湖南省永州市2020届高三第三次模拟考试　数学（文）

湖南省永州市2020届高三第三次模拟考试　数学（文）

永州市2020年高考第三次模拟考试试卷 数学(文科)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{2，3，4}，则集合(A∪B)＝‎ A.{1，2，6} B.{1，3，6} C.{1，6} D.{6}‎ ‎2.己知复数z满足z·(1＋2i)＝5(i为虚数单位)，则在复平面内复数z对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，…。下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是 A.2 B.3 C.3.5 D.4‎ ‎4.已知函数f(x)＝sin(x＋)，要得到函数g(x)＝cosx的图象，只需将y＝f(x)的图象 A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 ‎5.己知a＝()0.2，b＝，c＝，则 A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.a>c>b ‎6.已知向量，夹角为30°，＝(1，)，||＝2，则|2－|＝‎ A.2 B.4 C.2 D.2‎ ‎7.第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P，某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10，宽为6的长方形奥运会旗内随机取N个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为n个，已知圆环半径为1，则比值P的近似值为 A. B. C. D.‎ ‎8.已知双曲线C：的一条渐近线方程为y＝2x，F1、F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝3，则|PF2|＝‎ A.9 B.5 C.2或9 D.1或5‎ ‎9.已知函数f(x)＝cos2x＋sin2(x＋)，则f(x)的最小值为 A. B. C. D.‎ ‎10.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2(平方寸)，则图中x的值为 A.3 B.3.4 C.3.8 D.4‎ ‎11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈(0，1]时，f(x)＝－eax(其中e是自然对数的底数)，若f(2020－ln2)＝8，则实数a的值为 A.－3 B.3 C.－ D.‎ ‎12.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若F1、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为 A. B. C. D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.曲线f(x)＝4x－ex在点(0，f(0))处的切线方程为 。‎ ‎14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosC＝bcosC＋ccosB，则C＝ 。‎ ‎15.已知数列{an}为正项等比数列，a3a6a9＝27，则a2a10＋a6a2＋a6a10的最小值为 。‎ ‎16.边长为2的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分，将所留部分折成一个正四棱锥。当该棱锥的体积取得最大值时，其底面棱长为 。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题：60分。‎ ‎17.(本题满分12分)已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a5是a2与a11的等比中项。‎ ‎(1)求Sn；‎ ‎(2)设数列{bn}满足b1＝a2，bn＋1＝bn＋3×，求数列{bn}的通项公式。‎ ‎18.(本题满分12分)如图，在直三棱柱ABC－A'B'C'中，AC⊥AB，A'A＝AB＝AC＝2，D，E分别为AB，BC的中点。‎ ‎(1)证明：平面B'DE⊥平面A'ABB'；‎ ‎(2)求点C'到平面B'DE的距离。‎ ‎19.(本题满分12分)自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，在以习近平总书记为核心的党中央的正确领导和指挥下，全国各地纷纷驰援，湖北的疫情形势很快得到了控制，但是国际疫情越来越严重，医用口罩等物资存在很大缺口。某口罩生产厂家复工复产后，抢时生产口罩，以驰援国际社会，已知该企业前10天生产的口罩量如下表所示：‎ 对上表的数据作初步处理，得到一些统计量的值：‎ ‎(1)求表中m，n的值，并根据最小二乘法求出y关于x的线性回归方程(回归方程系数精确到0.1)；‎ ‎(2)某同学认为y＝px2＋qx＋r更适宜作为y关于x的回归方程模型，并以此模型求得回归方程为y＝－x2＋10x＋68。经调查，该企业第11天的产量为145.3万个，与(1)中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好?并说明理由。‎ 附：。‎ ‎20.(本题满分12分)已知动圆E与圆M：(x－1)2＋y2＝外切，并与直线x＝－相切，记动圆圆心E的轨迹为曲线C。‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)过点Q(－2，0)的直线l交曲线C于A，B两点，若曲线C上存在点P使得∠APB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围。‎ ‎21.(本题满分12分)设函数f(x)＝ex＋2ax－e，g(x)＝－lnx＋ax＋a。‎ ‎(1)求函数f(x)的极值；‎ ‎(2)对任意x≥1，都有f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围。‎ ‎(二)选考题：10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一题计分。‎ ‎22.(本题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy中，曲线C的方程为x2－2x＋y2＝0。以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)。‎ ‎(1)写出曲线C的极坐标方程，并求出直线l与曲线C的交点M，N的极坐标；‎ ‎(2)设P是椭圆＋y2＝1上的动点，求△PMN面积的最大值。‎ ‎23.(本题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知f(x)＝x2＋2|x－1|。‎ ‎(1)解关于x的不等式：f(x)>；‎ ‎(2)若f(x)的最小值为M，且a＋b＋c＝M(a，b，c∈R＋)，‎ 求证：。‎ 永州市2020年高考第三次模拟考试试卷 数学（文科）参考答案 ‎ ‎ ‎ ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎ ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D D C A B A B B C D B D ‎ ‎ ‎1.解析：，故选D.‎ ‎2.解析：，故选D.‎ ‎3.解析：由图表可知，种子发芽天数的中位数为，故选C.‎ ‎4.解析：由于，故选A.‎ ‎5.解析：由于，故选B.‎ ‎6.解析：由于，故选A.‎ ‎7.解析：由于，所以，又，故选B.‎ ‎8.解析：由于所以，又且，故选B.‎ ‎9.解析：由于 ‎ ‎ ‎ ，故选C.‎ ‎10.解析：由图可知，该几何体的表面积为，解得，‎ 故选D.‎ ‎11.解析：由已知可知，，所以函数是一个以4为周期的周期函数，所以，解得，故选B.‎ ‎12.解析：由已知可知，点的坐标为，，易知点坐标，‎ ‎ 将其代入椭圆方程得，所以离心率为，故选D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的 ‎ 横线上.‎ ‎13． 14．（写也得分） 15．27 16．‎ ‎13.解析：由于，所以，由点斜式可得切线方程 为.‎ ‎14.解析：由正弦定理可知，‎ ‎.‎ ‎15.解析：由等比数列的性质可知， ‎ ‎ .‎ ‎16.解析：设底面边长为，则斜高为，即此四棱锥的高为，‎ 所以此四棱锥体积为，‎ 令，‎ ‎ 令，易知函数在时取得最大值.‎ 三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本题满分12分）‎ 命题意图：第1问考查等差、等比数列基本量的运算及等差数列求和；‎ 第2问考查累加法求通项公式.‎ 解：（1）由题意可得即 …………2分 又因为，所以，所以. …………………………………4分 ‎ ………………………………………………6分 ‎（2）由条件及（1）可得． ……………………………………………7分 由已知得， …………………8分 所以 ‎． …………………11分 又满足上式，所以 ………………………………12分 ‎18.（本题满分12分）‎ 命题意图：第1问考面面垂直的判定；‎ 第2问考查转化思想，利用等体积法求高和作高求高的方法.‎ ‎ （1）因为棱柱是直三棱柱，所以 ………………………1分 ‎ 又， …………………………………………………2分 ‎ 所以面 …………………………………………………………3分 ‎ 又分别为的中点 所以 ………………………………………………………………4分 ‎ 即面 ……………………………………………………………5分 ‎ 又,所以平面平面 ……………………6分 ‎ （2）由（1）可知 ‎ 所以 ‎ ‎ 即点到平面的距离等于点到平面的距离 ……………7分 方法一：连接，过点作交于点 ‎ ‎ 因为面，所以 ‎ 即 ………………………………………………………………8分 ‎ ‎ 即的长就是点到平面的距离 ………………………………9分 ‎ 因为，由等面积法可知 ‎ 求得 ………………………………11分 所以到平面的距离等于 ……………………………………12分 方法二：设点到面的距离为 ‎ 由（1）可知，面 …………………………………………8分 ‎ 且在中，‎ ‎ 易知 ………………………………………9分 由等体积公式可知 ‎ ………………………………………………10分 ‎ 由 得 ………………………………………11分 所以到平面的距离等于 …………………………………12分 ‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 命题意图：第1问考查线性回归方程及学生的运算能力；‎ 第2问考查回归方程的拟合及其应用.‎ 解：（1）， ……………………………………………………………3分 ‎ 由最小二乘法公式求得 ……………………………………5分 ‎ ‎ ………………………6分 ‎ ‎ 即所求回归方程为. …………………………………………7分 ‎ ‎（2）由（1）可知，用线性回归方程模型求得该企业第11天的产量为 ‎ （万个） …………………………………………9分 ‎ 用题中的二次函数模型求得的结果为 ‎ （万个） ……………………………………10分 ‎ 与第11天的实际数据进行比较发现 ‎ ………………………………………………11分 所以用这个二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好. …………………12分 ‎20.（本题满分12分）‎ 命题意图：第1问考轨迹方程的求法：定义法与坐标法；‎ 第2问考查直线与圆锥曲线位置关系及其参数范围等综合应用.‎ 解：（1）因为动圆与圆外切，并与直线相切，‎ 所以点到点的距离比点到直线的距离大. ……………2分 因为圆的半径为，‎ 所以点到点的距离等于点到直线的距离，……………………4分 所以圆心的轨迹为抛物线，且焦点坐标为. ‎ 所以曲线的方程.（用其他方法酌情给分） ……………………5分 ‎（2）设，，‎ 由得， ‎ 由得且.……………………………………6分 ‎ ………………………………………………………7分 ‎ ‎ ，‎ 由，得，‎ 即， ……………………………………9分 ‎ 所以， ‎ 由，得且，………………………11分 又且，‎ 所以的取值范围为. …………………………………12分 ‎21.（本题满分12分）‎ 命题意图：第1问考查分类讨论思想与求函数的极值；‎ 第2问考查恒成立问题分类讨论思想、二阶导数、放缩法及其求参数范围等.‎ 解：（1）依题， …………………………………………………………1分 当时，，函数在上单调递增，此时函数无极值；‎ ‎………………………………………………………………………2分 当时，令，得，‎ 令，得 所以函数在上单调递增，‎ 在上单调递减. …………………………………………………3分 此时函数有极小值，‎ 且极小值为. ……………………………4分 综上：当时，函数无极值；‎ 当时，函数有极小值，‎ 极小值为. ………………………………5分 ‎（2）令 易得且，……………………………………6分 令 所以，‎ 因为，从而，‎ 所以，在上单调递增. ………………………………………………7分 又 若，则 所以在上单调递增，从而，‎ 所以时满足题意. ……………………………………………………8分 若，‎ 所以，，‎ 在中，令，由（1）的单调性可知，‎ 有最小值，从而. ………………9分 所以 ……………………10分 所以，由零点存在性定理：‎ ‎，使且 在上单调递减，在上单调递增. ……………………11分 所以当时，. ‎ 故当，不成立. ‎ 综上所述：的取值范围为. ……………………………………12分 注意：用洛必达法则解不给分.‎ ‎22．（本题满分10分）‎ 命题意图：第1问考查曲线的普通方程化极坐标方程和解极坐标方程组；‎ 第2问考查函数的最值问题.‎ 解：（1）曲线的极方程： ………………………………………………2分 ‎ 联立，得， …………………………………5分 ‎（2）易知，直线. ………………………………………………6分 ‎ 设点，则点到直线的距离 ‎ （其中 ）. ………9分 ‎ 面积的最大值为. ……………………………………………10分 ‎23.（本题满分10分）‎ 命题意图：第1问考查利用分类讨论思想解绝对值不等式；‎ 第2问考查分段函数求最值、构造法和基本不等式等.‎ 解：（1）当时，等价于，该不等式恒成立，……1分 当时，等价于，该不等式解集为，……2分 当时，等价于，解得， ………3分 综上，或，‎ 所以不等式的解集为． …………………5分 ‎（2），‎ 易得的最小值为1，即 ……………………………7分 因为，，，‎ 所以，，，‎ 所以 ‎， ……………………9分 当且仅当时等号成立. …………………………………………10分