【数学】河南省南阳市2019-2020学年高二下学期期中质量评估（理）

【数学】河南省南阳市2019-2020学年高二下学期期中质量评估（理）

参考答案 一、 选择题 ‎1---6 BACBCC 7------12 DDABDA 二、 填空题 13. ‎ 2 14. -6 ‎ ‎15. 16. (364也对） ‎ 三、解答题 ‎17证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.‎ 由题设得(a＋b＋c)2＝1，‎ 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，‎ 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.-------------------------5分 ‎（2）因为a＋b＋c＝1，‎ 所以1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋‎2ac，‎ 因为2ab≤a2＋b2, 2bc≤b2＋c2, ‎2ac≤a2＋c2，‎ 所以2ab＋2bc＋‎2ac≤2(a2＋b2＋c2)，‎ 所以1≤a2＋b2＋c2＋2(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥.--------------------10分 ‎18.解　(1)因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，-------------2分 ‎ 由得 0＜x＜e；‎ 由得x＞e.‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．‎ 所以，--------------------------------5分 ‎(2)①当即0＜m≤时，函数f(x)在区间[m,‎2m]上单调递增，‎ 所以f(x)max＝f(‎2m)＝－1；------------------------------------7分 ‎②当m＜e＜‎2m，即＜m＜e时，函数f(x)在区间(m，e)上单调递增，在(e,‎2m)上单调递减，‎ 所以f(x)max＝f(e)＝－1＝－1；--------------------------------9分 ‎③当m≥e时，函数f(x)在区间[m,‎2m]上单调递减，‎ 所以f(x)max＝f(m)＝－1. --------------------------------11分 综上所述，当0＜m≤时，f(x)max＝－1；‎ 当＜m＜e时，f(x)max＝－1；‎ 当m≥e时，f(x)max＝－1.-------------------------------12分 ‎19．证明：（1）‎ 所以，时，等式成立。-----------------------------------------3分 ‎（2）假设当时，等式成立，即。----------------------5分 那么，当时，---------------7分 所以：当等式也成立。 ---------------------------------------------10分 综上可知，要证明的等式，当时成立。------12分 ‎20.解：（1）设交于点，过作，垂足为， ‎ E 在中，，，……………………………2分 D 在中，，………………………………4分 所以 ‎， ……………………5分 ‎（2）要使侧面积最大，由（1）得：‎ 设 ……………………6分 ‎ 则，由得：‎ 当时，，当时，‎ 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，…………8分 所以在时取得极大值，也是最大值；‎ 所以当时，侧面积取得最大值， …………………………10分 此时等腰三角形的腰长 答：侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为．…………12‎ ‎21．解：（1），．‎ 因此曲线在点处的切线方程是．--------------------4分 ‎（2）方法一：当时，．‎ 令，则．-------------------------8分 当时，，单调递减；当时，，单调递增；‎ 所以．因此．--------------------------------------12分 方法二：由(1)知:=‎ 因为，所以，所以。令--------------6分 所以在上单调递减，在上单调递增。‎ 当时，，所以 当时，在上单调递减，在上单调递增。‎ 所以。------------------------------------------------------8分 要证-----------------------------------------9分 令，所以-------------10分 所以在上单调递增。‎ 所以 故综上所述，当----------------------------------------12分 ‎22．解：（1）.当时，，当时，‎ 所以--------------------------------4分 ‎(2)根据题意 令，解得，或因为，所以，且 所以当时，‎ 当时，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减-----------7分 因为，所以在上有且只有1个零点---------------------8分 又在上单调递减，所以 -----------------9分 当时，，所以，‎ 又函数在上单调递增 所以 ----------------------------------11分 ‎ 故当时，函数有2个零点--------------------------12分