2019-2020学年四川省眉山市仁寿第一中学校北校区高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2019-2020学年四川省眉山市仁寿第一中学校北校区高二上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2019-2020学年四川省眉山市仁寿第一中学校北校区高二上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角为(　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据直线方程得斜率，再求倾斜角.‎ ‎【详解】‎ 因为直线，所以直线斜率为，所以倾斜角为，选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线斜率以及倾斜角，考查基本分析求解能力，属基本题.‎ ‎2．双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接根据双曲线的方程求解出的值，再根据得到渐近线方程.‎ ‎【详解】‎ 因为双曲线方程为，所以，‎ 所以双曲线渐近线方程为：. 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据双曲线方程求解渐近线方程，难度较易.形如的双曲线方程，除了可直接根据的值写出渐近线方程，还可以通过得到渐近线方程.‎ ‎3．已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离 A．2 B．3 C．5 D．7‎ ‎【答案】D ‎【解析】由椭圆，可得，则，且点到椭圆一焦点的距离为，由定义得点到另一焦点的距离为，故选C.‎ ‎4．已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设出圆心坐标，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径计算出圆心坐标，从而可求解出圆的方程.‎ ‎【详解】‎ 设圆心为，因为与圆相切，‎ 所以圆心到直线的距离，‎ 所以或(舍).‎ 所以圆的方程为：.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据直线与圆的相切求解圆的方程，难度较易.当直线与圆相切时，有两种思路处理问题：(1)圆心到直线的距离等于半径；(2)直线与圆的方程联立后得到的一元二次方程的.‎ ‎5．若方程表示圆，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据圆的半径，列出不等式求解出的取值范围即为所求.‎ ‎【详解】‎ 因为方程表示圆，‎ 所以，‎ 所以，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据方程表示圆确定出方程中参数范围，难度较易.处理类似问题可直接根据求解参数范围，也可以先将圆的一般方程化为标准方程再根据求解出参数范围.‎ ‎6．若实数，满足，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先根据约束条件作出可行域，再根据非线性目标函数的几何意义：可行域内的点到原点距离的平方，由此即可求解出的最小值.‎ ‎【详解】‎ 作出可行域如下图(灰色部分)：‎ 由图可知：的最小值即为到直线的距离的平方，‎ 因为到直线的距离，‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查约束条件下非线性目标函数的最值求解，难度一般.常见的几种非线性目标函数的几何意义：(1)表示可行域内点与的距离；(2) 表示可行域内点与点连线的斜率；(3)表示可行域内的点到直线的距离的倍.‎ ‎7．椭圆的左右焦点是，，点在椭圆上，若，则面积（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用椭圆的定义、余弦定理、三角形的面积公式 求解出的面积.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 又因为.‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的焦点三角形面积的求解，难度一般.对于 的椭圆，两个焦点为，其上有一点(不与共线)，且，则.‎ ‎8．若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设出端点，代入椭圆，两式作差，变形，即可得到直线的斜率，再由点斜式写出直线即可。‎ ‎【详解】‎ 设弦两端点为，则 ‎①-②得 即直线为 ‎ 化简得 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查根据椭圆中弦的中点求弦所在的直线，解决本类题的思路是点差法：设点-作差-变形，根据中点坐标，即可求出所在直线的的斜率，即可写出直线，属于基础题。‎ ‎9．已知圆：，直线：，则圆关于直线对称的圆是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】对称圆的圆心与关于对称，且所在直线垂直于直线，据此求解出对称圆的圆心坐标，再根据圆对称半径不变即可求解出对称圆的方程.‎ ‎【详解】‎ 设对称圆的圆心，，所以中点为，‎ 所以，解得，‎ 所以圆关于直线对称的圆的方程为：. 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆关于直线的对称圆的方程，难度一般.求解圆关于直线的对称圆的方程从两方面入手：(1)两圆圆心连线的中点在已知直线上；(2)两圆圆心的连线垂直于已知直线.‎ ‎10．已知圆：和：恰好有三条公切线，则的最小值（ ）‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据两圆有三条公切线得到两圆的位置关系，从而得到满足的等式，再根据的几何意义求解出的最小值.‎ ‎【详解】‎ 因为圆与圆有三条公切线，所以圆与圆外切，‎ 因为，，，，所以，所以，‎ 所以的轨迹是圆心在原点、半径为的圆，‎ 又因为表示与的距离，‎ 所以. 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两圆的外切关系以及和圆有关的几何意义求最值问题，难度一般.(1)两圆外离时有四条公切线，外切时有三条公切线，相交时有两条公切线；(2)圆外一定点到圆上动点距离的最大值为定点到圆心的距离加上半径，最小值为定点到圆心的距离减去半径.‎ ‎11．当曲线与直线有两个相异的交点时,实数 的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】曲线 是以O（0，0）为圆心，以2为半径的圆的y轴下半部分，直线kx-y+2k-4=0过定点D（-2，-4），结合图形得，当曲线与直线kx-y+2k-4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 如图，曲线是以O（0，0）为圆心，以2为半径的圆的y轴下半部分，A（-2，0），B（2，0），‎ 直线kx-y+2k-4=0过定点D（-2，-4），故 ‎ 若直线kx-y+2k-4=0与圆相切时，圆心O（0，0）到直线的距离：‎ ‎ 解得 ‎ 结合图形，当曲线与直线kx-y+2k-4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线和圆相交的交点个数问题，一般有两种解法：几何法，代数法.‎ ‎12．设，分别是椭圆的左、右焦点，直线l过交椭圆 C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据椭圆中线段关系，表示出，，。由余弦定理即可求得a与c的关系，进而求得离心率。‎ ‎【详解】‎ 因为F1是椭圆的左焦点，直线过F1交y轴于C点 所以 ，即 ‎ 因为，所以 又因为 所以 在三角形AF1F2中，，，，根据余弦定理可得 ‎ ，代入得 ‎，化简得 ‎ 所以离心率为 ‎ 所以选A ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的基本性质及其综合应用，余弦定理求椭圆斜率的用法，计算量较大，易出错，属于难题。‎ 二、填空题 ‎13．若直线与直线相互垂直，则实数______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据两直线的垂直关系，得到关于的等式，从而可求解出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为与垂直，‎ 所以，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据两直线的垂直关系求解参数，难度较易.已知，，若，则有.‎ ‎14．若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则焦点在轴的椭圆标准方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据与坐标轴的交点确定出椭圆的一个焦点和一个顶点，根据焦点位置，确定出的值即可求解出椭圆的方程.‎ ‎【详解】‎ 因为经过点，且椭圆的焦点在轴上，‎ 所以，所以，‎ 所以椭圆方程为：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据椭圆的焦点和顶点确定椭圆的方程，难度较易.椭圆的焦点所在坐标轴即为长轴端点所在的坐标轴.‎ ‎15．已知点的坐标分别是，. 直线相交于的，且它们的斜率之和是2，则点的轨迹方程为 ‎【答案】‎ ‎【解析】略 ‎16．设点，设在圆：上存在点，使得，则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】过作圆作切线，切点为，由此得到，再根据存在使得，得到长度满足的不等式，即可求解出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 如图所示：过作圆作切线，切点为，由切线性质可知：，‎ 又因为存在使得，所以，‎ 又因为，所以，‎ 所以，所以，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查和圆的切线有关的角度问题，难度较难.圆有关的角度恒成立求参数范围问题，可通过数形结合的方式将角度问题转化为长度问题，寻求恒成立的临界条件，由此构建不等式求解出参数范围.‎ ‎17．（1）直线与的交点为，直线过点且与直线：‎ 平行，求直线的方程；‎ ‎（2）已知双曲线的一个焦点为，且过点，求此双曲线的标准方程及离心率.‎ ‎【答案】（1）； （2），.‎ ‎【解析】(1)根据平行关系设出直线的方程，再将交点坐标代入方程，从而可求解出直线的方程；‎ ‎(2)根据双曲线的焦点以及所过点，得到关于的方程组，求解出的值即可得到双曲线的方程，根据求解出离心率.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设直线方程为：，‎ 联立：得，∴.‎ ‎∴直线的方程为：.‎ ‎(2)由题易知：.设双曲线方程为.‎ ‎∴，解之得：，.‎ ‎∴双曲线的标准方程为：，.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)与平行的直线的设法：；(2)已知双曲线的焦点和其上一个点求解双曲线方程时，可以通过列出关于的方程组求解双曲线方程，还可以通过双曲线的定义求解出实轴长度，亦可求解出双曲线的方程.‎ 三、解答题 ‎18．某高科技企业生产产品和产品需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品需要甲材料，乙材料，用5个工时；生产一件产品需要甲材料，乙材料，用3个工时，生产一件产品的利润为2100元，生产一件产品 的利润为900元.该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过600个工时的条件下，生产产品、产品的利润之和的最大值为多少元.‎ ‎【答案】利润最大为216000元.‎ ‎【解析】通过的件数得到利润的表达式，根据约束条件作出可行域，采用平移直线法求解出线性目标函数的最大值.‎ ‎【详解】‎ 设生产产品件，产品件，获利元.‎ ‎∴，，‎ 作出可行域如图所示：‎ 联立：，得：，，‎ ‎∴(元)‎ ‎∴利润最大为元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用线性规划求解最值的实际应用，难度一般.实际问题中的线性规划问题，要注意到对于取值的要求，具体的求解方法还是采用平移直线法，将目标函数的最值与直线的截距联系在一起.‎ ‎19．已知圆，直线，（R）．‎ ‎（1）证明：无论取何值，直线过定点；‎ ‎（2）求直线被圆C截得的弦长最短时的值及最短弦长．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2），.‎ ‎【解析】（1）直线方程可化为，令，解方程组可求出定点坐标；（2）当圆心与定点所在直线与直线垂直时，直线被圆C截得的弦长最短，求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：直线可化为，令，解得，所以直线过定点.‎ ‎（2）直线过定点，，故点在圆的内部，直线与圆相交，圆的圆心为，半径为5，，‎ 当时，直线被圆C截得的弦长最短，‎ ‎，直线的斜率为，即，解得，‎ 此时弦长为.‎ 故当时，直线被圆C截得的弦长最短为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了动直线过定点问题，考查了圆的弦长，考查了学生的计算能力，属于中档题.‎ ‎20．已知椭圆：离心率为，且经过点.‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）直线交椭圆于，两点，当面积等于时，求的值.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】(1)判断为椭圆的右端点，根据离心率求解出的值，即可求解出椭圆的方程；‎ ‎(2)利用弦长公式以及点到直线的距离公式表示出的面积，从而可求解出斜率的值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)即，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴椭圆方程为.‎ ‎(2)设，‎ ‎，∴，‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴，∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求解以及利用椭圆的弦长公式求斜率，难度一般.常见弦长公式：，‎ ‎.‎ ‎21．已知椭圆：的离心率为，其中一个焦点在直线上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的横坐标取值范围.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】(1)根据椭圆方程确定出焦点位置，再根据焦点在直线上求出的值，根据离心率即可求解出的值，从而可求解出椭圆的方程；‎ ‎(2)设出直线方程并联立椭圆方程，利用韦达定理求解出线段的垂直平分线方程，从而求出的坐标，即可确定出的横坐标的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵在上，‎ ‎∴当时，，∴，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴椭圆的方程为：.‎ ‎(2)设，‎ ‎，，即，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎∴线段中点坐标为，‎ ‎∴：，即.‎ ‎∴的坐标为.‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎∴的横坐标取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与椭圆的综合问题，着重考查了垂直平分线的应用，难度一般.(1)椭圆的焦点与长轴的端点在同一坐标轴上；(2)线段垂直平分线方程可通过中点坐标(由韦达定理得到)以及斜率(与已知直线斜率之积为)得到.‎ ‎22．设椭圆的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点的距离之和是4.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知过的直线与椭圆交于两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值。‎ ‎【答案】（1）；（2）6‎ ‎【解析】分析：（1）根据题意，结合椭圆的定义可得a的值，由离心率公式可得c的值，计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）以及AB的方程，将AB的方程与椭圆联立，分析可得3（my+1）2+4y2=12，借助根与系数的关系可以将四边形AMBF1面积用k表示出来，由基本不等式的性质分析可得答案．‎ 详解：（1）依题意，，‎ 因为，所以，所以椭圆方程为；‎ ‎（2）设 ，则由，可得，‎ 即，，，‎ 又因为，所以四边形是平行四边形，‎ 设平面四边形的面积为，则设，则，所以，因为， 所以，所以，所以四边形面积的最大值为.‎ 点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.‎