新疆乌鲁木齐市第八中学2020届高三第一次月考数学（理）试题

新疆乌鲁木齐市第八中学2020届高三第一次月考数学（理）试题

乌鲁木齐市第八中学2019-2020学年 第一学期高三年级第一次月考 理科数学试卷 一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共计60分.每小题只有一个答案符合题意）‎ ‎1.已知集合，则 A. B. ‎ C. D. R ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解出集合与，再利用集合的并集运算得出.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查集合的并集运算，在计算无限数集时，可利用数轴来强化理解，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎2.设复数满足（其中为虚数单位），则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用复数的除法法则求出复数，然后由复数的求模公式计算出.‎ ‎【详解】，，‎ ‎．‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法以及复数的模，考查对复数四则运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.设向量,若,则实数的值为( )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出的坐标，再根据平面向量共线定理解答.‎ ‎【详解】解：‎ ‎,‎ 因为,所以,解得.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题.‎ ‎4.具有性质的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：①；② ；③其中满足“倒负”变换的函数是(　　)‎ A. ①③ B. ②③‎ C. ①②③ D. ①②‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对三个函数逐一判断，对于函数①②就是判断是否成立即可，对于函数③，求出. 的表达式，进行比较即可判断出来.‎ ‎【详解】对于①:，满足题意；‎ 对于②: ，不满足题意；‎ 对于③，‎ 故，满足题意．‎ 综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故本题选A.‎ ‎【点睛】本题考查了新定义探究题，理解新定义是解题的关键.‎ ‎5.《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（ ）‎ ‎(注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)‎ A. 甲的数据分析素养高于乙 B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C. 乙的六大素养中逻辑推理最差 D. 乙的六大素养整体水平优于甲 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案.‎ ‎【详解】根据雷达图得甲数据分析素养低于乙，所以A错误 根据雷达图得甲数学建模素养等于数学抽象素养，所以B错误 根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C错误 根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D正确 故答案选D ‎【点睛】本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的能力.‎ ‎6.已知，则下列不等式不成立的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项.‎ ‎【详解】依题意，由于为定义域上的减函数，故，故A选项不等式成立.由于为定义域上的增函数，故，则，所以B选项不等式不成立，D选项不等式成立.由于，故，所以C选项不等式成立.综上所述，本小题选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.‎ ‎7.α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（　　）‎ A. m，n是平面内两条直线，且，‎ B. 内不共线的三点到的距离相等 C. ，都垂直于平面 D. m，n是两条异面直线，，，且，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A中，根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．B中，根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．C中，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．D中，在直线n上取一点Q，过点Q作直线m 的平行线m′，所以m′与n是两条相交直线，m′⊂β，n⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，即可得到答案．‎ ‎【详解】由题意，对于A中，若m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．所以A错误．‎ 对于B中，若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以B错误． ‎ 对于C中，若α，β都垂直于平面γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以C错误． ‎ 对于D中，在直线n上取一点Q，过点Q作直线m 的平行线m′，所以m′与n是两条相交直线，m′⊂β，n⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D正确． ‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查学生严密的思维能力和空间想象能力，属于基础题．‎ ‎8.若函数在上的值域为，则称函数为“和谐函数”．给出下列函数：①；②；③；④.其中“和谐函数”的个数为( )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用和谐函数的定义对每一个函数分析判断解答.‎ ‎【详解】若在区间上单调递增，须满足：，；‎ 若在区间上单调递减，须满足：，；‎ ‎①在为增函数，则，，即a，b是的两个根，即，则. 作出函数和的图象如图满足条件．(时，，而，)．‎ ‎②在上为减函数，即，即，当，时满足条件．‎ ‎③在为增函数，则，，即a，b是的两个根，‎ 即，作与无交点，故不满足条件．‎ ‎④当时，为增函数，，，函数和函数的图象有两个交点，满足条件.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查新定义，考查函数的单调性、值域和图像，考查函数与方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.‎ ‎9.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角恒等变换可得，依题意可知的最小值为，从而可得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，周期，‎ 又存实数，对任意实数总有成立，‎ ‎，‎ 的最小值为，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查公式三角函数的图象和性质以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式 可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域：；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.‎ ‎10.已知是首项为的等比数列，是的前项和，且，则数列的前项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：显然，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，前项和．故选B.‎ 考点：（1）等比数列的性质；（2）等比数列的前项和.‎ ‎11.已知为双曲线的左右焦点，点为双曲线右支上一点，交左支于点，是等腰直角三角形，，则双曲线的离心率为( )‎ A. 4 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】画出图象如下图所示，根据双曲线的定义有，根据等腰直角三角形有，解得,，在三角形中,由余弦定理得，解得，故离心率为.选.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的定义，考查等腰直角三角形的几何性质，考查解三角形余弦定理的应用.由于两点在双曲线上，故首先想到双曲线的定义，利用定义列出方程，结合等腰直角三角形的性质可以解出各条边长，利用余弦定理可求的焦距的长度，并由此求得离心率.‎ ‎12.定义域为的函数满足：，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 依题意，当时，，故，画出函数在 上的图象（图略），由图可知，函数在区间上的最小值为，故，解得.‎ 点睛：本题主要考查分段函数求解析式，考查抽象函数关系的整理，考查函数图象与性质，考查恒成立问题的解法，考查分式不等式的解法.题目首先给出的是抽象函数关系式，还给了一个分段函数的解析式，所以要先求得函数在给定区间上的解析式，由解析式利用图象求解最值，最后利用恒成立问题求得的取值范围.‎ 二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共计20分）‎ ‎13.已知函数f(x)＝若f(2－a)＝1，则f(a)＝________．‎ ‎【答案】-2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对a分类讨论，结合对数和指数的运算求解.‎ ‎【详解】若2－a<2，即a>0时，f(2－a)＝－log2(1＋a)＝1.解得a＝－，不合题意．‎ 当2－a≥2，即a≤0时，f(2－a)＝2－a－1＝1，即2－a＝2⇒a＝－1，‎ 所以f(a)＝f(－1)＝－log24＝－2.‎ 故答案为: -2.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎14.在数列中，已知，，则使得成立的正整数的最小值为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，所以，即可求出的通项公式，即可得知是单调递增数列，通过计算得出 ‎，即可得知k的最小值为7‎ ‎【详解】因为，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，，易知数列是递增数列，，，所以使得成立的正整数的最小值为．‎ ‎【点睛】①本题通过已知的通项公式，通过构造法构造出新的等比数列，注意构造技巧，严格按照等比数列的定义，即从第二项起，后一项与前一项的比是同一个常数即可，先求出构造数列的通项，在求出的通项；②在数列单调性的强有力的利用上就是后一项与前一项的差与0的关系．‎ ‎15.若，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由，‎ 两边平方得：，‎ ‎∴，①‎ ‎∵，可得，‎ 结合，可得，‎ 则，‎ 由①得，，则=．‎ ‎∴．‎ ‎16.对于三次函数有如下定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解 ‎，则称点为函数的“拐点”.若点是函数的“拐点”，也是函数图像上的点，则当时，函数的函数值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的二次导数，利用拐点定义得到关于的方程组，求出值，即可得解析式，从而求出.‎ ‎【详解】，，‎ 由拐点定义知时，，解得：，‎ 而，即，解得：，‎ 所以，‎ ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查导数的应用以及求函数值，考查转化思想以及新定义的问题.‎ 三.解答题（共6小题，每小题70分）‎ ‎17.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.‎ ‎（1）设为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；‎ ‎（2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由已知，有 所以事件发生的概率为.‎ ‎（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为 所以随机变量的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以随机变量的数学期望 考点：古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.‎ ‎18.如图，在以、、、、、为顶点的五面体中，平面平面，，四边形为平行四边形，且.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）过作交于，连接，由面面垂直的性质可得平面，则.则，，为等腰直角三角形，据此可得平面，.‎ ‎（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可得平面的法向量为，平面的法向量为，则锐二面角的余弦值为 .‎ 试题解析：‎ ‎（1）过作交于，连接，由平面平面，得平面，因此.‎ ‎∴，，，‎ ‎∴，∴，‎ 由已知得为等腰直角三角形，因此，又，‎ ‎∴平面，∴.‎ ‎（2）∵，平面，平面，∴平面，‎ ‎∵平面平面，∴，‎ 由（1）可得，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ‎，由题设可得，进而可得，，，，，，‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 可取，‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 可取，‎ 则 ，‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ ‎19.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正、余弦定理处理，即可得出答案．（2）展开，结合，和第一问计算出的角B的大小，即可得出A的值，结合正弦定理，代入，即可．‎ ‎【详解】（1）∵角的对边分别为，且 ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∵由正弦定理得：，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ，‎ ‎∵，∴‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵由正弦定理得：，，，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本道题考查了正余弦定理，难度较大．‎ ‎20.已知函数 ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）对函数求导，讨论当时，时，时，时，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题，‎ ‎（1）当时，故时，函数单调递减，时，函数单调递增；‎ ‎（2）当时，故时，,函数单调递增，时，,函数单调递减，时，,函数单调递增；‎ ‎（3）当时，恒成立，函数单调递增；‎ ‎（4）当时，故时，函数单调递增，‎ 时，函数单调递减，‎ 时，函数单调递增；‎ ‎（Ⅱ）当时，有唯一零点不符合题意；‎ 由（Ⅰ）知：当时，故时，函数单调递减，时，函数单调递增，时，；时，，必有两个零点；‎ 当时，故时，函数单调递增，‎ 时，函数单调递减，时，函数单调递增，,函数至多有一个零点；‎ 当时，函数单调递增，函数至多有一个零点；‎ 当时，故时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，，函数至多有一个零点；‎ 综上所述：当时，函数有两个零点.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求单调区间、应用导数研究函数的零点问题以及分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出．本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等．‎ ‎21.已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点 得，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当点P在上下顶点时，三角形的面积最大，再根据离心率求得a、b、c的值，可得方程；‎ ‎（2）联立方程，解方程组，再由题在轴上存在点得，转化为，可得直线的斜率乘积为-1，再利用基本不等式可得取值范围.‎ ‎【详解】由题，当点P在上下顶点时，三角形的面积最大，可得，‎ 即可得，解得 椭圆的方程为.‎ ‎（2）由消去整理得，‎ 且 设，线段的中点为 则.‎ 在轴上存在点，使得，‎ ‎，即，‎ 因为 ‎ ‎，当且仅当且，即时等号成立.‎ ‎，故，‎ 实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了圆锥曲线的综合，熟悉椭圆的性质以及直线与椭圆相交的知识是解题的关键，考验了学生的计算能力和综合能力，属于较难题.‎ 直线与圆锥曲线解题步骤：‎ ‎(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；‎ ‎（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理；‎ ‎（3）转化，由题已知转化为数学公式；‎ ‎（4）计算，细心计算.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为 （为参数），直线与曲线分别交于两点．‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）若点的极坐标为，，求的值．‎ ‎【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为即，直线的普通方程为；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线的普通方程，极坐标方程两边同乘以利用 即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为，‎ 即， 直线的普通方程为. ‎ ‎(2)将直线的参数方程代入并化简、整理，‎ 得. 因为直线与曲线交于，两点．‎ 所以，解得.‎ 由根与系数的关系，得，. ‎ 因为点的直角坐标为，在直线上.所以， ‎ 解得，此时满足.且，故.．‎ ‎【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别在、和三种情况下去掉绝对值符号，解不等式求得结果；‎ ‎（2）将问题转化为最小值大于；利用绝对值三角不等式可求得，根据求得结果.‎ ‎【详解】（1）由得：‎ 当时，，解得：,‎ 当时，，解得：,‎ 当时，，解得：,解集为 综上所述，不等式的解集为 ‎（2）令，要使函数的定义域为，只要的最小值大于即可，‎ 又（当且仅当时取等号），‎ ‎，解得：‎ 实数的取值范围为 ‎【点睛】本题考查分类讨论求解绝对值不等式、绝对值三角不等式的应用；涉及到根据对数型复合函数的定义域求解参数范围的问题；关键是能够将问题转化为函数最值的求解，利用绝对值三角不等式求得最值.‎