【数学】2018届一轮复习人教A版7-2二元一次不等式组与简单的线性规划问题学案

【数学】2018届一轮复习人教A版7-2二元一次不等式组与简单的线性规划问题学案

‎§7.2　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 考纲展示►　1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．‎ ‎2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．‎ ‎3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．‎ 考点1　二元一次不等式(组)表示平面区域 二元一次不等式表示的平面区域 ‎(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)________边界直线，把边界直线画成虚线；不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)________边界直线，把边界直线画成实线．‎ ‎(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足Ax＋By＋C＞0，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足________．‎ ‎(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的________就可以判断Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的区域．‎ ‎(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的________．‎ 答案：(1)不包括　包括　(2)Ax＋By＋C＜0　(3)符号　(4)公共部分 ‎ (1)[教材习题改编]不等式组表示的平面区域是(　　)‎ A　　　　　　　 　　　　B C　　　　　　　　　　　D 答案：C ‎(2)[教材习题改编]已知x，y满足则z＝－3x＋y的最小值为________．‎ 答案：0‎ 不等式表示平面区域的易错点：方程Ax＋By＋C＝0中Ax＋By＋C的符号与不等式表示的平面区域的关系．‎ ‎(1)不等式2x－y－3＞0表示的平面区域是________．‎ 答案：直线2x－y－3＝0的右下方(不包括边界)　‎ 解析：将原点(0,0)代入2x－y－3，得2×0－0－3＝－3＜0，所以不等式2x－y－3＞0表示直线2x－y－3＝0的右下方(不包括边界)，如图所示．‎ ‎(2)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0表示的平面区域是________．‎ 答案：直线x－2y＋1＝0与x＋y－3＝0之间的上、下两部分(包括边界)‎ 解析：原不等式等价于 或 在平面直角坐标系中作出不等式组和所表示的平面区域．‎ 故不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0表示的平面区域如图中的阴影部分所示．‎ ‎[典题1]　(1)[2017·山东青岛月考]若实数x，y满足不等式组则该约束条件所围成的平面区域的面积是(　　)‎ A．3 B. ‎ C．2 D．2 ‎[答案]　C ‎[解析]　‎ 因为直线x－y＝－1与x＋y＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，‎ 易得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)，‎ 故|AB|＝，|AC|＝2，‎ 其面积为×|AB|×|AC|＝2.‎ ‎(2)若不等式组表示的平面区域 为三角形，且其面积等于，则m的值为(　　)‎ A．－3 B．1 ‎ C. D．3‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－‎2m＜2，则m＞－1.‎ 由解得 即A(1－m,1＋m)．‎ 由解得 即B，‎ 所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝S△ADC－S△BDC ‎＝(2＋‎2m)(1＋m)－(2＋‎2m)·(1＋m)‎ ‎＝(1＋m)2＝，‎ 解得m＝－3(舍去)或m＝1.故选B.‎ ‎[点石成金]　确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法 ‎(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．‎ ‎(2)当不等式中带等号时，边界应画成实线；不带等号时，边界应画成虚线，特殊点常取原点．‎ 考点2　求目标函数的最值 ‎(1)[教材习题改编]已知变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为________．‎ 答案：11‎ 解析：由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，‎ 解方程组得即A(3,2)．‎ 当直线y＝－3x＋z经过点(3,2)时，z取得最大值，即zmax＝3×3＋2＝11.‎ ‎(2)[教材习题改编]投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为________．(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数)‎ 答案： 解析：生产A产品x吨，生产B产品y吨，‎ 则有 ‎[考情聚焦]　线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 转化为截距(形如z＝ax＋by)‎ ‎[典题2]　[2017·山东荣成六中高三月考]若变量x，y满足条件则z＝x＋y的最大值是(　　)‎ A．3 B．2 ‎ C．1 D．0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　可行域为一个三角形ABC及其内部，其中A(1,0)，B(3,0)，C(－1,1)，所以直线z＝x＋y过点B时取最大值3，故选A.‎ 角度二 转化为距离[形如z＝(x－a)2＋(y－b)2或z＝|Ax＋By＋c|]‎ ‎[典题3]　[2017·河南开封模拟]设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x2＋y2的取值范围为(　　)‎ A．[2,8] B．[4,13]‎ C．[2,13] D. ‎[答案]　C ‎[解析]　作出可行域，如图中阴影部分所示，‎ 将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，‎ 从而可得zmin＝|OA|2＝2＝2，‎ zmax＝|OB|2＝32＋22＝13.‎ 故z的取值范围为[2,13]．‎ 角度三 转化为斜率 ‎[典题4]　[2015·新课标全国卷Ⅰ]若x，y满足约束条件则的最大值为________．‎ ‎[答案]　3‎ ‎[解析]　‎ 画出可行域如图中阴影部分所示，‎ ‎∵ 表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，‎ ‎∴ 点(x，y)在点A处时最大．‎ 由得∴ A(1,3)．‎ ‎∴ 的最大值为3.‎ 角度四 线性规划中的参数问题 ‎[典题5]　(1)[2015·山东卷]已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝(　　)‎ A．3 B．2 ‎ C．－2 D．－3‎ ‎[答案]　B　‎ ‎[解析]　画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，‎ 若z＝ax＋y的最大值为4，则最优解为x＝1，y＝1或x＝2，y＝0，经检验知，x＝2，y＝0符合题意，∴‎2a＋0＝4，此时a＝2，故选B.‎ ‎(2)已知x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a＝(　　)‎ A.或－1 B．2或 C．2或1 D．2或－1‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，‎ 可知A(0,2)，B(2,0)，C(－2，－2)，‎ 则zA＝2，zB＝－‎2a，zC＝‎2a－2，‎ 要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，‎ 只要zA＝zB>zC或zA＝zC>zB或zB＝zC>zA，‎ 解得a＝－1或a＝2.‎ ‎[点石成金]　1.求目标函数最值的三个步骤 ‎(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线l.‎ ‎(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置．‎ ‎(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．‎ ‎2．常见的三类目标函数 ‎(1)截距型：形如z＝ax＋by.‎ 求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．‎ ‎(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.‎ ‎(3)斜率型：形如z＝.‎ ‎[提醒]　注意转化的等价性及几何意义．‎ 考点3　线性规划的实际应用 ‎[典题6] 　[2016·新课标全国卷Ⅰ]某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料‎1.5 kg，乙材料‎1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料‎0.5 kg，乙材料‎0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料‎150 kg，乙材料‎90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．‎ ‎[答案]　216 000‎ ‎[解析]　由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2 100x＋900y，线性约束条件为作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，‎ 又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以zmax＝2 100×60 ＋900×100＝216 000(元)．‎ ‎[点石成金]　1.解线性规划应用题的三个步骤 ‎(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题．‎ ‎(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题．‎ ‎(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．‎ ‎2．求解线性规划应用题的三个注意点 ‎(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．‎ ‎(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，‎ y是否是整数、是否是非负数等．‎ ‎(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式.‎ 某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为(　　)‎ A．31 200元 B．36 000元 C．36 800元 D．38 400元 答案：C 解析：设租用A型车x辆，B型车y辆，‎ 目标函数为z＝1 600x＋2 400y，则约束条件为 作出可行域，如图中阴影部分所示，‎ 可知目标函数过点(5,12)时，有最小值zmin ＝36 800(元).‎ ‎[方法技巧]　1.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．‎ ‎2．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.‎ ‎[易错防范]　1.在画平面区域时，要注意实虚线．‎ ‎2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值，截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小值，截距取最小值时，z取最大值．‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2016·山东卷]若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是(　　)‎ A．4 B．9 ‎ C．10 D．12‎ 答案：C 解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，‎ 设P(x，y)为平面区域内任意一点，则x2＋y2表示|OP|2.显然，当点P与点A重合时，x2＋y2取得最大值，‎ 由 解得故A(3，－1)．所以x2＋y2的最大值为32＋(－1)2＝10.故选C.‎ ‎2．[2016·北京卷]若x，y满足则2x＋y的最大值为(　　)‎ A．0 B．3 ‎ C．4 D．5‎ 答案：C 解析：不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，‎ 由解得故当目标函数z＝2x＋y经过点A(1,2)时，z取得最大值，zmax＝2×1＋2＝4.故选C.‎ ‎3．[2015·陕西卷]某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　)‎ 甲 乙 原料限额 A(吨)‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎12‎ B(吨)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎8‎ A.12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元 答案：D 解析：‎ 设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有 目标函数为z＝3x＋4y，作出可行域如图中阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18(万元)．‎ ‎4．[2014·新课标全国卷Ⅰ]不等式组的解集记为D，有下面四个命题：‎ p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；‎ p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；‎ p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；‎ p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.‎ 其中的真命题是(　　)‎ A．p2，p3 B．p1，p4 ‎ C．p1，p2 D．p1，p3‎ 答案：C 解析：作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．‎ 由得交点A(2，－1)．‎ 目标函数的斜率k＝－>－1，‎ 观察直线x＋y＝1与直线x＋2y＝0的倾斜程度，可知u＝x＋2y过点A时取得最小值0.结合题意知p1，p2正确．‎ ‎5．[2016·新课标全国卷Ⅲ]若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．‎ 答案： 解析：约束条件对应的平面区域是以点，(0,1)和(－2，－1)为顶点的三角形，当目标函数y＝－x＋z经过点时，z取得最大值.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 非线性目标函数最值的求解 类型1　斜率型非线性规划问题的最值(值域)‎ 目标函数形式一般为z＝(ac≠0)，求解步骤为 ‎(1)需先弄清其几何意义，z＝·表示的是可行域内的点(x，y)与点所连直线的斜率的倍．‎ ‎(2)数形结合，确定定点，观察可行域的范围．‎ ‎(3)确定可行域内的点(x，y)，看(x，y)取何值时，斜率最大(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最大值)；(x，y)取何值时，斜率最小(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最小值)；通常在三角形或四边形的边界交点处取得最值．‎ ‎[典例1]　已知变量x，y满足约束条件则f(x，y)＝的取值范围是________．‎ ‎[思路分析]　‎ ‎ ‎ ‎[解析]　‎ 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，‎ f(x，y)＝ ‎＝.‎ 令＝k，则g(k)＝＝2－.‎ 而k＝表示可行域内的点P(x，y)与坐标原点O的连线的斜率，观察图形可知，kOA≤k≤kOB，‎ 而kOA＝＝，kOB＝＝3，‎ 所以≤k≤3，‎ 即≤f(x，y)≤.‎ ‎[答案]　 类型2　距离型非线性规划问题的最值(值域)‎ ‎1．目标函数形式为z＝(x－a)2＋(y－b)2时，求解步骤为：‎ ‎(1)其表示的是可行域内的点(x，y)与点(a，b)之间的距离的平方．‎ ‎(2)数形结合，确定定点(a，b)，观察可行域的范围．‎ ‎(3)确定可行域内的点(x，y)，看(x，y)取何值时，距离最大(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最大值)；(x，y)取何值时，距离最小(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最小值)；通常在三角形、四边形的边界交点处或定点(a，b)到可行域边界直线的垂足处取得．‎ ‎2．目标函数形如z＝|Ax＋By＋C|时，一般步骤为：‎ ‎(1)将z＝|Ax＋By＋C|＝·，问题转化为求可行域内的点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍的最值．‎ ‎(2)确定可行域，通过数形结合的方法求出所求的最值．‎ ‎[典例2]　设x，y满足约束条件则z＝(x＋1)2＋y2的最大值为(　　)‎ A．80 B．4 C．25 D. ‎[思路分析]　‎ →→ ‎[解析]　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．‎ ‎(x＋1)2＋y2可看作点(x，y)到点P(－1,0)的距离的平方，由图可知，可行域内的点A到点P(－1,0)的距离最大．‎ 解方程组得点A的坐标为(3,8)，‎ 代入z＝(x＋1)2＋y2，得zmax＝(3＋1)2＋82＝80.‎ ‎[答案]　A ‎[典例3]实数x，y满足不等式组则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．‎ ‎[思路分析]　‎ ‎[解析]　解法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．‎ z＝|x＋2y－4|＝·，‎ 即其几何意义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．‎ 由得点B的坐标为(7,9)，‎ 显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，‎ 此时zmax＝21.‎ 解法二：由图可知，阴影区域内的点都在直线x＋2y－4＝0的上方，显然此时有x＋2y－4>0，于是目标函数等价于z＝x＋2y－4，即转化为简单的线性规划问题，显然当直线经过点B时，目标函数取得最大值，zmax＝21.‎ ‎[答案]　21‎ 技巧点拨 解决这类问题时，需充分把握好目标函数的几何意义，在几何意义的基础上加以处理．‎