2019届二轮（理科数学）　函数与方程课件（22张）（全国通用）

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第10节　函数与方程 内容简介 本节主要包含以下两方面的知识点 : (1) 函数与方程的概念 ; (2) 基本初等函数的图象和性质 . 考试说明要求 : 了解函数零点的概念 . 知识梳理 例题精讲 课前检测 知识梳理 1. 函数的零点 (1) 函数零点的概念 对于函数 y=f(x), 把使 的实数 x 叫做函数 y=f(x) 的零点 . (2) 函数零点与方程根的关系 方程 f(x)=0 有实数根⇔函数 y=f(x) 的图象与 有交点⇔函数 y=f(x) 有 . 2. 零点存在性定理 如果函数 y=f(x) 满足 :① 在区间 [a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线 ;② ; 则函数 y=f(x) 在 (a,b) 上存在零点 , 即存在 c∈(a,b), 使得 f(c)=0, 这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根 . f(x)=0 x轴 零点 f(a)·f(b)<0 1. 下列函数不存在零点的是 ( 　 　 ) 课前检测 D C 2. 若函数 f(x)=ax+b(a≠0) 有一个零点是 2, 那么函数 g(x)=bx 2 -ax 的零点是 ( 　 　 ) 3. 二次函数 f(x)=ax 2 +bx+c(x∈ R ) 的部分对应值如表 : x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 m -4 -6 -6 -4 n 6 由此可以判断方程 ax 2 +bx+c=0 的两个根所在的区间是 ( 　 　 ) (A)(-3,-1) 和 (2,4) (B)(-3,-1) 和 (-1,1) (C)(-1,1) 和 (1,2) (D)(-∞,-3) 和 (4,+∞) A 4. 设方程 x 3 =2 2-x 的解为 x 0 , 则 x 0 所在的区间是 ( 　 　 ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4) 解析 : 构造函数 f(x)=x 3 -2 2-x , 则函数 f(x) 的零点所在的区间即 x 0 所在的区间 , 由于 f(x) 连续 , 且 f(1)=1 3 -2 2-1 =-1<0,f(2)=2 3 -2 2-2 =7>0, 由函数零点存在性定理可得 f(x) 在 (1,2) 内有零点 . 故选 B. B 5. 已知 f(x)=2 |x| +x 2 +a-1 有唯一的零点 , 则实数 a 的值为 ( 　 　 ) (A)-3 (B)-2 (C)-1 (D)0 D 解析 : 函数 y=2 |x| +x 2 是偶函数 , 且在 [0,+∞) 上是增函数 , 当 x=0 时 ,y=2 0 +0 2 =1, 若 f(x) 有唯一的零点 , 则 f(0)=1+a-1=0,a=0, 故选 D. 例题精讲 考点一 零点所在区间的判定 变式 1: 已知函数 f(x)=x 2 +x+a(a<0) 在区间 (0,1) 上有零点 , 则 a 的取值范围为 　　　　 .  解析 : 因为连续函数 f(x)=x 2 +x+a(a<0) 在区间 (0,1) 上有零点 ,f(x) 图象对称轴为 x=- <0, 所以 f(0) · f(1)<0, 所以 a(2+a)<0, 所以 -20, 所以 f(x)=0 在 (2,3) 内有解 , 所以 k=2. 答案 : 2 考点二 判断零点的个数 【 例 2】 方程 log 5 x=|sin x| 的解的个数为 ( 　　 ) (A)1 (B)3 (C)4 (D)5 解析 : 本题中方程不可解 , 但方程解的个数可以借助于函数 y=log 5 x 和 y=|sin x| 的图象的交点的个数来解决 , 作出这两个函数的图象 ( 如图 ), 但当 x>2π 时 ,log 5 x>1, 而 |sin x|≤1, 故两个函数图象有三个交点 , 即原方程有三个解 . 故选 B. 解析 : 分别作出函数 y=1.01 x ,y=x 2 的图象 , 由图可知 , 有三个交点 , 故选 C. 变式 1 : 函数 f(x)=1.01 x -x 2 的零点个数为 ( 　　 ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析 : 当 x>0 时 ,x=1 是函数 f(x) 的一个零点 , 当 x≤0 时 ,-2 x +a≤0 恒成立 , 即 a≤2 x 恒成立 , 故 a≤0, 故选 A. 考点三 零点的应用 【 例 3】 (1) 已知函数 f(x)= 则使函数 g(x)=f(x)+x-m 有零点的实数 m 的取值范围是 ( 　　 ) (A)[0,1) (B)(-∞,1) (C)(-∞,1]∪(2,+∞) (D)(-∞,0]∪(1,+∞) (2) 已知函数 f(x)= 若方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根 , 则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) (A)(-∞,1] (B)(0,1) (C)[0,+∞) (D)(-∞,1) 规律方法 确定函数 f(x) 的零点所在区间的常用方法 (1) 利用函数零点的存在性定理 : 首先看函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图象是否连续 , 再看是否有 f(a) · f(b)<0. 若有 , 则函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内必有零点 . (2) 数形结合法 : 通过画函数图象 , 观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断 . 变式 1: 已知函数 f(x)= (a∈ R ), 若函数 f(x) 在 R 上有两个零点 , 则 a 的取值范围是 ( 　　 ) (A)(-∞,-1) (B)(-∞,0) (C)(-1,0) (D)[-1,0) 解析 : 当 x>0 时 ,f(x)=3x-1 有一个零点 x= . 因此当 x≤0 时 ,f(x)=e x +a=0 只有一个实根 , 所以 a=-e x (x≤0), 则 -1≤a<0. 故选 D. 变式 2: 已知函数 f(x)= 函数 g(x)=f 2 (x)-4f(x)+t(t∈ R ), 若函数 g(x) 有四个零点 , 则实数 t 的取值范围是 　　　　 .  解析 : 作出函数 f(x) 的图象如图所示 , 令 f(x)=m,g(x)=0, 则 m 2 -4m+t=0, 由图象可知当 m≥1 时 ,f(x)=m 有两解 , 当 m<1 时 ,f(x)=m 只有一解 , 因为 g(x) 有四个零点 , 所以 关于 m 的方程 m 2 -4m+t=0 在 [1,+∞) 上有两解 , 所以解得 3≤t<4. 答案 : [3,4) 点击进入 课时训练