河南省郑州市2020届高三第一次质量预测理科数学试题

河南省郑州市2020届高三第一次质量预测理科数学试题

‎2020届郑州市高中毕业年级第一次质量预测 理科数学试题卷 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。‎ ‎2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。‎ ‎3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时120分钟。‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设集合，，则的子集个数为（ ）‎ A. 4 B. 8 C. 16 D. 32‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：求出集合A,B，得到，可求的子集个数 详解：，‎ ‎ ‎ 的子集个数为 ‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查集合的运算以及子集的个数，属基础题.‎ ‎2.复数在复平面内对应的点位于( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复数为的形式，求得复数对应点的坐标，由此判断所在的象限.‎ ‎【详解】，该复数对应的点为，在第四象限.故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数对应点的坐标所在象限.‎ ‎3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（ ）‎ A. 各年月接待游客量高峰期大致在7，8月份 B. 年接待游客量逐年增加 C. 月接待游客量逐月增加 D. 各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据折线图依次判断各个选项，可通过反例得到错误.‎ ‎【详解】由折线图可知，每年游客量最多的月份为：月份，可知正确；‎ 年接待游客量呈现逐年递增的趋势，可知正确；‎ 以年月和月为例，可得到月接待游客量并非逐月增加，可知错误；‎ 每年月至月的月接待游客量相对于月至月的变化较小，数量更加稳定，可知正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据统计中的折线图判断数据特征的问题，属于基础题.‎ ‎4.定义在R上的函数为偶函數，，，，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由偶函数得到，明确函数的单调性，综合利用奇偶性与单调性比较大小即可.‎ ‎【详解】∵为偶函数，‎ ‎∴，即，且其在上单调递减，‎ 又，‎ ‎∴‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性，考查转化思想，属于中档题.‎ ‎5.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 边长为3的正方形的面积S正方形＝9，设阴影部分的面积为S阴，由几何概型得，由此能估计阴影部分的面积．‎ ‎【详解】解：为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，‎ 则边长为3的正方形的面积S正方形＝9，‎ 设阴影部分的面积为S阴，‎ ‎∵该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，‎ ‎∴，‎ 解得S阴，‎ ‎∴估计阴影部分的面积是．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查阴影面积的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎6.已知向量与夹角为，且，，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对两边平方，结合数量积的定义与法则即可得到结果.‎ ‎【详解】∵向量与夹角为，且，，‎ ‎∴，即 ‎∴，‎ 所以，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查利用数量积求模，考查数量积定义与运算法则，考查运算能力.‎ ‎7.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的，分别为3，1，则输出的等于 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】解：当n＝1时，a＝3，b＝2，满足进行循环的条件，‎ 当n＝2时，a，b＝4，满足进行循环的条件，‎ 当n＝3时，a，b＝8，满足进行循环的条件，‎ 当n＝4时，a，b＝16，不满足进行循环的条件，‎ 故输出的n值为4，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．‎ ‎8.函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 易知函数定义域为，且，因此函数图象关于原点对称，又当自变量从原点右侧时，，故选C．‎ ‎9.第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种 A. 60 B. 90 C. 120 D. 150‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分2步进行分析：①、分两种情况讨论将5项工作分成3组的情况数目，②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，分2步进行分析：‎ ‎①、将5项工作分成3组，‎ 若分成1、1、3的三组，有10种分组方法，‎ 若分成1、2、2的三组，有15种分组方法，‎ 则将5项工作分成3组，有10+15＝25种分组方法；‎ ‎②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A33＝6种情况，‎ 则有25×6＝150种不同的分组方法；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意分组时要进行分类讨论．‎ ‎10.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则=‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y2＝2x的方程组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段AB的长．‎ ‎【详解】解：抛物线C：y2＝2x的焦点为F（，0），准线为l：x＝﹣，设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N到准线的距离分别为dM，dN，‎ 由抛物线的定义可知|MF|＝dM＝x1+，|NF|＝dN＝x2+，于是|MN|＝|MF|+|NF|＝x1+x2+1．‎ ‎∵，则，易知：直线MN的斜率为±，‎ ‎∵F（，0），‎ ‎∴直线PF的方程为y＝±（x﹣），‎ 将y＝±（x﹣），代入方程y2＝2x，得3（x﹣）2＝2x，化简得12x2﹣20x+3＝0，‎ ‎∴x1+x2，于是|MN|＝x1+x2+11‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义和性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎11.已知三棱锥内接于球O，平面ABC，为等边三角形，且边长，球的表面积为，则直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设D为AB中点，先证明CD⊥平面PAB得出∠CPD为所求角，利用勾股定理计算PA，PD，CD，得出结论．‎ ‎【详解】解：设D，E分别是AB，BC的中点，AE∩CD＝F，‎ ‎∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥CD，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，∴CD⊥AB，‎ 又PA∩AB＝A，‎ ‎∴CD⊥平面PAB，即∠CPD为PC与平面PAB所成的角．‎ ‎∵△ABC是边长为的等边三角形，‎ ‎∴CD＝AE＝，AFAE＝1，且F为△平面ABC所在截面圆的圆心，‎ ‎∵球O的表面积为16π，∴球O的半径OA，‎ ‎∴OF，‎ ‎∵PA⊥平面ABC，∴PA＝2OF＝2，‎ ‎∴PD，PC ‎∴sin∠CPD．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了棱锥与外接球的位置关系，考查了线面角的求法，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎12.,，若有9个零点，则的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令g（x）＝t，由题意画出函数y＝f（t）的图象，利用y＝f（t）与y＝m的图象最多有3个零点，可知要使函数y＝f（g（x））﹣m有9个零点，则中每一个t的值对应3个x的值.‎ ‎【详解】函数的图象如图所示，‎ 令g（x）＝t，y＝f（t）与y＝m的图象最多有3个零点，‎ 当有3个零点，则0＜m＜3，从左到右交点的横坐标依次t1＜t2＜t3，‎ 由图可知，2t1+1＝﹣m，则，‎ ‎，‎ 由于函数y＝f（g（x））﹣m有9个零点，，‎ ‎ ，当 即 g（x）单调减；，g（x）单调递增，故每一个t的值对应3个x的值，则，‎ ‎∴ ，‎ 数形结合解，即，‎ 由图易得，‎ 解得：‎ ‎∴实数m的取值范围是（0，）．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，属有一定难度题目．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.曲线在点（0,1）处的切线方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导函数，确定切线的斜率，利用点斜式，可得切线方程．‎ ‎【详解】解：求导函数可得，y′＝（1+x）ex 当x＝0时，y′＝1‎ ‎∴曲线在点（0，1）处的切线方程为y﹣1＝x，即．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，是基础题 ‎14.记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.‎ ‎【详解】因，所以，即，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．‎ ‎15.已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆，圆A与双曲线C的一条渐近线相交于M，N两点，若（为坐标原点），则双曲线C的离心率为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可 ‎【详解】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），‎ 以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．‎ 则点A到渐近线bx-ay＝0的距离为AB，‎ ‎∵r＝b，‎ ‎∴BN，‎ ‎∵，‎ ‎∴OB＝5BN，‎ ‎∵OA＝a，‎ ‎∴a2，‎ ‎∴a2c2＝25b4+a2b2，‎ ‎∴a2（c2﹣b2）＝25b4，‎ ‎∴a2＝5b2＝5c2﹣5a2，‎ 即6a2＝5c2，‎ 即ac，‎ ‎∴e 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用：离心率的求法，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎16.已知数列满足：对任意均有（p为常数，且 ‎），若，则所有可能取值的集合是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意，可得an+1+2＝p（an+2），再对a1＝﹣2与a1≠﹣2讨论，特别是a1≠﹣2时对公比p分|p|＞1与|p|＜1，即可求得a1所有可能值，从而可得答案．‎ ‎【详解】解：∵an+1＝pan+2p﹣2，‎ ‎∴an+1+2＝p（an+2），‎ ‎∴①若a1＝﹣2，则a1+1+2＝p（a1+2）＝0，a2＝﹣2，同理可得，a3＝a4＝a5＝﹣2，即a1＝﹣2符合题意；‎ ‎②若a1≠﹣2，p为不等于0与1的常数，则数列{an+2}是以p为公比的等比数列，‎ ‎∵ai∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，11，30}，i＝2，3，4，5，‎ an+2可以取﹣16，﹣4，8，32，‎ ‎∴若公比|p|＞1，则p＝﹣2，由a2+2＝﹣4＝﹣2（a1+2）得：a1；‎ 若公比|p|＜1，则p，由a2+2＝32（a1+2）得：a1＝﹣66．‎ 综上所述，满足条件的a1所有可能值为﹣2，，﹣66．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查数列递推式的应用，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，对an+1+2＝p（an+2）的理解与应用是难点，对公比p分|p|＞1与|p|＜1讨论是关键，考查逻辑思维与推理运算能力，属于难题．‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17.已知ABC外接圆半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，设.‎ ‎（1）求角B；‎ ‎（2）若b=12，c=8，求sinA的值 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理可得，结合余弦定理可得角B；‎ ‎（2）由正弦定理,得到 ，，进而由两角和正弦公式得到结果.‎ ‎【详解】(1)‎ ‎∴‎ 即：‎ ‎∴‎ 因为所以.‎ ‎(2)若，由正弦定理，, ,‎ 由，故为锐角，‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理与正弦定理，考查两角和正弦公式，考查综合运用余弦定理与正弦定理解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎18.已知三棱锥M-ABC中，MA=MB=MC=AC=，AB=BC=2，O为AC的中点，点N在边BC上，且.‎ ‎（1）证明：BO平面AMC；‎ ‎（2）求二面角N-AM-C的正弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明，即可证明BO平面AMC；‎ ‎（2）因为两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示．求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图所示：连接，‎ 在中：，则，.‎ 在中：，为的中点，则，且 在中：，满足：‎ 根据勾股定理逆定理得到 相交于，‎ 故平面.‎ ‎（2）因为两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示．因为,，‎ 则，‎ 由所以，‎ 设平面的法向量为，则 令，得，‎ 因为平面，所以为平面法向量，‎ 所以与所成角的余弦为．‎ 所以二面角的正弦值为 ‎【点睛】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角的求解，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法是解决本题的关键．‎ ‎19.已知椭圆的离心率为，且过点.‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）若过点的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证，恒有.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用点在曲线上，椭圆的离心率，列出方程组，求出a，b即可得到椭圆方程；‎ ‎（2）要证明，等价于证明，设过点直线为，联立方程，利用韦达定理证明即可.‎ 详解】（1）由题意知，，‎ 又因为解得，，‎ 所以椭圆方程为，‎ ‎（2）当过点的直线斜率为零时，显然满足题意；‎ ‎ 当斜率不为零时，设过点直线为，‎ 设，‎ 由得，且.‎ 则 ‎ 又因为，， ，‎ 所以.‎ 因为线段的中点为，所以.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，恒等关系的处理，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎20.水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p（0

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