2020届高三数学下学期教学质量检测试题 理（含解析）

2020届高三数学下学期教学质量检测试题 理（含解析）

安徽省亳州市二中2019届高三下学期教学质量检测 数学（理）试题`‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设全集，函数的定义域为，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，所以，故选A．........................‎ ‎2. 复数的共轭复数为，若为纯虚数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，则 ，它为纯虚数，则，即，所以，故选D．‎ ‎3. 若展开式的常数项为（ ）‎ A. 120 B. 160 C. 200 D. 240‎ ‎【答案】B ‎【解析】 展开式的通项为 ,令 ,得,所以展开式的常数项为,选B.‎ ‎4. 若，，，则大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，即，同理，而，因此．，故选D.‎ 17‎ ‎5. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，该几何体是四棱锥，它可以看作是从正方体中截出的平分，其四个侧面都是直角三角形，故选C．‎ ‎6. 二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二、无限逼近”．执行如图所示的程序框图，若输入则输出的值 17‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据二分法，程序运行中参数值依次为：，，，，，，，，此时满足判断条件，输出，注意是先判断，后计算，因此输出的，故选B．‎ ‎7. 将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ,平移后函数 为奇函数,所以 ,解得,所以当 时, 有最小值 .‎ ‎8. 某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本数分别为，且直线与以为圆心的圆交于两点，且，则圆的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】按照分层抽样的特点,高一高二高三抽取的人数分别为.所以,直线方程为 ,即,圆心 到直线的距离 ,由于 ,所以圆的半径 ,故圆的方程为 ,选C.‎ ‎9. 已知函数，其图象与直线 17‎ 相邻两个交点的距离为，若对恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：令，得到，即的图像和相邻两个交点的距离为，故，，所以根据题意，若恒成立，即，所以当时，，当时，，所以，结合选项，当时，，故选D.‎ 考点：三角函数的性质 ‎【方法点击】本题考察了三角函数的性质和图像，一般求，可根据周期求解，求可根据“五点法”求解，求值域或是单调区间时，根据复合函数求解，一般可写成，，选择将代入求的范围，（1）如果求值域，那么就根据的范围，求的范围，（2）如果求函数的单调区间，让落在相应的函数的单调区间内，（3）本题恒成立，解得，那么的范围是不等式解集的子集.‎ ‎10. 已知椭圆的左、右焦点分别为过作一条直线（不与轴垂直）与椭圆交于两点，如果恰好为等腰三角形，该直线的斜率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 17‎ ‎【解析】‎ 设，则，，于是，又，所以，所以，，因此，，直线斜率为，由对称性，还有一条直线斜率为，故选C．‎ ‎11. 已知抛物线，直线倾斜角是且过抛物线的焦点，直线被抛物线截得的线段长是16，双曲线：的一个焦点在抛物线的准线上，则直线与轴的交点到双曲线的一条渐近线的距离是（ ）‎ A. 2 B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】抛物线的焦点为,由弦长计算公式有 ,所以抛物线的标线方程为,准线方程为 ,故双曲线的一个焦点坐标为,即 ,所以 ,渐近线方程为,直线方程为,所以点,点P到双曲线的一条渐近线的距离为 ,选D.‎ 点睛: 本题主要考查了抛物线与双曲线的简单几何性质, 属于中档题. 先由直线过抛物线的焦点,求出弦长,由弦长求出的值,根据双曲线中的关系求出 ,渐近线方程等,由点到直线距离公式求出点P到双曲线的一条渐近线的距离.‎ ‎12. 已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，则命题“，且，”是命题：“，”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 17‎ C. 充要条件 D. 既不充分也必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】构造函数 ,则,‎ 所以 ,但,所以命题P不能推出命题Q;由导数的定义, ,所以当有,故命题不能推出命题P,P是Q的必要不充分条件.选B.‎ 点睛: 本题主要考查了充分必要条件, 涉及导数的定义与曲线上割线的斜率,属于中档题. 注意当判断命题为假时,可以举出反例.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 的展开式中，的系数为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】展开式通项为，令，，所以要求的系数为．‎ ‎14. 已知函数，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，所以，．‎ 点睛：本题函数的奇偶性，解题本质是利用奇函数的性质，因此关键是构造出一个奇函数，设，则为奇函数，，于是有，所以，．‎ ‎15. 已知双曲线，过轴上点的直线与双曲线的右支交于两点（在第一象限），直线交双曲线左支于点（为坐标原点），连接．若，则该双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ 17‎ ‎【解析】∵关于原点对称，∴，‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴．‎ 点睛：设是双曲线上的两点，是关于原点的对称点，则，，又，，两式相减得，，所以，同理若是椭圆上的两点，是关于原点的对称点，则，圆锥曲线中的有些特殊结论如果能记住，在解选择填空题时可更加简便．‎ ‎16. 已知在平面四边形中，，，，，则四边形面积的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设 ,则在 中,由余弦定理有,所以四边形面积 ,所以当 时, 四边形面积有最大值 .‎ 点睛: 本题主要考查解三角形, 属于中档题. 本题思路: 在 中中,已知长,想到用余弦定理求出另一边的表达式,把 四边形面积写成 这两个三角形面积之和,用辅助角公式化为,当 时, 四边形面积有最大值 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ 17‎ ‎17. 已知各项均不相等的等差数列满足，且成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析: (1)设等差数列的公差为,由 展开求出公差 ,再写出数列 的通项公式; (2)将 化简,分 为奇偶,利用裂项相消求出数列的前 项和.‎ 试题解析:（Ⅰ）设等差数列的公差为，由题意得，即，‎ 解得或（舍），所以. ‎ ‎（Ⅱ）由，可得 ‎，‎ 当为偶数时，‎ ‎.‎ 当为奇数时，为偶数，于是 ‎.‎ ‎18. 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100分）．‎ 晋级成功 晋级失败 合计 男 ‎16‎ 女 ‎50‎ 17‎ 合计 ‎（Ⅰ）求图中的值；‎ ‎（Ⅱ）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？‎ ‎（Ⅲ）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎0．40‎ ‎0．25‎ ‎0．15‎ ‎0．10‎ ‎0．05‎ ‎0．025‎ ‎0．780‎ ‎1．323‎ ‎2．072‎ ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎5．024‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为 ，即可求得；‎ ‎(Ⅱ)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，得到晋级成功的人数为（人），‎ 得到的列联表，根据公式求解的值，即可得到结论；‎ ‎（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为，得到故可视为服从二项分布，‎ 利用二项分布的概率公式，求得概率，列出分布列，从而计算期望值．‎ 试题解析：(Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知 ‎，故.‎ ‎(Ⅱ)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，‎ 故晋级成功的人数为（人），‎ 故填表如下 晋级成功 晋级失败 合计 17‎ 男 ‎16‎ ‎34‎ ‎50‎ 女 ‎9‎ ‎41‎ ‎50‎ 合计 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ 假设“晋级成功”与性别无关，‎ 根据上表数据代入公式可得，‎ 所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．‎ ‎（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为，‎ 故可视为服从二项分布，‎ 即，， ‎ 故 ， ，‎ ‎ ， ，‎ ‎ ，‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ 或（.‎ ‎19. 如图所示，四面体中，已知平面平面.‎ 17‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）若二面角为，求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（I）要证，由于有平面 平面，因此只要证得，就有线面垂直，线线垂直，而可在中由余弦定理求得，再由勾股定理得证；‎ ‎（II）首先由平面知为二面角的平面角，又由已知及（I）可知平面，从而是与平面所成的角，在相应三角形中可解出．‎ 试题解析：‎ 证明：中，由，‎ 解得，从而 ‎．‎ 平面平面，平面平面，‎ ‎ 平面．又平面．‎ ‎（II）由平面平面，‎ ‎．‎ 又 是平面与平面所成的二面角的平面角，即．‎ ‎，‎ 平面．‎ 是与平面所成的角．‎ 中，‎ 中，．‎ 点睛：立体几何中求空间角常用空间向量法求解．‎ 如图建立空间直角坐标系，平面法向量，设平面的法向量，由，易知，‎ 17‎ 从而，，‎ 解得，易知，‎ 则，设直线与平面所成的角为，‎ 则，‎ 即求直线与平面所成的角的正弦值为．‎ ‎20. 已知过抛物线焦点且倾斜角的直线与抛物线交于点 的面积为．‎ ‎（I）求抛物线的方程；‎ ‎（II）设是直线上的一个动点，过作抛物线的切线，切点分别为直线与直线轴的交点分别为点是以为圆心为半径的圆上任意两点，求最大时点的坐标．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（I）抛物线焦点为，写出直线方程，与抛物线方程联立，消元后可得，其中，可再求出原点到直线的距离，由求得，也可由求得；‎ ‎（II）首先设出点坐标，设，利用导数的几何意义得出两切线方程，代入点坐标，从而得直线方程为，从而可得坐标，得的长，而要使最大，则与圆相切，这样可求得，最后由基本不等式可得最大值．也可用正切函数求最大值．‎ 试题解析：‎ 17‎ ‎（I）依题意，，所以直线的方程为；‎ 由得，‎ 所以，‎ 到的距离，‎ ‎，抛物线方程为 ‎（II）设，由得，‎ 则切线方程为即，‎ 同理，切线方程为，‎ 把代入可得故直线的方程为即 由得，‎ ‎，‎ 当与圆相切时角最大，‎ 此时，等号当时成立 当时，所求的角最大．‎ 综上，当最大时点的坐标为 点睛：在解析几何中由于的边过定点，因此其面积可表示为，因此可易求，同样在解解析几何问题时如善于发现平面几何的性质可以帮助解题，第（II）小题中如能发现则知是圆的切线，因此取最大值时，中一条与重合，另一条也是圆的切线，从而易得解．‎ 17‎ 另解：（I）依题意，，所以直线的方程为；‎ 由得，‎ ‎，‎ ‎，抛物线方程为．‎ ‎（II）设，由得，‎ 则切线方程为即，‎ 同理，切线方程为，‎ 把代入可得故直线的方程为即 由得，‎ ‎，‎ 注意到 ‎，‎ 当且仅当即时等号成立．‎ ‎21. 设函数．‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若当时，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析: (1)由已知条件求出,由点斜式求出切线方程; (2)构造函数 ,由 ,通过转化为证明 在 17‎ ‎ 上为增函数,求出的范围.‎ 试题解析:（Ⅰ）当时，，‎ 则，所以，‎ 又，所以曲线在处的切线方程为.，即. ‎ ‎（Ⅱ）由得，而，‎ 所以，设函数，‎ 于是问题 转化为，对任意的恒成立. ‎ 注意到，所以若，则单调递增，‎ 从而.而，‎ 所以等价于，‎ 分离参数得，‎ 由均值不等式可得，‎ 当且仅当时等号成立，于是. ‎ 当时，设，‎ 因为，又抛物线开口向上，‎ 所以函数有两个零点，‎ 设两个零点为，则，‎ 于是当时，，故，所以单调递减，故，这与题设矛盾，不合题意.‎ 综上，的取值范围是. ‎ 点睛:本题主要考查了导数的几何意义及恒成立问题转化为求函数的最小值,属于中档题.在(1)中,导数的几何意义是函数在某一点处切线的斜率,所以本题求切线方程是容易题;在(2)中,注意等价转化,转化为求函数在上为增函数,分离出参数,求 的最大值.得到的范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 17‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程是（是参数），圆的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求圆心的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析: (1)由 ,将极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)求出直线上的点与圆心之间的距离, 由勾股定理求出切线长,再求出最小值.‎ ‎（Ⅰ）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆的直角坐标方程为，即 ‎∴圆心的直角坐标为. ‎ ‎（Ⅱ）直线上的点向圆引切线，则切线长为 ‎，‎ ‎∴直线上的点向圆引的切线长的最小值为. ‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知，函数的最小值为．‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）若恒成立，求实数的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将函数化为分段函数形式，并求出最小值，再根据最小值为1，得结论，(2)先利用变量分离，将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题：的最小值，再利用1的代换及基本不等式求最值，即得实数的最大值.‎ 试题解析：（Ⅰ）法一：，‎ ‎∵且，‎ ‎∴，当时取等号，即的最小值为，‎ 17‎ ‎∴，. ‎ 法二：∵，‎ ‎∴，‎ 显然在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴的最小值为， ‎ ‎∴，. ‎ ‎（Ⅱ）∵恒成立，‎ ‎∴恒成立， ‎ ‎ ‎ 当时，取得最小值，‎ ‎∴，即实数的最大值为.‎ ‎ ‎ 17‎