四川省遂宁市第二中学2020届高三上学期高考模拟（三）数学（理）试卷

四川省遂宁市第二中学2020届高三上学期高考模拟（三）数学（理）试卷

数学试题(理科)‎ ‎（满分150分，考试时间120分钟）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．‎ ‎1.设i为虚数单位，则＝ ‎ ‎（A）-i （B） i （C）-1 （D）1‎ ‎2.已知集合，，则＝‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3.设a＝log36，b＝log310，c＝e-2，则 ‎（A）b＞a＞c （B）b＞c＞a （C）a＞c＞b （D）a＞b＞c ‎4.在的展开式中的常数项为 ‎（A）20 （B）15 （C）-15 （D）-20‎ ‎5.2019年11月2日，成都市青羊区开展了5种不同类型的 “垃圾分类，大家给力”社会服务活动，其中有3种活动在上午开展，2种活动在下午开展 .若小王参加了两种活动,则分别安排在上、下午的概率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6.已知是双曲线：的左焦点，则以为圆心且与渐近线相切的圆的方程为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D） ‎ ‎7.设，x∈R,则 ‎（A）f(x)为偶函数且在（0，+∞）上单调递减 （B）f(x)为偶函数且在（0，+∞）上单调递增 ‎ ‎（C）f(x)为奇函数且在（0，+∞）上单调递减 （D）f(x)为奇函数且在（0，+∞）上单调递增8.设椭圆，a＞b＞0，点A，B为C的左，右顶点，点P为C上一点，若∠APB＝120°，则C的离心率的最小值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎9.过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成300的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为 ‎ ‎（A）　　 （B）　　　　 （C）　　　　 （D）‎ ‎10.若函数f(x)=ex-ax与x轴相切，则实数a＝‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎11.设，，且，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎12.如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终 边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将△AMP的面积表示为的函数，‎ 则在上的图象大致为 ‎ ‎ ‎ ‎ （A） ‎ （B）‎ ‎ ‎ ‎（C） （D）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．‎ ‎13. 已知向量,,∥,则t＝ . ‎ ‎14.函数，的最小值为 .‎ ‎15.在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=1200,CD=3AB=3BC=,则AD的长度为 .‎ ‎16.在四面体ABCD中，DA⊥底面，侧面ABD⊥侧面BCD，BD=BC=2,，三个侧面△DAB、△DBC、△DCA的面积的平方和为，则∠ADB＝ .‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17．(12分)设数列的前项和为．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎18. (12分)第32届夏季奥林匹克运动会（英语：Games of the XXXII Olympiad）又称2020年东京奥运会.2013年9月7日雅克·罗格宣布2020年奥运会的主办城市是东京,东京申办成功后，成为继巴黎（法国）、伦敦（英国）、洛杉矶（美国）和雅典（希腊）后的世界第5个至少两次举办夏季奥运会的城市，同时也是亚洲第一个.2018年7月22日，东京奥组委公布2020年东京奥运会吉祥物名字，蓝色吉祥物被命名为Miraitowa，寓意未来和永恒.现从甲，乙两所学校各随机抽取了名高三的学生参加了奥运知识测评（满分分），其中成绩不低于分的记为“优秀”.根据测试成绩，学生的分数（单位：分）频率分布直方图如下（左图为甲校的，右图为乙校的）：‎ ‎ ‎得分 ‎（1）根据频率分布直方图估计乙校学生成绩的中位数.（结果保留两位小数）‎ ‎（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为学生测试成绩是否优秀与他所在学校有关：‎ 非优秀 优秀 合计 甲校 乙校 合计 附：‎ P(K2>k)‎ ‎19．(12分)图1是由△ABC,△BCD和△ABE组成的一个平面图形，其中AB＝BC＝CD＝2，BE＝，∠ABC＝∠ABE=∠BCD＝90°，将其沿，折起，使得与重合，连接，如图2.‎ ‎（1）证明：图2中面；‎ ‎（2）在图2中,,N分别为,的中点，求面与面所成的二面角的正弦值. ‎ ‎ (图一) （图二）‎ ‎20. (12分)已知点，点为直线上一动点,的垂直平分线与过且垂直于的直线交于点,设的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求的轨迹方程；‎ ‎（2）设A,B为曲线上不同的两点, A,B,F三点不共线，,求△FAB的面积的最大值.‎ ‎21. (12分)已知函数（）．‎ ‎（1）证明：，并说明等号成立的条件；‎ ‎（2）设，是否存在实数，使得在其定义域恒成立？若存在，求出所有满足条件的实数的集合；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）设（），表示不超过的最大整数，试求．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直线坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求的最小值及此时P的直角坐标.‎ ‎23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）‎ 设，且．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求的最大值．‎ 数学试题(理科)详细解答 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．‎ ‎1. 设i为虚数单位，则i6＝ ‎ ‎（A）-i （B） i （C）-1 （D）1‎ 答案：C ‎【解析】i4=1,i6=i2=-1‎ 故选C ‎2.已知集合，，则=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 答案：B ‎【解析】 或 ∴A∩B=(-3,-1)‎ 故选B ‎3.设a＝log36，b＝log310，c＝e-2，则 ‎（A）b＞a＞c （B）b＞c＞a （C）a＞c＞b （D）a＞b＞c 答案：A ‎【解析】 在定义域上单调递增 ∴1＜a＜b 又∵c＜1 ∴b＞a＞c 故选A ‎4.在的展开式中的常数项为 ‎（A）20 （B）15 （C）-15 （D）-20‎ 答案：D ‎【解析】 ∴当r＝3时，T3+1＝-20‎ 故选D ‎5.2019年11月2日，成都市青羊区开展了5种不同类型的 “垃圾分类，大家给力”社会服务活动，其中有3种活动在上午开展，2种活动在下午开展 .若小王参加了两种活动，则分别安排在上、下午的概率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 答案：D ‎【解析】由题意知：小王一共满足的情况为 种情况，分别在上下午的有6种情况，故概率为 故选D ‎6.已知是双曲线：的左焦点，则以为圆心且与渐近线相切的圆的方程为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D） ‎ 答案：B ‎【解析】因为焦点到渐近线的距离为b＝，以为圆心且与渐近线相切的圆的方程为 故选B ‎7.设，x∈R,则 ‎（A）f(x)为偶函数且在（0，+∞）上单调递减 （B）f(x)为偶函数且在（0，+∞）上单调递增 ‎ ‎（C）f(x)为奇函数且在（0，+∞）上单调递减 （D）f(x)为奇函数且在（0，+∞）上单调递增答案：C ‎【解析】∵，，∴f(x)为奇函数 又∵y=4x+1单调递增，∴f(x)在（0，+∞）上单调递减 故选C ‎8.设椭圆，a＞b＞0，点A,B为C的左，右顶点，点P为C上一点，若∠APB＝120°，则C的离心率的最小值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 答案：A ‎【解析】设椭圆的上顶点为M ,则∠AMP≥120°，故，‎ ‎∴，∴ ‎ 故选A ‎9.过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成300的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为 ‎ ‎（A）　　 （B）　　　　 （C）　　　　 （D）‎ 答案：C ‎【解析】设球的半径为r,∵球心到平面的距离为球的半径的，‎ ‎∴截面的半径为，∴截面的面积为 ∵球的表面积为 ‎∴所得截面的面积与球的表面积的比为 ‎ 故选C ‎10.若函数f(x)=ex-ax与x轴相切，则实数a＝‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ 答案：D ‎【解析】设切点为（x0,0）， 则，所以，故x0=1,a=e 故选D ‎11.设，，且，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 答案：C ‎【解析】，且，，∴‎ 故选C ‎12.如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终 边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将△AMP的面积表示为的函数，‎ 则在上的图象大致为 ‎ ‎ ‎ ‎ （A） ‎ （B）‎ ‎ ‎ ‎（C） （D）‎ 答案：A ‎【解析】‎ ‎∵当y＝0时，sinx=0或cosx=1‎ ‎∴x=0或π，故不选D 又因为，所以当x=时 ‎ 故选A 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．‎ ‎13. 已知向量,,∥,则t＝ . ‎ 答案：‎ ‎【解析】由∥得，故 ‎14.函数，的最小值为 .‎ 答案：2 ‎ ‎【解析】令则，y=t2-2t+3,t0=1, 故当t=1时 ymin=2 ‎ ‎15.在四边形ABCD中,,，则的长度为 .‎ 答案：6 ‎ ‎【解析】在△ABC中，AB=BC,∠ABC=120°，故AC=3,∠ACB=30°所以∠ACD=90°‎ 在△ADC中，AC=3, ，故AD=6‎ ‎16.在四面体中，底面，侧面侧面，，三个侧面、、的面积的平方和为，则 .‎ 答案：‎ ‎【解析】由底面知侧面底面，结合侧面侧面有平面.故四面体三个侧面均为直角三角形.设（），则，，，.于是三个侧面的面积的平方和是，解得，所以.‎ 三、解答题：‎ ‎17．(12分)设数列的前项和为．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎17．答案：（1）an=n,(2) Tn=(n-1)2n+1+2‎ ‎【解析】（1）∵‎ ‎∴当n=1时，a1=S1=1 2分 ‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1＝n 4分 综上an=n 5分 ‎（2）由（1）知：an=n，故 6分 ‎∴‎ ‎∴ 8分 ‎∴ 10分 ‎∴Tn=(n-1)2n+1+2 12分 ‎18. 第32届夏季奥林匹克运动会（英语：Games of the XXXII Olympiad）又称2020年东京奥运会.2013年9月7日雅克·罗格宣布2020年奥运会的主办城市是东京,东京申办成功后，成为继巴黎（法国）、伦敦（英国）、洛杉矶（美国）和雅典（希腊）后的世界第5个至少两次举办夏季奥运会的城市，同时也是亚洲第一个。2018年7月22日，东京奥组委公布2020年东京奥运会吉祥物名字，蓝色吉祥物被命名为Miraitowa，寓意未来和永恒.甲乙两所学校各随机抽取了名高三的学生参加了奥运知识测评（满分分），其中成绩不低于分的记为“优秀”。根据测试成绩，学生的分数（单位：分）频率分布直方图如下（左图为甲校，右图为乙校）：‎ ‎ ‎ ‎（1）根据频率分布直方图估计乙校学生成绩的中位数.（结果保留两位小数）‎ ‎（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为学生测试成绩是否优秀与他所在学校有关：‎ 非优秀 优秀 合计 甲校 乙校 合计 附：‎ 答案：（1）52.35,(2) 有的把握认为学生测试成绩是否优秀和他所在学校有关.‎ ‎【解析】（1）在乙校学生测试成绩频率分布直方图中，成绩低于分直方图面积为；成绩低于分直方图面积为。因此乙校学生测试成绩的中位数的估计值是 6分 ‎（2）‎ 非优秀 优秀 合计 甲校 ‎62‎ ‎38‎ ‎100‎ 乙校 ‎34‎ ‎66‎ ‎100‎ 合计 ‎96‎ ‎104‎ ‎200‎ ‎。由于，因此有的把握认为学生测试成绩是否优秀和他所在学校有关 12分 ‎19．(12分)图1是由△ABC,△BCD和△ABE组成的一个平面图形，其中AB＝BC＝CD＝2，BE＝，∠ABC＝∠ABE=∠BCD＝90°，将其沿，折起，使得与重合，连接，如图2.‎ ‎（1）证明：在图2中，面；‎ ‎（2）在图2中,,N分别为,的中点，求面与面所成的二面角的正弦值. ‎ ‎ (图一) （图二）‎ 答案：（1）略,(2) ‎ ‎【解析】（1）在图2中，∵AB⊥BD,AB⊥BC ‎∴AB⊥BCD ∴AB⊥CD 又∵CD⊥BC ∴CD⊥ABC 6分 ‎(2)以BC为x轴，BA为y轴，过B垂直ABC的直线为z轴建立坐标系，则 A(0,2,0)，B（0,0,0）C(2,0,0),D（2,0,0）M（1,1,1），N(1,0,1)‎ ‎∴,‎ 设平面CMN的一个法向量为，则 ‎∴‎ 不妨令x=1,则 又因为平面ABC的法向量，所以 故面与面所成的二面角的正弦值 12分 ‎20.已知点，点为直线上一动点,的垂直平分线与过且垂直于的直线交于点,设的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求的轨迹方程；‎ ‎（2）设A,B为曲线上不同的两点, A,B,F三点不共线，,求△FAB的面积的最大值.‎ 答案：（1）,(2) ;‎ ‎【解析】（1）由题意，到的距离等于到的距离，因此点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线。因此的轨迹方程是. 4分 ‎（2）设直线的方程为，则与轴交于点（）.‎ 代入抛物线，得 ‎ 6分 设，，则由题意，有 ‎，即 7分 因此，即，，且，‎ 因此 9分 又，且. 10分 记，且，则 ‎，‎ 因此在与单调递增，在单调递减.‎ 而，故.‎ 故△FAB的面积的最大值 12分 ‎21.已知函数（）．‎ ‎（1）证明：，并说明等号成立的条件；‎ ‎（2）设，是否存在实数，使得在其定义域恒成立？若存在，求出所有满足条件的实数的集合；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）设（），表示不超过的最大整数，试求．‎ 答案：（1）略,(2) ，（3）0.‎ ‎【解析】（1）令，则．因此在上单调递增，在上单调递减．因此，所以，当且仅当时等号成立． 3分 ‎（2）由题意，，于是可知在上单调递减，在上单调递增．于是．只需．由（1）可知，即，由此可知只能是，否则不符合题意．因此所求实数的集合是． 7分 ‎（3）由（1），取，有，‎ 因此，即．‎ 由（2），(1+x)ln(1+x)，当且仅当时等号成立．‎ 因此当时，．取，有．‎ 因此，整理得，即．‎ 从而，因此． 12分 ‎22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求的最小值及此时P的直角坐标.‎ 答案：（1）, (2) 的最小值为，此时.‎ ‎【解析】（1）曲线C1的参数方程为(为参数)‎ 将代入得：，即 3分 由曲线C2的极坐标方程为得 ‎∴，即 5分 ‎（2）设，则P到C2的距离为 8分 故当时，的最小值为，此时 10分 ‎23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）‎ 设，且．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求的最大值．‎ 答案：（1）略 (2) .‎ ‎【证明】：‎ ‎ 5分 ‎（2）令a=2cos,b=2sin,，则 t=a+b=2cos+ 2sin 故，‎ 又∵，，对称轴为t0=1‎ ‎∴当时，ymax= 10分