2017-2018学年河北省邢台市高二下学期第三次月考数学（理）试题

2017-2018学年河北省邢台市高二下学期第三次月考数学（理）试题

邢台市2017～2018学年高二（下）第三次月考 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.“”是“复数为纯虚数”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2.圆的圆心的直角坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知集合，，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素集合，则可以组成这样的新集合的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.的展开式的中间项为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.某地区一次联考的数学成绩近似地服从正态分布，已知，现随机从这次考试的成绩中抽取个样本，则成绩小于分的样本个数大约为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知复数，若，则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限 ‎7.参数方程（为参数）所表示的曲线是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8.在极坐标系中，为极点，曲线与射线的交点为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.设是复数的共轭复数，若，则（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎10.已知函数的图象在处的切线方程为，若关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.随机变量的概率分布为，其中是常数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知定义在上的奇函数满足，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.在直角坐标系中，若直线：（为参数）过椭圆：（为参数）的左顶点，则 ．‎ ‎14.设复数满足，则的虚部为 ．‎ ‎15.某商品的售价和销售量之间的一组数据如下表所示：‎ 价格（元）‎ 销售量（件）‎ 销售量与价格之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是，则 ．‎ ‎16.若函数在上单调递增，则的取值范围是 ．‎ ‎17.在如图所示的坐标系中，阴影部分由曲线与矩形围成.从图中的矩形区域内随机依次选取两点，则这两点中至少有一点落在阴影部分的概率为 （取）.‎ ‎18.现有个大人，个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有 种．（用数字作答）‎ 三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎19.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），且直线与曲线交于，两点，以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2） 已知点的极坐标为，求的值.‎ ‎20.某电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查，如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图，将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为体育迷.‎ ‎（1）以频率为概率，若从这名观众中随机抽取名进行调查，求这名观众中体育迷人数的分布列；‎ ‎（2）若抽取人中有女性人，其中女体育迷有人，完成答题卡中的列联表并判断能否在犯错概率不超过的前提下认为是体育迷与性别有关系吗？‎ 附表及公式：‎ ‎，.‎ ‎21.（1）在中，内角，，的对边分别为，，，且，证明：；‎ ‎（2）已知结论：在直角三角形中，若两直角边长分别为，，斜边长为，则斜边上的高.若把该结论推广到空间：在侧棱互相垂直的四面体中，若三个侧面的面积分别为，，，底面面积为，则该四面体的高与，，，之间的关系是什么？（用，，，表示）‎ ‎22.元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种.方案一：每满万元，可减千元；方案二：金额超过万元（含万元），可摇号三次，其规则是依次从装有个幸运号、个吉祥号的一号摇号机，装有个幸运号、个吉祥号的二号摇号机，装有个幸运号、个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出个幸运号则打折，若摇出个幸运号则打折；若摇出个幸运号则打折；若没摇出幸运号则不打折.‎ ‎（1）若某型号的车正好万元，两个顾客都选择第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；‎ ‎（2）若你朋友看中了一款价格为万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，正数，满足，证明：.‎ 邢台市2017～2018学年高二（下）第三次月考 数学参考答案（理科）‎ 一、选择题 ‎1-5: CACDA 6-10: CBBCA 11、12：BD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. 17. 18. ‎ 三、解答题 ‎19.解：（1）的普通方程为，‎ 整理得，‎ 所以曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）点的直角坐标为，设，两点对应的参数为，，‎ 将直线的参数方程代入曲线的普通方程中得，‎ 整理得.‎ 所以，且易知，，‎ 由参数的几何意义可知，，，‎ 所以.‎ ‎20.解：（1）由图可得，观众为体育迷的概率为，‎ 的可能取值为，，，‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ 故的分布为 ‎（2）由题意得如下列联表：‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 的观测值，‎ 故不能在犯错概率不超过的前提下认为是体育迷与性别有关系.‎ ‎21.（1）证明：由，得，则.‎ 要证，‎ 只需证，‎ 即证，‎ 只需证，即证.‎ 而，显然成立，故.‎ ‎（2）解：记该四面体的三条侧棱长分别为，，，‎ 不妨设，，，‎ 由，‎ 得，‎ 于是，‎ 即.‎ ‎22.解：（1）‎ 选择方案二比方案一更优惠，则需要至少摸出一个幸运球，设顾客不打折即三次没摸出幸运珠为事件，则，故所求概率.‎ ‎（2）若选择方案一，则需付款（万元）.‎ 若选择方案二，设付款金额为万元，则可能的取值为，，，，‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎.‎ 故的分布列为 所以（万元）（万元），‎ 所以选择第二种方案更划算.‎ ‎23.（1）解：的定义域为，‎ ‎，‎ 令，.‎ ‎①当时，，‎ 所以对恒成立，则在区间上单调递增.‎ ‎②当或时，，令，得，.‎ ‎（i）当时，，‎ 所以对恒成立，则在区间上单调递增.‎ ‎（ii）当时，.‎ 若，，函数单调递增；‎ 若，，函数单调递减；‎ 若，，函数单调递增.‎ 综上所述：当时，在区间上单调递增.当时，在和上单调递增；在上单调递减.‎ ‎（2）证明：当时，，由（1）可知在区间上单调递增.‎ 又易知，且，不妨设，‎ 要证，只需证，‎ 只需证，即证，‎ 即证.‎ 构造函数，.‎ 所以，，‎ ‎.‎ 当时，，所以函数在区间上单调递增，‎ 则.‎ 所以得证，从而.‎