山东省济南市2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

山东省济南市2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

‎2019-2020学年山东省济南市高二第二学期期中数学试卷 一．单择题（共8小题）.‎ ‎1．若复数z满足（1+i）z＝2i，其中i为虚数单位，则z‎=‎（　　）‎ A．1﹣i B．1+i C．2﹣2i D．2+2i ‎2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且AP‎→‎‎=AD‎→‎+xAB‎→‎+yAA‎1‎‎→‎，则实数x+y的值为（　　）‎ A．‎-‎‎3‎‎2‎ B．‎-‎‎1‎‎2‎ C．‎1‎‎2‎ D．‎‎3‎‎2‎ ‎3．函数f（x）＝3x﹣4x3（x∈[0，1]）的最大值是（　　）‎ A．1 B．‎1‎‎2‎ C．0 D．﹣1‎ ‎4．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P（B|A）的值等于（　　）‎ A．‎1‎‎3‎ B．‎1‎‎18‎ C．‎1‎‎6‎ D．‎‎1‎‎9‎ ‎5．已知函数y＝f（x）的部分图象如图，则f（x）的解析式可能是（　　）‎ A．f（x）＝x+tanx B．f（x）＝x+sin2x ‎ C．f（x）＝x‎-‎‎1‎‎2‎sin2x D．f（x）＝x‎-‎‎1‎‎2‎cosx ‎6．已知下表所示数据的回归直线方程为y‎^‎‎=4x-4‎，则实数a的值为（　　）‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎3‎ ‎7‎ ‎11‎ a ‎21‎ A．16 B．18 C．20 D．22‎ ‎7．已知函数f（x）＝x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列‎{‎1‎f(n)‎}‎的前n项和为Sn，则S2020的值为（　　）‎ A．‎2020‎‎2021‎ B．‎2019‎‎2020‎ C．‎2018‎‎2019‎ D．‎‎2017‎‎2018‎ ‎8．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落③号球槽的概率为（　　）‎ A．‎3‎‎32‎ B．‎15‎‎64‎ C．‎5‎‎32‎ D．‎‎5‎‎16‎ 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．‎ ‎9．下列说法正确的是（　　）‎ A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍 ‎ B．设有一个回归方程y＝3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位 ‎ C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 ‎ D．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），则P（ξ＞1）＝0.5‎ ‎10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是（　　）‎ A．BC1∥平面AQP ‎ B．平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形 ‎ C．A1D⊥平面AQP ‎ D．异面直线QP与A1C1所成的角为60°‎ ‎11．若（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，x∈R，则（　　）‎ A．a2＝180 ‎ B．|a0|+|a1|+|a2|+…|a10|＝310 ‎ C．a1+a2+…+a10＝1 ‎ D．a‎1‎‎2‎‎+a‎2‎‎2‎‎2‎+a‎3‎‎2‎‎3‎+⋯+a‎10‎‎2‎‎10‎=-‎1‎ ‎12．已知a＞b＞1，e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（　　）‎ A．aea＞beb B．alnb＞blna C．alna＞blnb D．bea＞aeb 三．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．在市数学竞赛中，A、B、C三间学校分别有1名、2名、3名同学获一等，将这六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，那么不同的排法共有　 　种．‎ ‎14．设‎(x-‎‎2‎x‎)‎‎6‎的展开式中x3的系数为a，二项式系数为b，则ab的值为　 　．‎ ‎15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为　 　．‎ ‎16．对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f''（x）是函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）的导数，若方程f''（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答如下问题：‎ 若已知函数f（x）＝x3‎-‎3‎‎2‎x‎2‎+3x-‎‎1‎‎4‎，则f（x）的对称中心为　 　；计算f(‎1‎‎2021‎)+f(‎2‎‎2021‎)+f(‎3‎‎2021‎)+⋯+f(‎2020‎‎2021‎)=‎　 　．‎ 四．解答题（本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）‎ ‎17．在等差数列{an}中，a4＝1，a7＝﹣5，‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）现从{an}的前10项中随机取数，_______，求取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率．‎ 从下面两个条件中任选一个将题目补充完整，并解答．‎ 条件①：若每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响；‎ 条件②：若从10个数中一次取出三个数．‎ ‎18．在如图所示的几何体中，DE∥AC，AC⊥平面BCD，AC＝2DE＝4，BC＝2，DC＝1，∠BCD＝60°．‎ ‎（1）证明：BD⊥平面ACDE；‎ ‎（2）求平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值．‎ ‎19．已知f（x）＝kx﹣sin2x+asinx（k，a为实数）．‎ ‎（1）当k＝0，a＝2时，求f（x）在[0，π]上的最大值；‎ ‎（2）当k＝4时，若f（x）在R上单调递增，求a的取值范围．‎ ‎20．在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮．每次投篮之间相互独立．某选手在A点命中的概率为‎3‎‎4‎，命中一次记3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为‎4‎‎5‎，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量ξ表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果ξ的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次．‎ ‎（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分ξ的分布列和数列期望．‎ ‎（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由．‎ ‎21．推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：‎ 得分 ‎[30，40）‎ ‎[40，50）‎ ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100]‎ 男性人数 ‎40‎ ‎90‎ ‎120‎ ‎130‎ ‎110‎ ‎60‎ ‎30‎ 女性人数 ‎20‎ ‎50‎ ‎80‎ ‎110‎ ‎100‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；‎ ‎（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？‎ 不太了解 比较了解 合计 男性 女性 合计 ‎（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，现从这10人中随机抽取3人作为环保宣传队长，设3人中男性队长的人数为ξ，求ξ的分布列和期望．‎ 附：K2‎=‎n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎，（n＝a+b+c+d）．‎ 临界值表：‎ P（K2≥k0） ‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎22．已知函数f（x）‎=‎1+lnxx-‎a（a∈R）．‎ ‎（1）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（2）设g（x）＝（x﹣1）2ex，当a＝0时，若t（x）＝f（x）﹣g（x），求t（x）零点的个数．‎ 参考答案 一．单择题（本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．若复数z满足（1+i）z＝2i，其中i为虚数单位，则z‎=‎（　　）‎ A．1﹣i B．1+i C．2﹣2i D．2+2i ‎【分析】通过化简求出z，从而求出z的共轭复数即可．‎ 解：∵（1+i）z＝2i，‎ ‎∴z‎=‎2i‎1+i=‎i（1﹣i）＝1+i，‎ 则z‎=‎1﹣i，‎ 故选：A．‎ ‎2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且AP‎→‎‎=AD‎→‎+xAB‎→‎+yAA‎1‎‎→‎，则实数x+y的值为（　　）‎ A．‎-‎‎3‎‎2‎ B．‎-‎‎1‎‎2‎ C．‎1‎‎2‎ D．‎‎3‎‎2‎ ‎【分析】直接利用向量的线性运算和三角形法则的应用求出结果．‎ 解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，‎ 所以AP‎→‎‎=‎1‎‎2‎(AD‎1‎‎→‎+AC‎1‎‎→‎)=‎1‎‎2‎(AD‎→‎+AA‎1‎‎→‎)+‎1‎‎2‎(AB‎→‎+AD‎→‎+AA‎1‎‎→‎)=AD‎→‎+‎1‎‎2‎AB‎→‎+AA‎1‎‎→‎=AD‎→‎+xAB‎→‎+yAA‎1‎‎→‎，‎ 所以x=‎1‎‎2‎，y=1‎，‎ 故x+y‎=‎‎3‎‎2‎．‎ 故选：D．‎ ‎3．函数f（x）＝3x﹣4x3（x∈[0，1]）的最大值是（　　）‎ A．1 B．‎1‎‎2‎ C．0 D．﹣1‎ ‎【分析】先求导数，根据函数的单调性研究出函数的极值点，连续函数f（x）在区间（0，1）内只有一个极值，那么极大值就是最大值，从而求出所求．‎ 解：f'（x）＝3﹣12x2＝3（1﹣2x）（1+2x）‎ 令f'（x）＝0，解得：x‎=‎‎1‎‎2‎或‎-‎‎1‎‎2‎（舍去）‎ 当x∈（0，‎1‎‎2‎）时，f'（x）＞0，当x∈（‎1‎‎2‎，1）时，f'（x）＜0，‎ ‎∴当x‎=‎‎1‎‎2‎时f（x）（x∈[0，1]）的最大值是f（‎1‎‎2‎）＝1‎ 故选：A．‎ ‎4．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P（B|A）的值等于（　　）‎ A．‎1‎‎3‎ B．‎1‎‎18‎ C．‎1‎‎6‎ D．‎‎1‎‎9‎ ‎【分析】P（B|A）为抛掷甲、乙两颗骰子，甲骰子的点数大于4时甲、乙两骰子的点数之和等于7的概率．‎ 解：由题意，P（B|A）为抛掷甲、乙两颗骰子，甲骰子的点数大于4时甲、乙两骰子的点数之和等于7的概率．‎ ‎∵抛掷甲、乙两颗骰子，甲骰子的点数大于4，基本事件有2×6＝12个，甲骰子的点数大于4时甲、乙两骰子的点数之和等于7，基本事件有2个，‎ ‎∴P（B|A）‎=‎2‎‎12‎=‎‎1‎‎6‎．‎ 故选：C．‎ ‎5．已知函数y＝f（x）的部分图象如图，则f（x）的解析式可能是（　　）‎ A．f（x）＝x+tanx B．f（x）＝x+sin2x ‎ C．f（x）＝x‎-‎‎1‎‎2‎sin2x D．f（x）＝x‎-‎‎1‎‎2‎cosx ‎【分析】函数f（x）＝x+tanx的定义域为‎{x|x≠π‎2‎+kπ，k∈Z}‎，不合题意；而由图象可知，f（0）＝0，f(π‎4‎)＜1‎，可排除BD，由此选C．‎ 解：由图象可知，函数的定义域为R，故排除A；‎ 又f（0）＝0，故排除D；‎ 若选择B，则f(π‎4‎)=π‎4‎+sinπ‎2‎=π‎4‎+1＞1‎，与图象不符．‎ 故选：C．‎ ‎6．已知下表所示数据的回归直线方程为y‎^‎‎=4x-4‎，则实数a的值为（　　）‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎3‎ ‎7‎ ‎11‎ a ‎21‎ A．16 B．18 C．20 D．22‎ ‎【分析】由表中数据计算样本中心点的横坐标，根据回归直线经过样本中心点求出y的值，从而求出a的值．‎ 解：由表中数据知，样本中心点的横坐标为：‎ x‎=‎1‎‎5‎×‎‎（2+3+4+5+6）＝4，‎ 由回归直线经过样本中心点，‎ 得y‎=‎4×4﹣4＝12，‎ 即y‎=‎1‎‎5‎×‎（3+7+11+a+21）＝12，‎ 解得a＝18．‎ 故选：B．‎ ‎7．已知函数f（x）＝x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列‎{‎1‎f(n)‎}‎的前n项和为Sn，则S2020的值为（　　）‎ A．‎2020‎‎2021‎ B．‎2019‎‎2020‎ C．‎2018‎‎2019‎ D．‎‎2017‎‎2018‎ ‎【分析】求得f（x）的导数，将x＝1代入可得切线的斜率，解得b＝1，可得f（n）＝n2+n，‎1‎f(n)‎‎=‎1‎n‎2‎‎+n=‎1‎n(n+1)‎=‎1‎n-‎‎1‎n+1‎，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．‎ 解：函数f（x）＝x2+bx的导数为f′（x）＝2x+b，‎ 可得f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为2+b＝3，解得b＝1，‎ 则f（x）＝x2+x，即f（n）＝n2+n，‎ ‎1‎f(n)‎‎=‎1‎n‎2‎‎+n=‎1‎n(n+1)‎=‎1‎n-‎‎1‎n+1‎‎，‎ S2020＝1‎-‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎-‎1‎‎3‎+⋯+‎1‎‎2020‎-‎1‎‎2021‎=‎1‎-‎1‎‎2021‎=‎‎2020‎‎2021‎．‎ 故选：A．‎ ‎8．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落③号球槽的概率为（　　）‎ A．‎3‎‎32‎ B．‎15‎‎64‎ C．‎5‎‎32‎ D．‎‎5‎‎16‎ ‎【分析】用小球落入③球槽的种数除以小球落入下方的各个球槽的种数即可求得概率．‎ 解：由题可知：小球落入③号球槽有C‎5‎‎2‎‎=‎10种情况，小球落入下方球槽共有25＝32，‎ ‎∴小球最终落③号球槽的概率为‎10‎‎32‎‎=‎‎5‎‎16‎．‎ 故选：D．‎ 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．‎ ‎9．下列说法正确的是（　　）‎ A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍 ‎ B．设有一个回归方程y＝3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位 ‎ C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 ‎ D．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），则P（ξ＞1）＝0.5‎ ‎【分析】直接利用回归直线的方程的应用，相关的系数的应用，正态分布的应用求出结果．‎ 解：对于选项A：将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差变为原来的a2倍．故错误．‎ 对于选项B：若有一个回归方程y＝3﹣5x，变量x增加1个单位时，故y＝3﹣5（x+1）＝3﹣5x﹣5．故y平均减少5个单位，正确．‎ 对于选项C：线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，错误．‎ 对于选项D：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），由于正态曲线关于x＝1对称，则P（ξ＞1）＝0.5，正确．‎ 故选：BD．‎ ‎10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是（　　）‎ A．BC1∥平面AQP ‎ B．平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形 ‎ C．A1D⊥平面AQP ‎ D．异面直线QP与A1C1所成的角为60°‎ ‎【分析】直接利用线面平行的判定和性质的应用，异面直线的夹角的应用，线面垂直的判定的应用，共面的判定的应用求出结果．‎ 解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，‎ 如图所示：‎ ‎①对于选项A：P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，‎ 所以PQ∥BC1，由于PQ⊂平面APQ，BC1不在平面APQ内，所以BC1∥平面APQ，故选项A正确．‎ ‎②对于选项B：连接AP，AD1，D1Q，由于AD1∥PQ，D1Q＝AP，所以：平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形，故正确．‎ ‎③对于选项C：由于A1D⊥平面ABC1D1，平面ABC1D1和平面APQD1为相交平面，所以A1D⊥平面AQP，错误．‎ ‎④对于选项D：PQ∥BC1，△A1BC1为等边三角形，所以∠A1C1B＝60°，即异面直线QP与A1C1所成的角为60°．故正确．‎ 故选：ABD．‎ ‎11．若（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，x∈R，则（　　）‎ A．a2＝180 ‎ B．|a0|+|a1|+|a2|+…|a10|＝310 ‎ C．a1+a2+…+a10＝1 ‎ D．a‎1‎‎2‎‎+a‎2‎‎2‎‎2‎+a‎3‎‎2‎‎3‎+⋯+a‎10‎‎2‎‎10‎=-‎1‎ ‎【分析】分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，即可判断答案．‎ 解：（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，‎ 其通项公式为：Tr+1‎=‎‎∁‎‎10‎r•（2x）10﹣r•（﹣1）r；令x＝0可得：a0＝1；‎ 所以：a2为x2的系数；故a2‎=‎‎∁‎‎10‎‎2‎•22•（﹣1）8＝180成立；‎ 由二项式定理可得：x的偶次项系数为正，奇次项系数为负；‎ 故令x＝﹣1可得：|a0|+|a1|+|a2|+…|a10|＝310；即B对；‎ 令x＝1可得a0+a1+a2+…+a10＝1；‎ ‎∴a1+a2+…+a10＝0；即C错；‎ 令x‎=‎‎1‎‎2‎可得：（2‎×‎1‎‎2‎-‎1）10＝0＝a0‎+‎‎1‎‎2‎a1‎+‎‎1‎‎2‎‎2‎a2‎+⋯+‎‎1‎‎2‎‎10‎a10，‎ ‎∴‎1‎‎2‎a1‎+‎‎1‎‎2‎‎2‎a2‎+⋯+‎‎1‎‎2‎‎10‎a10＝0﹣a0＝﹣1；故D对；‎ 故选：ABD．‎ ‎12．已知a＞b＞1，e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（　　）‎ A．aea＞beb B．alnb＞blna C．alna＞blnb D．bea＞aeb ‎【分析】采用逐一验证的方法，通过构造函数 f(x)=xex，g(x)=lnxx，h(x)=xlnx，k(x)=‎exx，根据这些函数在 （1，+∞） 的单调性可得结果．‎ 解：设 f（x）＝xex，x＞1，则 f′（x）＝（x+1）ex＞0 在 （1，+∞） 上恒成立，故函数单调递增，‎ 故 f（a）＞f（b），即 aea＞beb，故A正确；‎ 设 g(x)=lnxx，x＞1‎，则 g′(x)=‎‎1-lnxx‎2‎，函数在 （1，e） 上单调递增，在 （e，+∞） 上单调递减，‎ 故当 1＜b＜a＜e 时，g（a）＞g（b），即 lnaa‎＞‎lnbb，故 alnb＜blna，故B错误；‎ 设 h（x）＝xlnx，x＞1，则 h′（x）＝lnx+1＞0 在 （1，+∞） 上恒成立，‎ 故函数单调递增，故h（a）＞h（b），即 alna＞blnb，故C正确；‎ 设 k(x)=exx(x＞1)‎，则 k′(x)=ex‎(x-1)‎x‎2‎＞0‎ 在 （1，+∞） 上恒成立，故函数单调递增，‎ 故 k（a）＞k（b），即 eaa‎＞‎e‎3‎b，故 bea＞aeb，故D正确．‎ 故选：ACD．‎ 三．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．在市数学竞赛中，A、B、C三间学校分别有1名、2名、3名同学获一等，将这六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，那么不同的排法共有　72　种．‎ ‎【分析】利用捆绑法，结合排列知识可得结论．‎ 解：因为六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，所以由捆绑法，可得A‎3‎‎3‎A‎3‎‎3‎A‎2‎‎2‎‎=‎72．‎ 故答案为：72．‎ ‎14．设‎(x-‎‎2‎x‎)‎‎6‎的展开式中x3的系数为a，二项式系数为b，则ab的值为　4　．‎ ‎【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数，再根据x3的系数为a，二项式系数为b，求得a、b的值，可得ab的值．‎ 解：‎(x-‎‎2‎x‎)‎‎6‎的展开式的展开式通项公式为Tk+1‎‎=C‎6‎kx‎6-k(-2x‎-‎‎1‎‎2‎‎)‎k=(-2‎‎)‎kC‎6‎kx‎6-‎3‎‎2‎k，‎ 令‎6-‎3‎‎2‎k=3‎，得k＝2，即T‎3+1‎‎=(-2‎)‎‎2‎C‎6‎‎2‎x‎3‎=60‎x‎3‎即系数为a＝60，‎ 二项式系数为b‎=C‎6‎‎2‎=‎15，则ab‎=4‎，‎ 故答案为：4．‎ ‎15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为　‎3‎‎14‎　．‎ ‎【分析】找两卦中含两根阳线分为两类，一类两阳线来自同一卦，一类两阳线来自两卦，分别求出取法，再找出总取法，相比即可．‎ 解：从八卦中任取两卦有C‎8‎‎2‎‎=‎28种；这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线有C‎1‎‎1‎C‎3‎‎1‎‎+‎C‎3‎‎2‎‎=‎6，‎ 则两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率P‎=‎6‎‎28‎=‎‎3‎‎14‎ 故答案为：‎3‎‎14‎．‎ ‎16．对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f''（x）是函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）的导数，若方程f''（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答如下问题：‎ 若已知函数f（x）＝x3‎-‎3‎‎2‎x‎2‎+3x-‎‎1‎‎4‎，则f（x）的对称中心为　（‎1‎‎2‎，1）　；计算f(‎1‎‎2021‎)+f(‎2‎‎2021‎)+f(‎3‎‎2021‎)+⋯+f(‎2020‎‎2021‎)=‎　2020　．‎ ‎【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（‎1‎‎2‎，1）对称，即f（x）+f（1﹣x）＝2，即可得到结论．‎ 解：f（x）＝x3‎-‎3‎‎2‎x‎2‎+3x-‎‎1‎‎4‎，‎ 则f′（x）＝3x2﹣3x+3，f″（x）＝6x﹣3，‎ 令f″（x）＝0，解得：x‎=‎‎1‎‎2‎，则f（‎1‎‎2‎）＝1‎ 故f（x）的对称中心是（‎1‎‎2‎，1），‎ ‎∴f（x）+f（1﹣x）＝2，‎ ‎∴‎f(‎1‎‎2021‎)+f(‎2‎‎2021‎)+f(‎3‎‎2021‎)+⋯+f(‎2020‎‎2021‎)‎ ‎＝f（‎1‎‎2021‎）+f（‎2020‎‎2021‎）+f（‎2‎‎2021‎）+f（‎2019‎‎2021‎）+…+f（‎1010‎‎2021‎）+f（‎1011‎‎2021‎）‎ ‎＝2×1010＝2020，‎ 故答案为：（‎1‎‎2‎，1），2020．‎ 四．解答题（本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）‎ ‎17．在等差数列{an}中，a4＝1，a7＝﹣5，‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）现从{an}的前10项中随机取数，_______，求取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率．‎ 从下面两个条件中任选一个将题目补充完整，并解答．‎ 条件①：若每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响；‎ 条件②：若从10个数中一次取出三个数．‎ ‎【分析】第一问根据等差数列的概念求出公差d．第二问根据古典概型公式，注意有放回取球的特点．‎ 解：（1）设等差数列{an}的公差为d．则d‎=‎a‎7‎‎-‎a‎4‎‎7-4‎，又已知a4＝1，a7＝﹣5，∴d＝﹣2．‎ 所以，等差数列{an}的通项公式为：an＝﹣2n+9．‎ ‎（2）由（1）知等差数列{an}的前10项分别为：7、5、3、1、﹣1、﹣3、﹣5、﹣7、﹣9、﹣11．‎ 若选择①：若每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响，‎ ‎∴取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率 P‎=C‎3‎‎1‎C‎4‎‎2‎C‎6‎‎1‎‎1‎‎0‎‎3‎=‎108‎‎1000‎=‎0.108‎ 若条件②：若从10个数中一次取出三个数．‎ ‎∴取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率：P‎=C‎4‎‎2‎C‎6‎‎1‎C‎10‎‎3‎=‎36‎‎120‎=‎0.30‎ ‎18．在如图所示的几何体中，DE∥AC，AC⊥平面BCD，AC＝2DE＝4，BC＝2，DC＝1，∠BCD＝60°．‎ ‎（1）证明：BD⊥平面ACDE；‎ ‎（2）求平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值．‎ ‎【分析】（1）推导出BD⊥CD，AC⊥BD，由此能证明BD⊥平面ACDE．‎ ‎（2）法一：延长AE，CD相交于G，连接BG，二面角A_BG﹣C就是平面BCD与平面BAE所成二面角．由此能求出平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值．‎ 法二：建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）在△BCD中，BD2＝4+1﹣2×1×2×cos60°＝3．‎ ‎∴BC2＝BD2+DC2，∴△BCD为直角三角形，BD⊥CD．‎ 又∵AC⊥平面BCD，∴AC⊥BD．‎ 而AC∩CD＝C，∴BD⊥平面ACDE．‎ 解：（2）方法一：如图延长AE，CD相交于G，连接BG，‎ 则平面AEB∩平面BCD＝BG．‎ 二面角A_BG﹣C就是平面BCD与平面BAE所成二面角．‎ ‎∵DE∥AC，AC＝2DE，∴DE是△AGC的中位线．‎ GD＝DC＝1，这样GC＝BC＝2，∠BCD＝60°，△BGC是等边三角形．‎ 取BG的中点为H，连接AH，GH，∵AC⊥平面BCD．‎ ‎∴∠AHC就是二面角A﹣BG﹣C的平面角．‎ 在Rt△AHC中，AC＝4，GH‎=‎‎3‎，‎ 所以sin‎∠AHC=‎4‎‎19‎=‎‎4‎‎19‎‎19‎．‎ ‎∴平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值为‎4‎‎19‎‎19‎．‎ 方法二：建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，‎ 可得D（0，0，0），B（‎3‎，0，0），C（0，1，0），‎ E（0，0，2），A（0，1，4）．‎ BA‎→‎‎=‎‎（‎-‎‎3‎，1，4），EA‎→‎‎=‎（0，1，2）．‎ 设n‎→‎‎=‎（x，y，z）是平面BAE的法向量，‎ 则n‎→‎‎⋅BA‎→‎=-‎3‎x+y+4z=0‎n‎→‎‎⋅EA‎→‎=y+2z=0‎，令z‎=‎‎3‎，得n‎→‎‎=‎（2，﹣2‎3‎，‎3‎）．‎ 取平面BCD的法向量为m‎→‎‎=‎（0，0，1）．‎ 设平面BCD与平面BAE所成二面角的平面角为θ，‎ 则|cosθ|‎=‎|n‎→‎⋅m‎→‎|‎‎|n‎→‎|⋅|m‎→‎|‎=‎‎3‎‎19‎，‎ ‎∴sinθ‎=‎1-‎‎3‎‎19‎=‎‎4‎‎19‎‎19‎．‎ ‎∴平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值为‎4‎‎19‎‎19‎．‎ ‎19．已知f（x）＝kx﹣sin2x+asinx（k，a为实数）．‎ ‎（1）当k＝0，a＝2时，求f（x）在[0，π]上的最大值；‎ ‎（2）当k＝4时，若f（x）在一、选择题上单调递增，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）求导后，列表得x，f′（x），f（x）的变化情况，进而求得最大值；‎ ‎（2）依题意，4cos2x﹣acosx﹣6≤0恒成立，换元后利用二次函数的图象及性质得解．‎ 解：（1）当k＝0，a＝2时，f（x）＝﹣sin2x+2sinxf′（x）＝﹣2cos2x+2cosx ‎＝﹣4cos2x+2cosx+2＝2（2cosx+1）（1﹣cosx），‎ 则x，f′（x），f（x）的变化情况如下：‎ x ‎(0，‎2π‎3‎)‎‎ ‎ ‎2π‎3‎‎ ‎ ‎(‎2π‎3‎，π)‎‎ ‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ f（x）‎ 增函数 极大值 减函数 ‎∴f(x‎)‎最大值=f(‎2π‎3‎)=‎‎3‎‎3‎‎2‎．‎ ‎（2）f（x）在R上单调递增，则f′（x）＝4﹣2（cos2x﹣sin2x）+acosx≥0对∀x∈R恒成立．‎ 得4cos2x﹣acosx﹣6≤0，‎ 设t＝cosx∈[﹣1，1]，g（t）＝4t2﹣at﹣6，‎ 则g（t）≤0在[﹣1，1]上恒成立，由二次函数图象g(-1)≤0‎g(1)≤0‎，得﹣2≤a≤2．‎ ‎20．在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮．每次投篮之间相互独立．某选手在A点命中的概率为‎3‎‎4‎，命中一次记3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为‎4‎‎5‎，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量ξ表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果ξ的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次．‎ ‎（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分ξ的分布列和数列期望．‎ ‎（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由．‎ ‎【分析】（1）在A点投篮命中记作A，不中记作A；在B点投篮命中记作B，不中记作B，求出概率，判断ξ的所有可能取值为0，2，3，4，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解ξ的数学期望．‎ ‎（2）求出选手选择方案甲通过测试的概率，选手选择方案乙通过测试的概率，即可判断该选手应选择方案甲通过测试的概率更大．‎ 解：（1）在A点投篮命中记作A，不中记作A；在B点投篮命中记作B，不中记作B，‎ 其中P(A)=‎3‎‎4‎，P(A)=1-‎3‎‎4‎=‎1‎‎4‎，P(B)=‎4‎‎5‎，P(B)=1-‎4‎‎5‎=‎‎1‎‎5‎，…………………‎ ξ的所有可能取值为0，2，3，4，则P(ξ=0)=P(ABB)=P(A)P(B)P(B)=‎1‎‎4‎×‎1‎‎5‎×‎1‎‎5‎=‎‎1‎‎100‎，…‎ P(ξ=2)=P(ABB)+P(ABB)=2×‎1‎‎4‎×‎1‎‎5‎×‎4‎‎5‎=‎‎8‎‎100‎‎，……………………………‎ P(ξ=3)=P(A)=‎3‎‎4‎=‎‎75‎‎100‎‎，…………………………………………………………P(ξ=4)=P(ABB)=P(A)P(B)P(B)=‎1‎‎4‎×‎4‎‎5‎×‎4‎‎5‎=‎‎16‎‎100‎．…………………………‎ ξ的分布列为：‎ ξ ‎ 0‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ P ‎ ‎‎1‎‎100‎ ‎ ‎‎2‎‎25‎ ‎ ‎‎3‎‎4‎ ‎ ‎‎4‎‎25‎ 所以E(ξ)=0×‎1‎‎100‎+2×‎8‎‎100‎+3×‎75‎‎100‎+4×‎16‎‎100‎=‎305‎‎100‎=3.05‎，‎ 所以，ξ的数学期望为3.05．…………………………………………………………‎ ‎（2）选手选择方案甲通过测试的概率为P‎1‎‎=P(ξ≥3)=‎75‎‎100‎+‎16‎‎100‎=‎91‎‎100‎=0.91‎，‎ 选手选择方案乙通过测试的概率为P2＝P（ξ≥3）‎=2×‎1‎‎5‎×‎4‎‎5‎×‎4‎‎5‎+‎4‎‎5‎×‎4‎‎5‎=‎112‎‎125‎=‎896‎‎1000‎=0.896‎，…‎ 因为P2＜P1，所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大．……………………‎ ‎21．推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：‎ 得分 ‎[30，40）‎ ‎[40，50）‎ ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100]‎ 男性人数 ‎40‎ ‎90‎ ‎120‎ ‎130‎ ‎110‎ ‎60‎ ‎30‎ 女性人数 ‎20‎ ‎50‎ ‎80‎ ‎110‎ ‎100‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；‎ ‎（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？‎ 不太了解 比较了解 合计 男性 女性 合计 ‎（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，现从这10人中随机抽取3人作为环保宣传队长，设3人中男性队长的人数为ξ，求ξ的分布列和期望．‎ 附：K2‎=‎n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎，（n＝a+b+c+d）．‎ 临界值表：‎ P（K2≥k0） ‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【分析】（1）计算小区中得分不低于60分的人数，根据古典概型的概率公式计算；‎ ‎（2）计算四类人数填表，计算观测值K2，与3.841比较得出结论；‎ ‎（3）计算10人中男女人数，按超几何分布得出分布列和数学期望．‎ 解：（1）小区1000名居民中，得分不低于60分的人数为：130+110+60+30+110+100+40+20＝600，‎ 故从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率为P‎=‎600‎‎1000‎=‎‎3‎‎5‎．‎ ‎（2）2×2联表如下：‎ 不太了解 比较了解 合计 男性 ‎250‎ ‎330‎ ‎580‎ 女性 ‎150‎ ‎270‎ ‎420‎ 合计 ‎400‎ ‎600‎ ‎1000‎ K2‎=‎1000×(250×270-330×150‎‎)‎‎2‎‎580×420×400×600‎≈‎5.54，‎ ‎∵5.54＞3.841，‎ ‎∴有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关．‎ ‎（3）参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，男性有90人，女性有60人，‎ 若按分层抽样的办法从中抽取10人，则男性人数为10‎×‎90‎‎150‎=‎6，女性人数为10‎×‎60‎‎150‎=‎4．‎ 故ξ的可能取值有0，1，2，3．‎ P（ξ＝0）‎=C‎4‎‎3‎C‎10‎‎3‎=‎‎1‎‎30‎，P（ξ＝1）‎=C‎6‎‎1‎‎⋅C‎4‎‎2‎C‎10‎‎3‎=‎‎3‎‎10‎，P（ξ＝2）‎=C‎6‎‎2‎‎⋅C‎4‎‎1‎C‎10‎‎3‎=‎‎1‎‎2‎，P（ξ＝3）‎=C‎6‎‎3‎C‎10‎‎3‎=‎‎1‎‎6‎．‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎ ‎‎1‎‎30‎ ‎ ‎‎3‎‎10‎ ‎ ‎‎1‎‎2‎ ‎ ‎‎1‎‎6‎ E（ξ）＝0‎×‎1‎‎30‎+‎1‎×‎3‎‎10‎+‎2‎×‎1‎‎2‎+‎3‎×‎1‎‎6‎=‎1.8．‎ ‎22．已知函数f（x）‎=‎1+lnxx-‎a（a∈R）．‎ ‎（1）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（2）设g（x）＝（x﹣1）2ex，当a＝0时，若t（x）＝f（x）﹣g（x），求t（x）零点的个数．‎ ‎【分析】（1）变换得到‎1+lnxx‎≤‎a，设F（x）‎=‎‎1+lnxx，求导得到函数单调区间，计算最值得到答案．‎ ‎（2）求导得t′（x）‎=-lnxx‎2‎-‎（x2﹣1）ex，得到函数单调区间，得到t（x）max＝t（1）＝1，且当x→0时，t（x）→﹣∞；当x→+∞时，t（x）→﹣∞，根据零点存在性定理，得到答案．‎ 解：（1）f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，故‎1+lnxx‎≤‎a，设F（x）‎=‎‎1+lnxx，‎ 则F′（x）‎=‎‎-lnxx‎2‎，当x∈（0，1）时，函数单调递增，当x∈（1，+∞）时，函数单调递减，‎ 故F（x）max＝F（1）＝1，故a≥1．‎ ‎（2）a＝0时，t（x）＝f（x）﹣g（x）‎=‎1+lnxx-‎（x﹣1）2ex，则t′（x）‎=-lnxx‎2‎-‎（x2﹣1）ex，‎ 当x∈（0，1）时，‎-lnxx‎2‎＞‎0，﹣（x2﹣1）ex＞0，故t′（x）＞0，函数单调递增，‎ 当x∈（1，+∞）时，‎-lnxx‎2‎＜‎0，﹣（x2﹣1）ex＜0，故t′（x）＜0，函数单调递减，‎ t（x）max＝t（1）＝1，‎ 且当x→0时，t（x）→﹣∞；当x→+∞时，t（x）→﹣∞，‎ 根据零点存在性定理知：函数在（0，1）和（1，+∞）上各有一个零点，故函数t（x）有两个零点．‎ ‎ ‎