直线，建系后要准确求得所需点的坐标．‎ ‎（2）用平面的法向量求二面角的大小时，要注意向量的夹角与二面角大小间的关系，这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角，然后作出正确的结论．‎ ‎21. 已知椭圆 的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点． ‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且，求直线的斜率的取值范围；‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用右焦点为，求出,得到,通过点, 在椭圆上，得到，求出、的值可得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，点 ，由得，利用韦达定理以及 ，结合判别式的符号，可求解的范围.‎ 试题解析：(1) 由题意得： ‎ 因为 点 在椭圆C上 解得：‎ 椭圆方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，点，点 由得 ‎， ‎ 由得或，‎ ‎ 即 ‎，‎ 解得，的取值范围是或.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.‎ ‎22. 已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若在区间上的最大值为，求的值.‎ ‎【答案】（1）在上是增函数，在上是减函数；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）定义域为， 在上是增函数，在上是减函数；（2）即分类讨论时在上是增函数不合题意， 时若在上是增函数，由①知不合题意. 若, 在上是增函数，在为减函数， ，即得值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）易知定义域为，‎ 令，得.‎ 当时， ；当时， .‎ 在上是增函数，在上是减函数.‎ ‎（2），‎ ‎①若，则，从而在上是增函数，‎ ‎，不合题意.‎ ‎②若，则由，即，‎ 若在上是增函数，由①知不合题意.‎ 若,由，即.‎ 从而在上是增函数，在为减函数，‎ ‎，‎ 所求的.‎