【数学】2020届一轮复习（理）课标通用版2-9函数模型及应用作业

【数学】2020届一轮复习（理）课标通用版2-9函数模型及应用作业

第九节　函数模型及应用 A组　基础题组 ‎1.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如下表:‎ x ‎0.50‎ ‎0.99‎ ‎2.01‎ ‎3.98‎ y ‎-0.99‎ ‎0.01‎ ‎0.98‎ ‎2.00‎ 则对x,y最适合的拟合函数是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.y=2x B.y=x2-1‎ C.y=2x-2 D.y=log2x 答案　D　根据x=0.50,y=-0.99,代入各选项计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入各选项计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D.‎ ‎2.(2019山东烟台模拟)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税R元),若年销售量为‎30-‎5‎‎2‎R万件,要使附加税不少于128万元,则R的取值范围是(　　)‎ A.[4,8] B.[6,10]‎ C.[4%,8%] D.[6%,10%]‎ 答案　A　根据题意,要使附加税不少于128万元,需‎30-‎5‎‎2‎R×160×R%≥128,整理得R2-12R+32≤0,解得4≤R≤8,即R∈[4,8].‎ ‎3.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系式f(x)=C,0A.‎已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表:‎ 月份 用气量 煤气费 一月份 ‎4 m3‎ ‎4元 二月份 ‎25 m3‎ ‎14元 三月份 ‎35 m3‎ ‎19元 若四月份该家庭使用了20 m3的煤气,则其煤气费为(　　)‎ A.11.5元 B.11元 ‎ C.10.5元 D.10元 答案　A　由题中表格易知4≤A<25,‎ 则由题意可得C=4,‎‎4+B(25-A)=14,‎‎4+B(35-A)=19,‎ 解得A=5,‎B=‎1‎‎2‎,‎C=4,‎ 当x=20时, f(20)=4+‎1‎‎2‎×(20-5)=11.5.故选A.‎ ‎4.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.减少7.84% B.增加7.84%‎ C.减少9.5% D.不增不减 答案　A　设某商品原来价格为a,依题意得:‎ a(1+0.2)2(1-0.2)2=a×1.22×0.82=0.921 6a,‎ ‎(0.921 6-1)a=-0.078 4a,‎ 所以四年后的价格与原来价格比较,减少了7.84%.‎ ‎5.已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是(　　)‎ 答案　D　依题意知当0≤x≤4时, f(x)=2x;当40),广告效应D=aA-A.那么对于此商品,精明的商人为了取得最大的广告效应,投入的广告费应为　　　　.(用常数a表示) ‎ 答案　‎a‎2‎‎4‎ 解析　由题意得D=aA-A=-A‎-‎a‎2‎‎2‎+a‎2‎‎4‎,且A≥0,‎ ‎∴当A=a‎2‎,即A=a‎2‎‎4‎时,D最大,最大为a‎2‎‎4‎.‎ ‎7.(2018安徽蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的关系式为y=alog2(x+1),若这种动物第1年有100只,则第7年它们繁殖　　　　只. ‎ 答案　300‎ 解析　由题意,得100=alog2(1+1),解得a=100,所以y=100log2(x+1),当x=7时,y=100log2(7+1)=300,故第7年它们繁殖300只.‎ ‎8.某人准备购置一块占地1 800平方米的矩形地块,中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1米的小路(如阴影部分所示),大棚占地面积为S平方米,其中a∶b=1∶2,若要使S最大,则y=　　　　. ‎ 答案　45‎ 解析　由题意可得xy=1 800,b=2a,则y=a+b+3=3a+3,S=(x-2)a+(x-3)×b=(3x-8)a=(3x-8)×y-3‎‎3‎=1 808-3x-‎8‎‎3‎y=1 808-3x-‎8‎‎3‎×‎1 800‎x=1 808-‎3x+‎‎4 800‎x≤1 808-2‎3x×‎‎4 800‎x=1 808-240=1 568,当且仅当3x=‎4 800‎x,即x=40时取等号,所以当S取得最大值时,y=‎1 800‎‎40‎=45.‎ ‎9.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2;当4≤x≤20时,v是x的一次函数;当x达到20尾/立方米时,因缺氧等原因,v的值为0.‎ ‎(1)当040.‎ ‎(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式;‎ ‎(2)当年产量为多少万只时,该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大 利润.‎ 解析　(1)当040时,W=xR(x)-(16x+40)=-‎40 000‎x-16x+7 360.‎ 所以W=‎‎-6x‎2‎+384x-40,040.‎ ‎(2)①当040时,W=-‎40 000‎x-16x+7 360,‎ 由于‎40 000‎x+16x≥2‎40 000‎x‎×16x=1 600,‎ 当且仅当‎40 000‎x=16x,即x=50∈(40,+∞)时,取等号,所以W取最大值,为5 760.‎ 综合①②,当x=32时,W取最大值,为6 104.‎ B组　提升题组 ‎1.某工厂产生的废气经过滤后排放,排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中,废气中的污染物数量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:时)之间的函数关系为P=P0e-kt(k,P0均为正常数).如果在前5个小时的过滤过程中,污染物排除了90%,那么排放前至少还需要过滤的时间是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎1‎‎2‎小时 B.‎5‎‎9‎小时 C.5小时 D.10小时 答案　C　由题意,前5个小时消除了90%的污染物.‎ ‎∵P=P0e-kt,∴(1-90%)P0=P0e-5k,‎ ‎∴0.1=e-5k,即-5k=ln 0.1,‎ ‎∴k=-‎1‎‎5‎ln 0.1.由1%P0=P0e-kt,‎ 即0.01=e-kt,得-kt=ln 0.01,‎ ‎∴‎1‎‎5‎ln0.1‎t=ln 0.01,∴t=10.‎ ‎∴排放前至少还需要过滤的时间为t-5=5(小时).故选C.‎ ‎2.某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/100 千克)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:‎ 时间t ‎60‎ ‎100‎ ‎180‎ 种植成本Q ‎116‎ ‎84‎ ‎116‎ 根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变换关系.‎ Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=a·logbt.‎ 利用你选取的函数,求得:‎ ‎(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是　　　　; ‎ ‎(2)最低种植成本是　　　　(元/100千克). ‎ 答案　(1)120　(2)80‎ 解析　根据表中数据可知函数不单调,‎ 所以Q=at2+bt+c,‎ 且图象开口向上,对称轴t=-b‎2a=‎60+180‎‎2‎=120,‎ 代入数据得‎3 600a+60b+c=116,‎‎10 000a+100b+c=84,‎‎32 400a+180b+c=116,‎ 解得b=-2.4,‎c=224,‎a=0.01.‎ 所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120,‎ 最低种植成本是14 400a+120b+c=14 400×0.01+120×(-2.4)+224=80(元/100千克).‎ ‎3.据气象中心观察和预测:发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动,其移动速度v(单位:km/h)与时间t(单位:h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积为时间t内台风所经过的路程s(单位:km).‎ ‎(1)当t=4时,求s的值;‎ ‎(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;‎ ‎(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,试判断这场台风是否会侵袭到N城,如果会,台风在发生后多长时间将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.‎ 解析　(1)由图象可知,直线OA的方程是v=3t,直线BC的方程是v=-2t+70.‎ 当t=4时,v=12,所以s=‎1‎‎2‎×4×12=24.‎ ‎(2)当0≤t≤10时,s=‎1‎‎2‎×t×3t=‎3‎‎2‎t2;‎ 当100,‎x>0,‎得00,‎ 所以P=-‎(150-x)+‎‎100‎‎150-x+120,‎ 又(150-x)+‎100‎‎150-x≥2‎(150-x)·‎‎100‎‎150-x=2×10=20,‎ 当且仅当150-x=‎100‎‎150-x,即x=140时等号成立,‎ 所以Pmax=-20+120=100.‎ 故每套丛书售价定为140元时,单套丛书的利润最大,为100元.‎