高考数学二轮重难点荟萃(5)

高考数学二轮重难点荟萃(5)

2013 年高考数学重难点详解 重难点 5 不等式 考试大纲新解 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景;会从实际情境中 抽象出一元二次不等式模型,通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次 方程的联系,会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图;会从实 际情境中抽象出二元一次不等式组,了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元 一次不等式组,会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决;了解基 本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.学会运用数形结合、分类 讨论等数学思想方法分析和解决有关不等式问题，形成良好的思维品质,培养判断推理和逻辑 思维能力. 从近几年高考题目来看，不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且 多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低. 考点突破 本章知识的高考命题热点有以下两个方面： 1.均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多样，在客观题中出现，一般只有一 个选择或填空，考查直接，难度较低；在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数学的所 有章节，且常考常新，难度较高。 2.不等式证明也是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、导数、 数列、解析几何等知识结合，题目往往非常灵活，难度高。线性规划问题是近几年高考的一 个新热点，在考题种主要以选择、填空形式出现，当然，也可以实际问题进行考查。考查了 优化思想在解决问题的广泛应用，体现了数学的应用价值，从而形成解决简单实际问题的能 力，进一步考查了考生的数学应用意识。 3.预计在 2012 年高考中，对不等式的性质和解不等式特别是含参数的不等式的解法，仍 会继续渗透在其他知识中进行考查。对不等式的应用，突出渗透数学思想方法和不等式知识 的综合应用，特别是求最值问题、不等式证明问题，将继续强调考查逻辑推理能力，尤其是 不等式与函数、数列、三角、解析几何的综合题型将会继续出现在高考的中、高档题中。 重难点导航 1.不等式的性质与证明： (1)不等式的基本性质;(2)均值不等式,应用时要特别注意定理成立的三个条件“一正二定 三相等”,三者缺一不可;(3)一元二次不等式、二元一次不等式组、简单的一元高次不等式；(4) 比较法证明:作差比较与作商比较法;(5)分析法与综合法证明。 2.不等式的解法: (1)简单的一元高次不等式的解法:数轴标根法 (2)分式不等式解法;(3)不等式的实际应用题的解题步骤:审题、建立不等式模型、解数学 问题、写出答案. 对于不等式的应用题有两类:一类是建立不等式,解不等式;一类是建立函数式,求最大值或 最小值. 3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题. 【考点在线】 考点一 不等式的性质 例 1.（2011 年高考浙江卷文科 6)若 ,ab为实数,则“01ab”是“ 1b a ”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】 D 【解析】 112, , (0,1)42a b ab  则 1 1 1 24ba   1b a   不充分 11, ,2ba  1b a 则 112 4ba   01ab 不必要条件，故选 D. 【名师点睛】本题考查不等式的性质与充分必要条件,可利用作差比较法,也可用特殊值代法. 【备考提示】：不等式的性质是高考考查的热点之一,几乎年年必考，不等式的性质经常与充 分必要条件结合在一起综合考查，熟练不等式的各项性质是解答好本题的关键. 练习 1:（2011 年高考全国卷文科 5)下面四个条件中，使 ab＞ 成立的充分而不必要的条件 是( ) （A） 1ab＞ （B） 1ab＞ （C） 22ab＞ （D） 33ab＞ 【答案】A 【解析】 1ab＞ 10ab ab ,1ababab 反之不能推出故选 A. 【名师点睛】本小题先用“1”的代换,再展开后,应用均值不等式. 【备考提示】：熟练掌握均值不等式及其变形公式是解答好本类题的关键. 练习 2: 2010 年高考山东卷文科 14）已知 ,x y R ，且满足 134 xy，则 xy 的最大值 为 . 【答案】3 【解析】因为123 4 3 4 x y x y    ，所以 1 1 2 4 xy  ，解得 3xy  ，故 xy 的最大值为 3. 考点三 解不等式 高考要求掌握简单不等式的解法.解不等式是研究函数和方法的重要工具，是求函数的定 义域、值域、最值、单调性、求反函数和参数的取值范围的重要手段，“不等式的变形”是研 究数学的基本手段之一，它渗透到高中数学的每个角落中（如函数、方程、集合、数列、平 面向量、三角函数、解析几何、立体几何、概率与统计、导数等），其基本思想是转化思想．转 化的方法是: 超越式  分式 整式（高次） 整式（低次） 一次(或二次)不等式．其中 准确熟练求解一元二次（一次）不等式是解其他不等式的基础，解一元高次不等式的有效方 法是序轴法.此外,要重视数形结合、分类讨论思想的运用. 不等式的解法是高考必考内容，直接考查主要以选择题、填空题为主，这类题小巧灵活， 常考常新；但有时也以解答题形式出现，主要考查含参数的不等式的解法.间接考查则更多， 常以工具作用出现在函数、数列、三角函数、导数、解析几何、平面向量等问题之中,考查时 重点考查一元二次不等式、分式不等式、含绝对值不等式，但偶尔也会涉及无理不等式、指 数和对数不等式的解法． 例 3. (2011 年高考辽宁卷理科 9)设函数 f（x）=     ，＞， ，， 1xxlog-1 1x 2 2 x-1 则满足 f（x）≤2 的 x 的 取值范围是（ ） （A）[-1，2] （B）[0，2] （C）[1，+  ） （D）[0，+  ） 【答案】 D 【解析】不等式等价于 1 1, 22x x     或 2 1, 1 log 2, x x    解不等式组，可得 01x或 1x  ，即 0x  ，故选 D. 【名师点睛】本题考查不等式的解法,包含指数与对数不等式. 【备考提示】：不等式的解法是高考的热点问题之一,要熟练一元二次不等式（包括含有参数 的）、简单的分式不等式、指数与对数不等式. 练习 3：(2011 年高考广东卷文科 5)不等式 22 10xx的解集是（ ） A． 1( , 1 )2 B.(1, ) C． ( ,1)(2,) D． 1( , ) (1, )2   【答案】D 【解析】由题得 ,2 110)1)(12(0122  xxxxxx 或所以选 D. 考点四 线性规划 线性规划是高考热点之一,考查内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行 域,移线,数形结合等方法解决问题. 例 4. (2011 年高考安徽卷文科 6)设变量 x,y 满足 ,x y 1 x y 1 x      ,则 xy 的最大值和最小值分 别为( ) （A） 1，  1 (B) 2， 2 (C ) 1， 2 (D)2， 1 【答案】B 【解析】 1, 1,0xyxyx三条直线的交点分别为（0,1），（0，－1），（1,0），分别代 入 ，得最大值为 2，最小值为－2.故选 B. 【名师点睛】本题考查线性目标函数在线性约束条件下的最大值与最小值问题.属中等题. 【备考提示】：线性规划问题不牵涉目标函数的斜率问题时，可以不画图，直接将交点坐标 求出代入计算即可. 练习 4：（2011 年高考山东卷文科 7)设变量 x，y 满足约束条 件 2 5 0 20 0 xy xy x          ，则目标函数 2 3 1z x y  的最大值为( ) (A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5 【答案】B 【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线 平移至点 A(3,1)时, 目 标函数 取得最大值为 10,故选 B. 考点五 不等式的证明 高考要求掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.不等式证明是高中数学的重要 内容，同时也是高中数学的难点，加之题型广泛，涉及面广，证法灵活，因而备受命题者的 青睐，成为高考的热点问题.但由于在高考时，涉及到不等式证明的问题往往出现在压轴题上， 其综合性强、思维量大，因而不等式证明问题也就成为高考的难点问题.现在的高考没有单独 命制不等式证明的试题，而是把它与函数、数列、导数、解析几何、立体几何、概率与统计 等问题相结合命制成综合的压轴题，重在考查逻辑思维能力，以及常用的不等式证明方法（基 本方法:比较法、综合法、分析法;常用方法:放缩法、换元法、求导法、反证法、数学归纳法等）. 例 5.已知 a，b∈R，且 a+b=1.求证：    2 2522 22  ba 证法一：比较法，作差消 b,化为 a 的二次函数, 也可用分析法、综合法，反证法，实质与比较法相同. 证法二：（放缩法）∵ 1ab, ∴左边＝      2 22 222 2 2 2 abab       21 25422ab   ＝右边 证法三：（均值换元法）∵ ，所以可设 ta  2 1 ， tb  2 1 ， ∴左边＝   22 22112 2( 2)( 2)22a b t t 22 25 5 252522 2 2 2t t t              ＝右 边 当且仅当 t=0 时，等号成立. 证法四：（判别式法） 设 y= (a+2)2+(b+2)2，由 a+b=1，有 1322)3()2( 222  aaaay ， 所以 013222  yaa ，因为 Ra ，所以 0)13(244  y ，即 2 25y 故 . 【名师点睛】：形如 a+b=1 结构式的条件，一般可以采用均值换元,注意体验不等式证明方法 的灵活性和各种证明方法间的内在联系. 【备考提示】：证明不等式的方法有许多，关键是靠平常的善于总结. 5. 已知 1,0,0  yxyx ，求证： 44 yx  ≥ 8 1 ． 【解析】∵ ，∴ 22 yx  ≥ xy2 ， 两边同加上 得， )(2 22 yx  ≥ 1)( 2 yx ． 又 44 yx  ≥ 222 yx ，两边同加上 得， )(2 44 yx  ≥ 222 )( yx  ≥ 4 1 ， ∴ ≥ ． 【考题回放】 1.(2011 年高考山东卷理科 4)不等式| 5|| 3|10xx的解集为( ) （A）[-5.7] （B）[-4,6] （C）( ,5][7,) （D） ( ,4][6,) 【答案】D 【解析】 1 1 1 1ab ababb b a a  或 则 21 1 1 1( 1)( )( )abab ababb a b a ab       因为 01ab所以 2( 1) 0ab ab   即 11( )( ) 0abba   于是 所以 11abba或 成立，充分条件； 反之 成 立 ， 即 1 1 1 100ab ababb b a a    或 则 11( )( )abba 2( 1) 0ab ab  , 故 0ab  ，不必要条件。故选 A. 3.（2009 年高考山东卷文科第 5 题）在 R 上定义运算 e : 2abababe ,则满足 ( 2)0xxe 的实数 x 的取值范围为（ ） A. (0, 2) B.( 2,1) C.( ,2)(1,) D. ( 1,2) 【答案】B 【解析】由题意知: 2(2)(2)22 20xxxxxxxxe ,解得 21x  ,故选 B. 4. (2011 年高考天津卷文科 5)已知 2log3.6,a 4log3.2,b 4log3.6,c 则（ ） A. abc B. a c b C. bac D. c a b 【答案】B 【解析】因为 1a  , ,bc都小于 1 且大于 0,故排除 C,D;又因为 都是以 4 为底的对数,真数 大,函数值也大,所以bc ,故选 B. 5．(2011 年高考广东卷文科 4)函数 1() lg( 1)1f x xx   的定义域是 （ ） A．( , 1) B．(1, ) C．(1,1)(1,)  D．( , ) 【答案】C 【解析】由题得 ），，（）函数的定义域为（且       11,1-1101 01 xxx x 所以 选 C. 6．(2011 年高考广东卷文科 6)已知平面直角坐标系 xO y 上的区域 D 由不等式组 02 2 2 x y xy       给定，若  ,M x y 为 上的动点，点 A 的坐标为 2 ,1 ，则 z OMOA的最大值为（ ） A．3 B．4 C．32 D． 42 【答案】B 【解析】由题得不等式组对应的平面区域 D 是如图所示的直角梯形 OABC, ||||cos3||cos3||zOMOAOMOAAOMOMAOMON， 所以就是求 || ON 的最大值， || ON 表示 数形结合观察得当点 M 在点 B 的地方时， 才最大。 2222 36124 cos 23236 AOM AOM   2 在中，OA=2+1=3,OB=2=6,AB=2-1=1, ,所以 423 263max z ，所以选择 B 7.（2011 年高考福建卷文科 10)若 a>0, b>0, 且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 1x  处有极值，则 ab 的最大值等于( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 2'()122 2fx x axb ,所以 ()fx在 处有极值,所以 '(1)12220f ab, 即 6ab,又 0, 0ab,所以 2a b ab ,即 26ab  ,所以 9ab  ,当且仅当 3ab 时等号成立,所以 的最大值为 9,选 D. 当 7, 5 x y    时， max450735054900z ； 当 6, 6 x y    时， max450635064800z ，越往下的临界值越小，故选 C. 9．（2011 年高考湖南卷文科 3)" 1""||1"xx是 的( ) A．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】因" 1""||1"xx，反之 "||1""1 1"x x x或，不一定有" 1"x 。 10．（2011 年高考湖北卷文科 8)直线与不等式组 0, 0, 2, 4 3 2 0 x y xy xy        表示平面区域的公共点有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个 【答案】B 【解析】画出可行域（如图示），可得 B(0,2) , A(2,4), C(5,0) ,D(0, 20 3 ), E(0,10),故由图知有唯一交点，故选 B. 11.(2011 年高考安徽卷文科 13)函数 2 1 6 y xx   的定义域是 . 【答案】（－3,2） 【解析】由 260xx  可得 2 60xx，即  +3 2 0xx，所以 32x  . 12．（2011 年高考江西卷文科 15)对于 xR ，不等式 10 2 8xx 的解集为_______. 【答案】 }0{ xx 【解析】两种方法，方法一：分三段，当 x<-10 时， -x-10+x-2 8 ,  当 210  x 时， x+10-x+2 8 , 20 x 当 x>2 时， x+10-x+2 8 ,x>2, 0x综上： 方法二：用绝对值的几何意义，可以看成到两点-10 和 2 的距离差大于等于 8 的所有点的集合， 画出数轴线，找到 0 到-10 的距离为 1d 10，到 2 的距离为 2d 2， 821 dd ，并当 x 往右 移动，距离差会大于 8，所以满足条件的 x 的范围是 0x . 13. （2011 年高考海南卷文科 14)若变量 ,xy满足约束条件 3 2 9 69 xy xy        ,则 2z x y 的 最小值为 . 【答案】-6 【解析】画出不等式组表示的平面区域,平移目标函数表示的直线,不难求出最小值为-6. 14．（2011 年高考浙江卷文科 16)若实数 ,xy满足 22 1x y xy  ，则 xy 的最大值 是 . 【答案】 23 3 【解析】 2 2 2 2 21() 1()( )12 xyxyxyxyxyxy   23 3xy   . 15. (2011 年高考天津卷文科 12)已知 22log log 1ab,则39ab 的最小值为 . 【解析】设坐标原点的直线方程为 ( 0)y kxk,则由 2 y k x y x   解得交点坐标为 2( , 2 )k kk 、 2( , 2 )k kk，即为 P、Q 两点，所以线段 PQ 长为 222 2 22 2 4kkkk    ，当且仅 当 1k  时等号成立，故线段 PQ 长的最小值是 4. 【高考冲策演练】 一、选择题： 1.（2010 年高考天津卷文科 7）设集合   Ax||x-a|<1,xR,|15,.ABBxxxR 若，则实数 a 的取值范围是 (A) a|0 a 6 (B) | 2,aa或a4 (C) | 0, 6aa或a (D) |2 4aa 【答案】C 【解析】因为  | 1 1Axa xa ， AB，所以 11a或 15a ，解得 实数 a 的取值范围是 ，故选 C. 2．（2010 年高考福建卷文科 5）设 x,y R ,且 x1 x - 2 y + 3 0 yx      ,则 z=x+2y的最小值等于( ) A.2 B.3 C.5 D.9 【答案】B 【解析】画出不等式表示的平面区域如图阴影所示， 当直线 过点（1，1）时， 取得最小 值 3，故选 B。 3．(2010 年高考江西卷文科 1)对于实数 ,,abc，“ ab＞ ”是“ 22ac bc＞ ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当 0c  时， ab 不能得 22ac bc ， 22ac bc . 4．(2010 年高考江西卷文科 2)若集合  1A x x ≤ ，  0B xx ≥ ，则 AB( ) A． 11xx≤≤ B． 0xx≥ C． 01xx≤≤ D．  【答案】C 【解析】 {|11}{|0}{|01}ABxxxxxx. 5．(2010 年高考江西卷文科 5)不等式 22xx＞ 的解集是( ) A．( ,2) B．( , ) C．(2, ) D．( ,2)(2,)  6. (2010 年高考浙江卷文科 6)设 0＜x＜ 2 π ，则“x sin2x＜1”是“x sinx＜1”的( ) （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为 0＜x＜ ，所以 sinx＜1，故 xsin2x＜xsinx，结合 xsin2x 与 xsinx 的取值范围相同， 可知答案选 B. 7. (2010 年高考宁夏卷文科 11)已知 ABCD 的三个顶点为 A（-1，2）， B（3，4）， C（4，-2）， 点（x，y）在 ABCD 的内部，则 z=2x-5y 的取值范围是( ) （A）（ -14，16） （B）（ -14，20） （C）（ -12，18） （D）（ -12，20） 【答案】B 【解析】由已知条件得 (0,4)ABDCD ，由 25z x y得 2 55 zyx，所以当直线经 过点 B（3，4）时， 5 z 最大，即 z 取最小为 14 ；当直线经过点 D（0， 4 ）时， 最小， 即 取最大为 20，又由于点( , )xy在四边形的内部，故 (14,20)z ． 8．（2010 年高考广东卷文科 8）“ x >0”是“ 3 2x >0”成立的( ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．非充分非必要条件 D．充要条件 9．（2010 年高考陕西卷文科 6）“a＞0”是“ a ＞0”的( ) (A)充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A 10．（ 2010年高考全国Ⅰ卷文科 7）已知函数 () |lg|f x x .若 ab 且， () ()f a fb ，则 ab 的取值范围是( ) (A)(1, ) (B)[1, ) (C) (2, ) (D) [2, ) 【答案】C 【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)，或 1b a ，所以 a+b= 1a a 又 0f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+∞). 【解析 2】由 00,得： 223 2 3 2( )( ) 033 a a a axx xa          讨论得：当 26( , )22a 时，解集为( , )a  ; 当 62( , )22a   时，解集为 2232 32(, ][ , )33 a a a aa    ; 当 22[ , ]22a 时，解集为 232[ , )3 aa  .