高考理数　平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示

高考理数　平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示

§5.1 　平面向量的概念及线性运算、 平面向量基本定理及坐标表示 高考 理 数 ( 课标专用) 考点一　平面向量的概念及线性运算 1.(2018课标Ⅰ,6,5分)在△ ABC 中, AD 为 BC 边上的中线, E 为 AD 的中点,则   =   (　　) A.     -     　    B.     -     C.     +     　    D.     +     A组  统一命题·课标卷题组 五年高考 答案      A 　本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义. ∵ E 是 AD 的中点,∴   =-     ,∴   =   +   =-     +   ,又∵ D 为 BC 的中点,∴   =   (   +   ),因此   =-   (   +   )+   =     -     ,故选A. 题型归纳 　平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)考查向量加法或减法的几何意义. (2)求已知向量的和或差.一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则;求首 尾相连的向量的和用三角形法则. (3)与三角形综合,求参数的值.求出向量的和或差,与已知条件中的式子比较,求得参数. (4)与平行四边形综合,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向 量转化到同一个平行四边形或三角形中求解. 2. (2015课标Ⅰ,7,5分,0.725)设 D 为△ ABC 所在平面内一点,   =3   ,则   (　　) A.   =-     +     　    B.   =     -     C.   =     +     　    D.   =     -     答案      A        =   +   =   +   +   =   +     =   +   (   -   )=-     +     .故选A. 方法指导 　利用向量加法和减法的三角形法则将   进行转化,最终将   用   与   表示出来. 3. (2014课标Ⅰ,15,5分,0.688)已知 A , B , C 为圆 O 上的三点,若   =   (   +   ),则   与   的夹角 为 　　　     . 答案　 90 ° 解析　 由   =   (   +   )可知 O 为 BC 的中点,即 BC 为圆 O 的直径,又因为直径所对的圆周角为 直角,所以∠ BAC =90 ° ,所以   与   的夹角为90 ° . 思路分析     根据   =   (   +   )知 O 为 BC 的中点,进而得 BC 为圆 O 的直径,然后利用直径所对 圆周角为直角即可得到结果. 解后反思　 在解决与共起点的向量加法有关的问题时,注意平行四边形法则的运用,熟记 “   +   =2   ⇔ D 为 BC 的中点”是解决此类问题的关键. 考点二　平面向量基本定理及坐标运算 1. (2016课标Ⅱ,3,5分)已知向量 a =(1, m ), b =(3,-2),且( a + b )⊥ b ,则 m =   (　　) A.-8　    B.-6　    C.6　    D.8 答案      D 　由题可得 a + b =(4, m -2),又( a + b )⊥ b ,∴4 × 3-2 × ( m -2)=0,∴ m =8.故选D. 思路分析 　求出 a + b 的坐标,然后利用两向量垂直的充要条件列出关于 m 的方程,进而解得 m 值. 易错警示 　要正确区分两向量垂直与平行的坐标表示,常因错误选用而导致失分. 2. (2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量 a =(1,2), b =(2,-2), c =(1, λ ).若 c ∥(2 a + b ),则 λ = 　　　     . 答案        解析 　本题考查向量的坐标运算. 由已知得2 a + b =(4,2).又 c =(1, λ ), c ∥(2 a + b ),所以4 λ -2=0,解得 λ =   . 3. (2015课标Ⅱ,13,5分,0.724)设向量 a , b 不平行,向量 λa + b 与 a +2 b 平行,则实数 λ = 　　　     . 答案        解析 　∵向量 λa + b 与向量 a +2 b 平行,∴存在实数 k 使得 λa + b = k ( a +2 b ),即( λ - k ) a +(1-2 k ) b =0,∵ a , b 不平行, ∴   ∴ k =   , λ =   .故答案为   . 思路分析 　由向量 λa + b 与 a +2 b 平行知存在实数 k 使得 λa + b = k ( a +2 b ),整理得( λ - k ) a +(1-2 k ) b =0,再 利用平面向量基本定理列方程组,由此可得出 λ 值. 考点一　平面向量的概念及线性运算 (2015北京,13,5分)在△ ABC 中,点 M , N 满足   =2   ,   =   .若   = x   + y   ,则 x = 　　          , y = 　　　     . B组  自主命题·省(区、市)卷题组 答案    ; -   解析 由　 =2   知 M 为 AC 上靠近 C 的三等分点,由   =   知 N 为 BC 的中点,作出草图如下: 则有   =   (   +   ),所以   =   -   =   (   +   )-   ·   =     -     , 又因为   = x   + y   ,所以 x =   , y =-   . 考点二　平面向量基本定理及坐标运算 1. (2014福建,8,5分)在下列向量组中,可以把向量 a =(3,2)表示出来的是   (　　) A. e 1 =(0,0), e 2 =(1,2)　    B. e 1 =(-1,2), e 2 =(5,-2) C. e 1 =(3,5), e 2 =(6,10)　    D. e 1 =(2,-3), e 2 =(-2,3) 答案      B 　设 a = k 1 e 1 + k 2 e 2 , A选项,∵(3,2)=( k 2 ,2 k 2 ),∴   无解. B选项,∵(3,2)=(- k 1 +5 k 2 ,2 k 1 -2 k 2 ), ∴   解之得   故B中的 e 1 , e 2 可把 a 表示出来. 同理,C、D选项同A选项,无解. 2. (2015湖南,8,5分)已知点 A , B , C 在圆 x 2 + y 2 =1上运动,且 AB ⊥ BC .若点 P 的坐标为(2,0),则|   +   +   |的最大值为   (　　) A.6　    B.7　    C.8　    D.9 答案      B 　解法一:由圆周角定理及 AB ⊥ BC ,知 AC 为圆的直径. 故   +   =2   =(-4,0)( O 为坐标原点). 设 B (cos α ,sin α ),∴   =(cos α -2,sin α ), ∴   +   +   =(cos α -6,sin α ),|   +   +   |=   =   ≤   =7,当 且仅当cos α =-1时取等号,此时 B (-1,0),故|   +   +   |的最大值为7.故选B. 解法二:同解法一得   +   =2   ( O 为坐标原点),又   =   +   ,∴|   +   +   |=|3   +   | ≤ 3|   |+|   |=3 × 2+1=7,当且仅当   与   同向时取等号,此时 B 点坐标为(-1,0),故|   +   +   | max =7.故选B. 3. (2014北京,10,5分)已知向量 a , b 满足| a |=1, b =(2,1),且 λa + b =0( λ ∈R),则| λ |= 　　　     . 答案        解析 　∵ λa + b =0,即 λa =- b ,∴| λ || a |=| b |. ∵| a |=1,| b |=   ,∴| λ |=   . 4. (2015江苏,6,5分)已知向量 a =(2,1), b =(1,-2),若 ma + nb =(9,-8)( m , n ∈R),则 m - n 的值为 　　　     . 答案 　-3 解析 　由 a =(2,1), b =(1,-2), 可得 ma + nb =(2 m , m )+( n ,-2 n )=(2 m + n , m -2 n ), 由已知可得   解得   从而 m - n =-3. 5. (2014陕西,18,12分)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A (1,1), B (2,3), C (3,2),点 P ( x , y )在△ ABC 三边围 成的区域(含边界)上. (1)若   +   +   =0,求|   |; (2)设   = m   + n   ( m , n ∈R),用 x , y 表示 m - n ,并求 m - n 的最大值. 解析 　(1)解法一:∵   +   +   =0,又   +   +   =(1- x ,1- y )+(2- x ,3- y )+(3- x ,2- y )=(6-3 x ,6-3 y ), ∴   解得 x =2, y =2,即   =(2,2),故|   |=2   . 解法二:∵   +   +   =0, 则(   -   )+(   -   )+(   -   )=0, ∴   =   (   +   +   )=(2,2),∴|   |=2   . (2)∵   = m   + n   , ∴( x , y )=( m +2 n ,2 m + n ), ∴   两式相减得, m - n = y - x , 令 y - x = t ,由图知,当直线 y = x + t 过点 B (2,3)时, t 取得最大值1,故 m - n 的最大值为1 . 评析　 本题考查了向量线性坐标运算,简单的线性规划等知识;考查运算求解,数形结合、转化 与化归的思想. 考点　平面向量基本定理及坐标运算 (2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量   ,   ,   的模分别为1,1,   ,   与   的夹角 为 α ,且tan α =7,   与   的夹角为45 ° .若   = m   + n   ( m , n ∈R),则 m + n = 　　　     .   C组    教师专用题组 解析 　本题考查平面向量基本定理及其应用,平面向量的夹角及其应用等知识. 解法一:∵tan α =7, α ∈[0,π],∴cos α =   ,sin α =   , ∵   与   的夹角为 α ,∴   =   , ∵   = m   + n   ,|   |=|   |=1,|   |=   , ∴   =   ,① 又∵   与   的夹角为45 ° , ∴   =   =   ,② 又cos∠ AOB =cos(45 ° + α )=cos α cos 45 ° -sin α sin 45 ° =   ×   -   ×   =-   , ∴   ·   =|   |·|   |·cos∠ AOB =-   , 将其代入①②得 m -   n =   ,-   m + n =1, 答案 　3 两式相加得   m +   n =   , 所以 m + n =3. 解法二:过 C 作 CM ∥ OB , CN ∥ OA ,分别交线段 OA , OB 的延长线于点 M , N ,则   = m   ,   = n   , 由正弦定理得   =   =   , ∵|   |=   ,由解法一知,sin α =   ,cos α =   , ∴|   |=   =   =   , |   |=   =   =   , 又   = m   + n   =   +   ,|   |=|   |=1, ∴ m =   , n =   ,∴ m + n =3. 考点一　平面向量的概念及线性运算 1. (2018湖北孝感二模,8)设 D 、 E 、 F 分别为△ ABC 三边 BC 、 CA 、 AB 的中点,则   +2   +3   =   (　　) A.     　    B.     　    C.     　    D.     三年模拟 A组 201 6 —201 8 年 高考模拟·基础题 组 答案      D 　因为 D 、 E 、 F 分别为△ ABC 三边 BC 、 CA 、 AB 的中点,所以   +2   +3   =   (   +   )+2 ×   (   +   )+3 ×   × (   +   )=     +   +   +     +     +     =     +     +   =     +   =     ,故选D. 答案      B 　设点 E 为 BC 的中点,连接 AE ,可知 O 在 AE 上,由   =   +   =     +     =   (   +   )+   (   -   )=     -     ,故 x =   , y =-   , x + y =   .故选B. 2. (2018河北、河南、山西三省联考,10) 如图,在等边△ ABC 中, O 为△ ABC 的重心,点 D 为 BC 边上靠近 B 点的四等分点,若   = x   + y   , 则 x + y =(　　) A.   　    B.   C.   　    D.   3. (2018福建高三4月质检,3) 庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图 形,且与黄金分割有着密切的联系:在如图所示的正五角星中,以 A , B , C , D , E 为顶点的多边形为 正五边形,且   =   .下列关系中正确的是(　　) A .   -   =     　    B.   +   =     C.   -   =     　    D.   +   =     答案    A 　由题意得,   -   =   -   =   =   =     ,所以A正确;   +   =   +   =   =     ,所以B错误;   -   =   -   =   =     ,所以C错误;   +   =   +   ,     =   =   -   ,若   +   =     ,则   =0,不合题意,所以D错误. 故选A. 4. (2017河南中原名校4月联考,7)如图所示,矩形 ABCD 的对角线相交于点 O , E 为 AO 的中点,若   = λ   + μ   ( λ , μ 为实数),则 λ 2 + μ 2 =   (　　)   A.   　    B.   　    C.1　    D.   答案    A        =     +     =     +     =     +   (   +   )=     -     ,所以 λ =   , μ =-   ,故 λ 2 + μ 2 =   ,故选A. 5. (2016河南中原名校3月联考,8) 如图,在直角梯形 ABCD 中, AB =2 AD =2 DC , E 为 BC 边上一点,   =3   , F 为 AE 的中点,则   =   (　　) A.     -     　    B.     -     C.-     +     　    D.-     +     答案    C      解法一:如图,取 AB 的中点 G ,连接 DG , CG ,则易知四边形 DCBG 为平行四边形,所以   =   =   -   =   -     ,∴   =   +   =   +     =   +     =     +     ,于是   =   -   =     -   =     -   =-     +     ,故选C. 解法二:   =   +   =   +     =-   +     =-   +     =-   +     +     +   (   +   +   )=-     +     . 考点二　平面向量基本定理及坐标运算 1. (2018河北衡水中学2月调研,5)一直线 l 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB , AD 分别交于点 E , F , 且交其对角线 AC 于点 M ,若   =2   ,   =3   ,   = λ   - μ   ( λ , μ ∈R),则   μ - λ =   (　　) A.-   　    B.1　    C.   　    D.-3 答案      A        = λ   - μ   = λ   - μ (   +   )=( λ - μ )   - μ   =2( λ - μ )   -3 μ   ,因为 E 、 M 、 F 三 点共线,所以2( λ - μ )+(-3 μ )=1,即2 λ -5 μ =1,∴   μ - λ =-   ,故选A. 2. (2017河北衡水中学三调考试,6)在△ ABC 中,   =     ,若 P 是直线 BN 上的一点,且满足   = m   +     ,则实数 m 的值为   (　　) A.-4　    B.-1　    C.1　    D.4 答案      B 　根据题意设   = n   ( n ∈R),则   =   +   =   + n   =   + n (   -   )=   + n   =(1- n )   +     ,又   = m   +     ,∴   解得   故选B. 3. (2016广东茂名二模,9)已知向量 a =(3,-2), b =( x , y -1)且 a ∥ b ,若 x , y 均为正数,则   +   的最小值是   (　　) A.24　    B.8　    C.   　    D.   答案      B 　∵ a ∥ b ,∴-2 x -3( y -1)=0,即2 x +3 y =3,又 x , y >0,∴   +   =   ×   (2 x +3 y )=     ≥     =8,当且仅当2 x =3 y =   时,等号成立.∴   +   的最小值是8.故 选B. 4. (2018湖南湘东五校4月联考,15)在正方形 ABCD 中, M , N 分别是 BC , CD 的中点,若   = λ   + μ   ,则实数 λ + μ = 　　　     . 答案       解析 　如图, ∵   =   +   =   +     =   +     ,①   =   +   =   +     ,② 由①②得   =     -     ,   =     -     , ∴   =   +   =   +   =     -     +     -     =     +     , ∵   = λ   + μ   , ∴ λ =   , μ =   , λ + μ =   . B 组 201 6 —201 8 年 高考模拟·综合题组 (时间: 2 0分钟　分值: 4 0分) 一、选择题(每题5分,共20分) 1. (2018河北五个一名校联考,5)在△ ABC 中, M 是 BC 的中点, AM =1,点 P 在 AM 上且满足   =2   ,则   ·(   +   )等于   (　　) A.-   　    B.-   　    C.   　    D.   答案      A     如图,∵ M 是 BC 的中点,且   =2   ,∴   =   +   ,∴   ·(   +   )=-   ,∵ AM =1且   =2   ,∴|   |=   ,∴   ·(   +   )=-   ,故选A . 导师点睛　 由 M 是 BC 的中点,   =2   可知点 P 是△ ABC 的重心. 一题多解　 由题意知, AM 为△ ABC 边 BC 上的中线,∴   +   =2   ,又由   =2   ,知|   |=   |   |=   ,|   |=   |   |=   ,∴   ·(   +   )=   ·2   =2|   ||   |·cos π=-2 ×   ×   =-   ,故选A. 2. (2018河南郑州一模,9) 如图,在△ ABC 中, N 为线段 AC 上靠近点 A 的三等分点,点 P 在线段 BN 上且   =     +     ,则实数 m 的值为   (　　) A.1　    B.   　    C.   　    D.   答案    D        =     +     =     +   (   -   )= m   +     ,设   = λ   (0 ≤ λ ≤ 1),则   =   + λ   =   + λ (   -   )=(1- λ )   + λ   ,因为   =     ,所以   =(1- λ )   +   λ   , 则   解得   故选D. 思路分析 　由 B 、 P 、 N 三点共线可设   = λ   ,得出用   、   表示   的两种表达式,进而由 平面向量基本定理构造出关于 λ 、 m 的方程组,从而求 m 的值. 解题关键 　选择合适的基底,利用平面向量基本定理构造方程组是求解本题的关键. 3. (2016湖南四地一模,7) 如图,在△ ABC 中,设   = a ,   = b , AP 的中点为 Q , BQ 的中点为 R , CR 的中点为 P ,若   = ma + nb ,则 m , n 对应的值为   (　　) A.   ,   　    B.   ,   C.   ,   　    D.   ,   答案    A 　连接 AR ,由 P 为 CR 的中点可得   =   b +     ,由 R 为 BQ 的中点可得   =   a +     , 由 Q 为 AP 的中点可得   =     , 所以   =   b +     , 整理可得   =   a +   b ,所以 m =   , n =   ,故选A. 思路分析 　利用 P 为 CR 的中点可得   =   b +     ,利用 R 为 BQ 的中点可得   =   a +     ,利用 Q 为 AP 的中点可得   =     ,进而可得关于   、 a 、 b 的等式,经整理可得   的表达式,由此即 可得 m 与 n 的值. 一题多解 　根据已知条件得,   =   -   =     -   =   ( ma + nb )- a =   a +   b ,   =   -   =     -   +   =     - b + a =   a +   b , ∴   =   a +   b ,   =-   a +   b . ∵   +   =   ,   =   a +   b , ∴   a +   b =   a +   b , ∴   解得   故选A. 4. (2016河北石家庄一模,11) A , B , C 是圆 O 上不同的三点,线段 CO 与线段 AB 交于点 D (点 O 与点 D 不重合),若   = λ   + μ   ( λ , μ ∈R),则 λ + μ 的取值范围是   (　　) A.(0,1)　    B.(1,+ ∞ )　    C.(1,   ]　    D.(-1,0) 答案    B 　设   = m   ,则 m >1,因为   = λ   + μ   ,所以 m   = λ   + μ   ,即   =     +     , 又知 A , B , D 三点共线,所以   +   =1,即 λ + μ = m ,所以 λ + μ >1,故选B. 思路分析 　由 C 、 O 、 D 共线可设   = m   ,从而得 m >1,   =     +     ,利用 A 、 B 、 D 共线 可得   +   =1,即 λ + μ = m ,从而由 m 的取值范围得 λ + μ 的取值范围. 二、填空题(每题5分,共20分) 5. (2018清华大学自主招生3月能力测试,13) O 为△ ABC 内一点,且   +   +2   =0,则△ OBC 和 △ ABC 的面积比   = 　　　     . 答案        解析　 如图所示,设 AB 的中点为 M ,连接 OM ,则   +   =2   ,∴   +   +2   =2   +2   =0, 即   +   =0,∴点 O 为线段 MC 的中点,则 S △ OBC =   S △ MBC =   S △ ABC ,所以   =   .   解题关键 　设 AB 中点为 M ,得出点 O 为线段 MC 的中点是解题的关键. 知识拓展　 若 O 为△ ABC 内一点,满足 m   + n   + k   =0,则 S △ AOB ∶ S △ BOC ∶ S △ AOC ∶ S △ ABC = k ∶ m ∶ n ∶( m + n + k ). 6. (2018福建福州二模,16)如图,在平面四边形 ABCD 中,∠ ABC =90 ° ,∠ DCA =2∠ BAC ,若   = x   + y   ( x , y ∈R),则 x - y 的值为 　　　     .   答案 　-1 解析 　如图,延长 DC , AB 交于点 E ,   因为∠ DCA =2∠ BAC ,所以∠ BAC =∠ CEA .又∠ ABC =90 ° ,所以   =-   .因为   = x   + y   ,所 以   =- x   + y   .因为 C , D , E 三点共线,所以- x + y =1,即 x - y =-1. 思路分析 　根据∠ ABC =90 ° ,∠ DCA =2∠ BAC ,可延长 DC , AB 交于点 E ,把   转化为-   ,再利用 C 、 D 、 E 三点共线求解. 解题关键 　作出适当的辅助线,将问题转化为三点共线的问题进行求解. 规律总结 　已知   = x   + y   ,若 A , B , C 三点共线,则 x + y =1;反之亦成立. 7. (2017湘中名校3月联考,14)已知在△ ABC 中, AB = AC =6,∠ BAC =120 ° , D 是 BC 边上靠近点 B 的 四等分点, F 是 AC 边的中点,若点 G 是△ ABC 的重心,则   ·   = 　　　     . 答案 　-   解析 　连接 AD , AG ,如图. 依题意,有   =   +   =   +     =   +   (   -   )=     +     ,   =     ,   =   -   =   -   ×   (   +   )=     +     -     -     =     -     ,故   ·   =   ·     =     ·   -     =-   × 6 × 6 ×   -   × 6 2 =-   -   =-   . 思路分析 　以{   ,   }为一组基底,对   和   进行分解,进而利用向量的数量积运算进行求解. 名师点拨 　在平面向量的运算中,要根据已知条件选好基底,使得变形有方向,从而避免盲目转化. 8. (2017河北百校联盟4月联考,14)已知在△ ABC 中,点 D 满足2   +   =0,过点 D 的直线 l 与直线 AB , AC 分别交于点 M , N ,   = λ   ,   = μ   .若 λ >0, μ >0,则 λ + μ 的最小值为 　　　     . 答案        解析　 连接 AD .因为2   +   =0,所以   =     ,   =   +   =   +     =   +   (   -   )=     +     .因为 D 、 M 、 N 三点共线,所以存在 x ∈R,使   = x   +(1- x )   ,则   = xλ   +(1- x ) μ   ,所以 xλ   +(1- x )· μ   =     +     ,根据平面向量基本定理,得 xλ =   ,(1- x ) μ =   ,所以 x =   ,1- x =   ,所以   +   =1,所以 λ + μ =   ( λ + μ )   =     ≥   ,当且仅当 λ =   μ 时等号 成立,∴ λ + μ 的最小值为   . 思路分析 　利用2   +   =0及向量的线性运算可得   =     +     ,然后利用 D 、 M 、 N 三点 共线再次得到   的表达式,从而利用平面向量基本定理得出 λ 与 μ 的关系,最后利用基本不等 式求出 λ + μ 的最小值. 方法归纳 　如果 a , b 不共线,那么“ λ 1 a + μ 1 b = λ 2 a + μ 2 b ”的充要条件为“ λ 1 = λ 2 且 μ 1 = μ 2 ”,我们常用 这个结论得出不含向量的方程组.