【数学】2019届一轮复习人教A版同角三角函数的基本关系式解三角形学案

【数学】2019届一轮复习人教A版同角三角函数的基本关系式解三角形学案

专题01‎ 同角三角函数的基本关系式解三角形 知识必备 一、任意角的三角函数 ‎ 1．定义 设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上任意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是．‎ ‎ 注意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是.‎ ‎ 2．三角函数值在各象限内的符号 三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．‎ ‎3．三角函数线 设角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作垂直于轴于．由三角函数的定义知，点的坐标为，即，其中单位圆与轴的正半轴交于点，单位圆在点的切线与的终边或其反向延长线相交于点，则．我们把有向线段分别叫做的余弦线、正弦线、正切线．‎ 各象限内的三角函数线如下：‎ 角所在的象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 图形 ‎4．特殊角的三角函数值 ‎0‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ 不存在 ‎0‎ 不存在 ‎0‎ 补充：‎ 二、同角三角函数的基本关系式 ‎1．平方关系 ‎．‎ ‎2．商的关系 ‎．‎ ‎3．同角三角函数基本关系式的变形 ‎（1）平方关系的变形：；‎ ‎（2）商的关系的变形：；‎ ‎（3）．‎ 三、三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 ‎2 π+α（ ∈ ）‎ π+α ‎−α π−α ‎−α ‎+α 正弦 sin α ‎−sinα ‎−sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α ‎−cosα ‎ cosα ‎ ‎−cosα ‎ sinα ‎−sinα ‎ 正切 tan α tanα ‎−tanα ‎−tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 核心考点 考点一 三角函数的定义 ‎【例1】已知角的终边经过点，且，则等于 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为角的终边经过点，所以角是第二象限角，‎ 所以，求解可得（正值舍去）.故选A.‎ 备考指南 ‎1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．‎ ‎2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．‎ ‎3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．‎ ‎4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(，，)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况.‎ 考点二 象限角的判断 ‎【例2】“”是“角是第一象限角”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎ 备考指南 ‎1．已知θ所在的象限，求或nθ（nN ）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有 ）表示，然后两边同除以n或乘以n，再对 进行讨论，得到或nθ（nN ）所在的象限．‎ ‎2．象限角的判定有两种方法：‎ 一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；‎ 二是先将此角化为 ·360°＋α（0°≤α<360°， ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．‎ ‎3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.‎ 考点三 同角三角函数基本关系式及其应用 ‎【例3】设.若，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】因为，且，所以,所以.故选A．‎ 备考指南 ‎1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．‎ ‎2．的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于的齐次式，或含有及的式子求值时，可将所求式子的分母看作“‎1”‎，利用“”代换后转化为“切”后求解.‎ 考点四 诱导公式及其应用 ‎【例4】点位于 ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】C ‎ 备考指南 ‎1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．‎ ‎2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似的形式时，需要对 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．‎ ‎3．利用诱导公式化简三角函数式的思路：‎ ‎（1）分析结构特点，选择恰当公式；‎ ‎（2）利用公式化成单角三角函数；‎ ‎（3）整理得最简形式．‎ 利用诱导公式化简三角函数式的要求：‎ ‎（1）化简过程是恒等变形；‎ ‎（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．‎ ‎4．巧用相关角的关系能简化解题的过程．‎ 常见的互余关系有与，与，与等；‎ 常见的互补关系有与，与等.‎ 考点五 三角函数公式的综合应用 ‎【例5】已知角的顶点均为坐标原点，始边均为轴的正半轴，若的终边分别与单位圆相交于两点，且.‎ ‎（1）求的值，并确定点所在的象限；‎ ‎（2）若点的坐标为，‎ 求的值.‎ ‎【解析】（1）.‎ 因为，‎ 所以的终边在第二或第四象限，‎ 所以点在第二或第四象限.‎ ‎（2）由知，‎ 则 ‎ ‎ ‎.‎ 备考指南 熟练掌握正切的差角公式，三角函数的诱导公式，同角三角函数的关系式，正确使用公式是解题的关键.‎ 能力突破 ‎1．已知角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，终边过点（−5，12），则=‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题知，=13，根据三角函数定义知，=，，∴ === =，故选B．‎ ‎【名师点睛】高考中常将三角函数定义与三角函数公式相结合进行考查，是基础题.‎ ‎2．已知，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】方法一：因为，所以，‎ 所以，故选A．‎ 方法二：由，得，所以.‎ ‎【名师点睛】同角三角函数基本关系式也常与三角函数诱导公式、恒等变换结合起来进行考查.‎ ‎3．角为的一个内角，若，则这个三角形为 ‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 ‎【答案】B ‎【名师点睛】判断三角形的形状有两种方法：一是根据角来判断，分为锐角、直角、钝角三角形；二是根据边来判断，分为不等边、等腰、等边三角形．注意这两种分类方法有重合的部分，如等腰直角三角形．‎ ‎4．已知，.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【解析】（1）因为，所以，‎ 由于，所以，‎ 所以.‎ ‎（2）原式.‎ ‎.‎ ‎【名师点睛】对于三角函数求值问题，必须熟练记忆和掌握三角函数公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换.‎ 高考通关 ‎1．（2018北京）在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O