2017-2018学年北京四中下学期高二年级期中考试数学试题（文科）（Word版）

2017-2018学年北京四中下学期高二年级期中考试数学试题（文科）（Word版）

北京四中2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（文科）‎ 满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. ‎ ‎1. 在复平面内，复数的对应点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2. 函数f（x）是定义在（-，+）上的可导函数. 则“函数y=f（x）在R上单调递增”是“f'（x）>0在R上恒成立”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3. 曲线y=x3-2x+l在点（1，0）处的切线方程为 A. y=x-1 B. y=-x+1 C. y=2x-2 D. y=-2x+2‎ ‎4. 函数y=xcosx的导数为 A. y'=cosx-xsinx B. y'=cosx+xsinx C. y'=xcosx-sinx D. y'=xcosx+sinx ‎5. 设f（x）=x2-2x-4lnx，则函数f（x）的增区间为 A. （0，+） B. （-，-1），（2，+） ‎ C. （2，+） D. （-1，0）‎ ‎6. 若复数z=（x2-4）+（x+3）i（x∈R），则“z是纯虚数”是“x=2”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎7. 函数f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内极小值点的个数为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎8. 函数f（x）=（）x-log2x的零点个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎9. 若函数y=f（x）的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质. 下列函数中具有T性质的是 A. y=sinx B. y=lnx C. y=ex D. y=x3‎ ‎10. 函数f（x）=x3-3x，若对于区间[-3，2]上的任意x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤t，则实数t的最小值是 A. 20 B. 18 C. 3 D. 0‎ ‎11. 设函数f'（x）是奇函数f（x）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf'（x）-f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是 A. （-，-1）（0，1） B. （-1，0）（1，+）‎ C. （-，-1）（-1，0） D. （0，1）（1，+）‎ ‎12. 德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l可以多次出现），则n的所有不同值的个数为 A. 4 B. 6 C. 8 D. 32‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 ‎13. 已知i是虚数单位，若复数z满足zi=l+i，则z2=___________. ‎ ‎14. 如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=-x+8，则f（2018）+f'（2018）=_________. ‎ ‎15. 已知函数f（x）=ex-x+a有零点，则a的取值范围是_________. ‎ ‎16. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则（a，b）=________. ‎ ‎17. 对于函数f（x）=（2x-x2）ex ‎①（-，）是f（x）的单调递减区间；‎ ‎②f（-）是f（x）的极小值，f（）是f（x）的极大值；‎ ‎③f（x）没有最大值，也没有最小值；‎ ‎④f（x）有最大值，没有最小值. ‎ 其中判断正确的是_________. ‎ ‎18. 若函数exf（x）（e=2.71828…，是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数：‎ ‎①f（x）=（x>1） ②f（x）=x2 ③f（x）=cosx ④f（x）=2-x 中具有M性质的是__________. ‎ 三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分. ‎ ‎19. 已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+a. ‎ ‎（I）求f（x）的单调减区间；‎ ‎（II）若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. ‎ ‎20. 设f（x）=a（x-5）2+61nx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））‎ 处的切线与y轴相交于点（0，6）. ‎ ‎（I）确定a的值；‎ ‎（II）求函数f（x）的单调区间与极值. ‎ ‎21. 已知：函数f（x）=ax4lnx+bx4-c（x>0）在x=1处取得极值-3-c，其中a，b，c为常数. ‎ ‎（1）试确定a，b的值；‎ ‎（2）讨论函数f（x）的单调区间：‎ ‎（3）若对任意x>0，不等式f（x）≥-2c2恒成立，求c的取值范围. ‎ ‎22. 已知函数f（x）=ex·（a++lnx），其中a∈R. ‎ ‎（I）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=-垂直，求a的值；‎ ‎（II）当a∈（0，ln2）时，证明：f（x）存在极小值. ‎ 参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B A A C B A B A A A B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 ‎13‎ ‎-2i ‎14‎ ‎-2011‎ ‎15‎ ‎（-,-1]‎ ‎16‎ ‎（4,-11）‎ ‎17‎ ‎①③‎ ‎18‎ ‎①④‎ 三、解答题：本大题共4小题，共60分 ‎19. 解：（I）f'（x）=-3x2+6x+9. 令f'（x）<0，解得x<-1或x>3，‎ 所以函数f（x）的单调递减区间为（-,-1），（3，+）. ‎ ‎（II）因为f（-2）=8+12-18+a=2+a，‎ f（2）=-8+12+18+a=22+a，‎ 所以f（2）>f（-2），‎ 因为在（-1，3）上f'（x）>0，所以f（x）在[-1，2]上单调递增，又由于f（x）在[-2，-1]上单调递减，因此f（2）和f（-1）分别是f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值. ‎ 于是有22+a=20，解得a=-2. ‎ 故f（x）=-x3+3x2+9x-2. 因此f（-1）=1+3-9-2=-7，‎ 即函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值为-7. ‎ ‎20. 解：（I）因f（x）=a（x-5）2+6lnx，故f'（x）=2a（x-5）+. ‎ 令x=l，得f（1）=16a，f'（1）=6-8a，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-16a=6-8a（x-1），由点（0，6）在切线上可得6-16a=8a-6，故a=. ‎ ‎（II）由（I）知f（x）=（x-5）2+6lnx（x>0），f'（x）=x-5+=. ‎ 令f'（x）=0，解得x1=2，x2=3. ‎ 当03时，f'（x）>0，故f（x）在（0，2），（3，+）上为增函数；‎ 当20）. 令f'（x）=0，解得x=1. ‎ x ‎（0,1）‎ ‎1‎ ‎（1,+）‎ f'（x）‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↘‎ 极小值f（1）‎ ‎↗‎ 因此f（x）的单调递减区间为（0，1），而f（x）的单调递增区间为（1，+）. ‎ ‎（III）由（II）知，f（x）在x=1处取得极小值f（1）=-3-c，此极小值也是最小值. 要使f（x）≥-2c2（x>0）恒成立，只需-3-c≥-2c2. ‎ 即2c2-c-3≥0，从而（2c-3）（c+1）≥0. ‎ 解得c≥或c≤-1. 所以c的取值范围为（-，-1][，+）‎ ‎22. 解：（I）f（x）的导函数为f'（x）=ex·（a++lnx）+ex·（-）‎ ‎=ex·（a+-+lnx）. ‎ 依题意，有f'（1）=e·（a+1）=e，‎ 解得a=0. ‎ ‎（II）由f'（x）=ex·（a+-+lnx）及ex>0知，f'（x）与a+-+lnx同号. ‎ 令g（x）=a+-+lnx，‎ 则g'（x）==. ‎ 所以对任意x（0,+），有g'（x）>0，故g（x）在（0，+）单调递增. ‎ 因为a∈（0，ln2），所以g（1）=a+l>0，g（）=a+ln<0，‎ 故存在x0∈（，1），使得g（x0）=0. ‎ f（x）与f'（x）在区间（，1）上的情况如下：‎ x ‎（,x0）‎ x0‎ ‎（x0,1）‎ f'（x）‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以f（x）在区间（，x0）上单调递减，在区间（x0，1）上单调递增. ‎ 所以f（x）存在极小值f（x0）. ‎