【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试26平面向量的概念及线性运算作业

【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试26平面向量的概念及线性运算作业

考点测试26　平面向量的概念及线性运算 ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 高考概览 考纲研读 ‎1．了解向量的实际背景 ‎2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义 ‎3．理解向量的几何表示 ‎4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义 ‎5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 ‎6．了解向量线性运算的性质及其几何意义 一、基础小题 ‎1．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)．正确的个数是(　　)‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ 答案　D 解析　由零向量和相反向量的性质知①②③④⑤均正确．‎ ‎2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k(　　)‎ A．共线 B．不共线 C．共线且同向 D．不一定共线 答案　D 解析　如m∥0，0∥k，但k与m可能共线也可能不共线，故选D．‎ ‎3．如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)‎ A．0‎ B． C． D． 答案　D 解析　＋＋＝＋＋＝．故选D．‎ ‎4．下列命题正确的是(　　)‎ A．若|a|＝|b|，则a＝±b B．若|a|>|b|，则a>b C．若a∥b，则a＝b D．若|a|＝0，则a＝0‎ 答案　D 解析　对于A，当|a|＝|b|，即向量a，b的模相等时，方向不确定，故a＝±b不一定成立；对于B，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，B不正确；C显然不正确．故选D．‎ ‎5．关于平面向量，下列说法正确的是(　　)‎ A．零向量是唯一没有方向的向量 B．平面内的单位向量是唯一的 C．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量 D．共线向量就是相等向量 答案　C 解析　对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；对于B，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B不正确；对于C，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C正确；对于D，由共线向量和相等向量的定义可知D不正确，故选C．‎ ‎6．已知m，n∈R，a，b是向量，有下列命题：‎ ‎①m(a－b)＝ma－mb；‎ ‎②(m－n)a＝ma－na；‎ ‎③若ma＝mb，则a＝b；‎ ‎④若ma＝na，则m＝n．‎ 其中正确的是(　　)‎ A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②‎ 答案　D 解析　由数乘向量的运算律知，数乘向量对数和向量都有分配律，所以①②正确；当m＝0时，a，b不一定相等，当a＝0时，m，n未必相等，所以③④错误．故选D．‎ ‎7．已知向量a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，则a＋2b与‎2a－b(　　)‎ A．一定共线 B．一定不共线 C．当且仅当e1与e2共线时共线 D．当且仅当e1＝e2时共线 答案　C 解析　由a＋2b＝5e1，‎2a－b＝5e2可知，当且仅当e1与e2共线时，两向量共线．故选C．‎ ‎8．给出下列命题：‎ ‎①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；‎ ‎②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；‎ ‎③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．‎ 其中错误的命题的个数为(　　)‎ A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ 答案　D 解析　①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点；②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0；③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时a与b可以是任意向量．错误的命题有3个，故选D．‎ ‎9．已知向量a，b是两个不共线的向量，若向量m＝‎4a＋b与n＝a－λb共线，则实数λ的值为(　　)‎ A．－4 B．－ C． D．4‎ 答案　B 解析　因为向量a，b是两个不共线的向量，所以若向量m＝‎4a＋b与n＝a－λb共线，则4×(－λ)＝1×1，解得λ＝－，故选B．‎ ‎10．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为(　　)‎ A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1‎ C．λμ＝－1 D．λμ＝1‎ 答案　D 解析　∵A，B，C三点共线，∴∥，‎ 设＝m(m≠0)，则λa＋b＝m(a＋μb)，‎ ‎∴∴λμ＝1，故选D．‎ ‎11．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则＝(　　)‎ A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ 答案　C 解析　如图，∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋．故选C．‎ ‎12．已知在四边形ABCD中，O是四边形ABCD内一点，＝a，＝b， ‎＝c，＝a－b＋c，则四边形ABCD的形状为(　　)‎ A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．菱形 答案　C 解析　因为＝a－b＋c，所以＝c－b，又＝c－b，所以∥且||＝||，所以四边形ABCD是平行四边形．故选C．‎ 二、高考小题 ‎13．(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)‎ A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ 答案　A 解析　＝＋＝＋＋＝＋＝＋(－)＝－＋．故选A．‎ ‎14．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)‎ A．－ B．－ C．＋ D．＋ 答案　A 解析　根据向量的运算法则，可得＝－＝－＝－(＋)＝ eq o(AB,sup6(→))－，故选A．‎ ‎15．(2015·安徽高考)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝‎2a，＝‎2a＋b，则下列结论正确的是(　　)‎ A．|b|＝1 B．a⊥b C．a·b＝1 D．(‎4a＋b)⊥ 答案　D 解析　∵＝‎2a，＝‎2a＋b，∴a＝，b＝－＝，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴|b|＝2，a·b＝·＝－1，故a，b不垂直，‎4a＋b＝2＋＝＋，故(‎4a＋b)·＝(＋)·＝－2＋2＝0，∴(‎4a＋b)⊥，故选D．‎ ‎16．(2015·北京高考)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝．若＝x＋y，则x＝________；y＝________．‎ 答案　　－ 解析　‎ 如图在△ABC中，＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋(－)＝－．∴x＝，y＝－．‎ 三、模拟小题 ‎17．(2018·河北张家口月考)如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)‎ A．0‎ B． C． D． 答案　A 解析　在正六边形ABCDEF中，CD∥AF，CD＝AF，所以＋＋＝＋＋＝＋＝0，故选A．‎ ‎18．(2018·邯郸摸底)如图，在△ABC中，已知D为边BC的中点，E，F，G依次为线段AD从上至下的3个四等分点，若＋＝4，则(　　)‎ A．点P与图中的点D重合 B．点P与图中的点E重合 C．点P与图中的点F重合 D．点P与图中的点G重合 答案　C 解析　由平行四边形法则知＋＝2，又由＋＝4知2＝4，即 ‎＝2，所以P为AD的中点，即点P与点F重合．故选C．‎ ‎19．(2018·怀化一模)已知向量a，b不共线，向量＝a＋3b，＝‎5a＋3b，＝－‎3a＋3b，则(　　)‎ A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 答案　B 解析　因为＝＋＝‎2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，所以，共线，又有公共点B，所以A，B，D三点共线．故选B．‎ ‎20．(2018·河南中原名校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3E，F为AE的中点，则＝(　　)‎ A．－ B．－ C．－＋ D．－＋ 答案　C 解析　＝＋＝＋ ‎＝－＋＋＋ ‎＝－＋＋＋ ‎＝－＋＋＋(＋＋)‎ ‎＝－＋．故选C．‎ ‎21．(2018·深圳模拟)如图所示，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)‎ A． B． C． D．2‎ 答案　B 解析　因为＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ＋＋μ(－＋)＝(λ－μ)＋λ＋μ，且＝＋，所以 得所以λ＋μ＝，故选B．‎ ‎22．(2018·福建高三4月质检)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且＝．下列关系中正确的是(　　)‎ A．－＝ B．＋＝ C．－＝ D．＋＝ 答案　A 解析　由题意得，－＝－＝＝ ‎＝，所以A正确；＋＝＋＝ ‎＝，所以B错误；－＝－＝ ‎＝，所以C错误；＋＝＋，‎ ＝＝－，若＋＝，则＝0，不符合题意，所以D错误．故选A．‎ ‎23．(2018·银川一模)设点P是△ABC所在平面内一点，且＋＝2，则＋＝________．‎ 答案　0‎ 解析　因为＋＝2，由平行四边形法则知，点P为AC的中点，故＋＝0．‎ ‎24．(2018·衡阳模拟)在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则的值为________．‎ 答案　 解析　设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋‎ yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以所以则的值为．‎ 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型．‎ 二、模拟大题 ‎1．(2018·山东莱芜模拟)如图，已知△OCB中，B，C关于点A对称，OD∶DB＝2∶1，DC和OA交于点E，设＝a，＝b．‎ ‎(1)用a和b表示向量，；‎ ‎(2)若＝λ，求实数λ的值．‎ 解　(1)由题意知，A是BC的中点，且＝，‎ 由平行四边形法则，得＋＝2．‎ ‎∴＝2－＝‎2a－b，‎ ‎∴＝－＝(‎2a－b)－b＝‎2a－b．‎ ‎(2)∵∥，＝－＝(‎2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，‎ ＝‎2a－b，∴＝，∴λ＝．‎ ‎2．(2018·河南安阳模拟) 如图所示，在△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，在AB上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP ‎＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的值．‎ 解　∵＝－＝(－)＝(＋)＝，＝－＝＋λ．‎ 又∵＝，∴＋λ＝，‎ 即λ＝，∴λ＝．‎