数学理卷·2018届河南省南阳市高三上学期期中质量评估（2017

数学理卷·2018届河南省南阳市高三上学期期中质量评估（2017

‎2017年秋期期中考试三数学试题（理）及答案 一、 选择题：‎ ‎1.已知集合，，则A∩B=（　D　）‎ A．              B．             C．（0，1]              D．（0，3]‎ ‎2.复数满足，则z=( A )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.设命题：，则为（　D　）‎ A．             B．‎ C．             D．‎ ‎4.设{}为等差数列，公差，为其前n项和，若，则=（　B　）‎ A．18      B．20     C．22      D．24‎ ‎5.若是正数，且，则有（　A　）‎ A．最小值   B．最小值  C．最大值    D．最大值 ‎6.在△ABC中，，，，则此三角形解的情况是（　B　）‎ A．一解    B．两解   C．一解或两解     D．无解 ‎7.已知函数g(x)是R上的奇函数，且当时，，函数 ‎，若，则实数x的取值范围是(　D　)‎ A．(－2,1)B．(－∞，－2)∪(1，)∪(，＋∞)‎ C．(－1,2)D．(－2，－)∪(－，0)∪(0,1)‎ ‎8.已知是定义域为，值域为的函数，则这样的函数共有（ A ）个.‎ A.6 B.27 C.64 D.81‎ ‎9.若函数有且只有2个不同的零点，则实数k的取值范围是(　C　)‎ A．(－4,0) B．(－4,0]‎ C． (－∞，0]D．(－∞，0)‎ ‎10.已知O是所在平面内的一定点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的（ A ）‎ A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心 ‎11.已知有穷数列中，n=1,2,3,,729.且.从数列中依次取出构成新数列，容易发现数列是以-3为首项，-3为公比的等比数列.记数列的所有项的和为，数列的所有项的和为，则（ A ）‎ A. B. C. D.与的大小关系不确定 ‎12.4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元，而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元，则2枝玫瑰花和3枝茶花的价格之差的最大值是（ B ）‎ A.-1 B.0 C.1 D.2‎ 一、 填空题：‎ ‎13.已知则=　　 ．‎ ‎14.在中，,.若为的外心，则　　　 ．288‎ ‎15.下列结论：①②存在；‎ ‎③函数的最小正周期为；④任意的锐角三角形ABC中，有成立。其中所有正确结论的序号为　　　 ．①②④‎ ‎16.已知且对任意的恒成立，则的最小值为　　 ．1‎ 一、 解答题：‎ ‎ 17.(本题满分10分）已知函数，其中e是自然对数的底数．‎ ‎（1）证明：是上的偶函数；‎ ‎（2）若关于的不等式在（0，+∞）上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【解答】解：（1）∵，‎ ‎∴，即是上的偶函数；…………………………3分 ‎（2）若关于的不等式在（0，+∞）上恒成立，‎ 即 ‎∵x＞0，∴，‎ 即在（0，+∞）上恒成立，………………………………5分 设t=ex，（t＞1），则在上恒成立，………………7分 ‎∵，当且仅当时等号成立，‎ ‎∴．………………………………………………………………10分 ‎18.(本题满分12分）已知等比数列的前项和为，且，，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）数列中，，求数列的前项和．‎ ‎【解答】解：（1）由得，又，‎ ‎∴，………………………………………………2分 又数列成等比数列，设公比，则 ‎∴或（与矛盾，舍），………………………………4分 ‎∴，；………………………………6分 ‎（2），∴，‎ ‎=﹣2×2﹣2﹣1×2﹣1+0+…+（n﹣3）×2n﹣3，‎ ‎2=﹣2×2﹣1﹣1×20+0+…+（n﹣3）×2n﹣2，‎ 相减得=2×2﹣2﹣（2﹣1+20+…+2n﹣3）+（n﹣3）×2n﹣2=﹣（2n﹣2﹣）+（n﹣3）×2n﹣2‎ ‎=（n﹣4）×2n﹣2+1，‎ 即 …………………………………………………………12分 ‎19.(本题满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，且 ‎（1）求A；‎ ‎（2）若，求△ABC的面积的最值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知，，‎ 由正弦定理得，，‎ ‎∵，‎ ‎∴化简得，，‎ ‎∵，∴，则，‎ 由0＜A＜π得，；…………………………………………6分 ‎（2）∵，，∴由余弦定理得，‎ ‎，因为，故可得（当且仅当b=c时取等号），‎ ‎∴△ABC的面积 ‎∴△ABC的面积的最大值是．没有最小值。 ………………………………12分 ‎20.(本题满分12分）已知函数，.‎ (1) 如果对任意，恒成立，求的取值范围；‎ (2) 若函数有两个零点，求的取值范围；‎ (3) 若函数的两个零点为，证明：‎ 解：（1）对，恒成立 ‎，对恒成立 令，则，‎ 易知：在上递减，在上递增。‎ ‎，的取值范围是.……………4分 ‎（2）有两个零点，等价于与有两个不同的交点，‎ 由 （1）知，……………6分 （3） 证明：由（2）知：不妨设，‎ 则，，即 令，‎ ‎，即为增函数 ‎，即 因为，故 由，得 由（1）知在上递减，‎ 故，即：……………………12分 ‎21.(本题满分12分）讨论函数在定义域上的单调性.‎ 解：‎ ‎①当时，上递增；‎ 又，‎ ‎②当时，，上递减；‎ ‎③当时，方程的判别式，该方程有两根，且，则当x变化时，的变化情况如下表：‎ ‎（0，）‎ ‎（，）‎ 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以在上递减，在上递增，在上递减。‎ ‎22.(本题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）若，试讨论关于的方程的解的个数，并说明理由.‎ 解：（1）依题意得，，‎ 当时，，故函数在上单调递增，无极值；…………2分 当时，令，或（舍）‎ 当时，，函数在上单调递减；‎ 当时，，函数在上单调递增。‎ 故函数有极小值. …………5分 综上所述：当时，无极值；‎ 当时，有极小值，无极大值。 …………6分 ‎（2）令，，问题等价于求函数的零点个数.‎ 易得 当时，，函数为减函数，因为，，所以有唯一零点； …………8分 当时，则当或时，，而当时，，‎ 所以，函数在和上单调递减，在单调递增，‎ 因为，，所以函数有唯一零点.‎ 综上，若，函数有唯一零点，即方程方程有唯一解. …………12分